Transcript Cursul – 11 Elemente de geometrie diferentiala a curbelor in spatiu

Cursul – 11
Elemente de geometrie diferentiala a curbelor in spatiu
Fie E3 = ( E3 ,V3 ,~) si R = ( O;i,j,k)- un reper ortonormat
Definitia 1. Numim arc regulat de curba in spatiu aplicatia bijectiva, continua si
diferentiabila
 : I  R 3 ,  ( t )  P( x( t ), y ( t ), z ( t )) cu proprietat ea *  x(' t )    y(' t )   z(' t )   0
2
2
2
- puncte regulate (*), puncte singulare, curba in sens larg
- reprezentari:
 x  x(t )
1
2
 x  x(t )

3
in R 2  reprezentarea param etrica
 y  y (t ) in R si 1' 
 y  y (t )
 z  z (t )

F( x, y ) 0
F ( x , y , z )  0
3 
G( x , y , z )  0
* *  F 
'
x
2
 Fy'   0 in R 2
 Fx'
* * *  rang  "
 Gx
2
Fy"
G"y
Fz" 
  2 in R 3
" 
Gz 
Daca x,y,z Cp(I) -  de clasa Cp(I)
Definitia 2. Curbele (1) si (2) au in punctul comun Mo un contact de ordinul q p daca au
q+1 puncte comune.
q = 0 – curbe secante, q = 1 – curbe tangente, q = 2 – curbe osculatoare,.. supraosculatoare
Teorema 1. Curbele (1) si (2) au in punctul Mo un contact de ordinul q daca si numai
daca
 x1( k ) ( t )  x2( k ) ( t )
4  y1( k ) ( t )  y2( k ) ( t )
 z( k )( t )  z( k )( t ) t  t
2
0
 1
k  0 ,1,..., q , M 0 ( t  t 0 )
Teorema 2. Curbele (1) F(x,y) = 0 si ( 2) x = x(t), y=y(t) au in punctul Mo un cntact de
ordinul q daca (t0) = ’(t0) =….= (q)(t0) = 0,  (q+1)( t0) = 0, unde (t0)= F(x(t) ,y(t) ).
Aplicatii:
1o Tangenta la o curba:
X  x( t )
x(' t )

Y  y( t )
y(' t )

Z  z( t )
z(' t )
,
tg ( x' , y' , z' )
Fx' ( X  x( t ) )  Fy' ( Y  y( t ) )  0 ,
sau
2o Cercul osculator: Fie () x = x(t), y=y(t) si cercul
N ( Fx' , Fy' )
x  a    y  b
2
2
 r2  0 

2
2
a  x  y ' x '  y '
A( X  x)  B(Y  y )  C ( Z  z )  0

x' y ' ' x' ' y '

x '2  y '2
1

b

y

x
'
, K  ( curbura) , X  x Y  y Z  z

x' y ' ' x' ' y '
r

x'
y'
z '  0 , planul osculator
3

2
2 2
x' '
y' '
z' '
 r  x'  y '

x' y ' ' x' ' y '



Familii de curbe plane : (C) F(x,y,) = 0
Infasuratoarea unei familii de curbe plane; definitie
Puncte singulare:
 F( x , y )  0
5  ' 0 0
'
Fx ( x0 , y0 )  Fy ( x0 , y0 )  0
Teorema 3. Multimea punctelor infasuratoarei familiei de curbe plane C satisfac
sistemul:
 F ( x , y , )  0
6 '
 DI S
 F ( x , y , )  0
Aplicatie: evoluta unei curbe plane, evolventa
Proprietati metrice
Fie (  ) r  r( t )  x( t ) i  y( t ) j  z( t ) k


d r  x' i  y' j  z' k dt
d r  d r  x' 2  y' 2  z' 2 dt 2  l M M  t
t
o
o
x' 2  y' 2  z' 2 dt  t d r  d r
t
o
l M M , t  t o
 

Notam cu s( t )  
 t  t s  deci r  r ( t )  r ( t( s ) )
l MM , t  t o
0
o
2
Avem ds  d r  d r  ds  d r 
2
dr
 dr

 1 deci vectorul  
este versor   1
ds
ds
Versorul tangent , respectiv dreapta tangenta intr-un punct regulat al curbei (  )
Planul prin punct cu normala data de  se numeste planul normal
 N : x' ( X  x )  y' ( Y  y )  z' ( Z  z )  0
Intrucat
 1
d
d / ds
  si notam cu  
  1
ds
d / ds
numit versorul normalei principale
Utilizand relatiile :
d r d r dt


 r // r'
ds dt ds
2
d 2 r d d  d r  d  d r dt  d 2 r  dt  d r d 2 t





  

    0  M 0 ,r' ,r' '
ds 2 ds ds  ds  ds  dt ds  dt 2  ds 
dt ds 2
N P  normala principala ,  R  planul rectifican t
r 

B   R   N  dreapta binormala cu versorul     
Re perul


R  M 0 , , ,   reperul lui Frenet ( axe si fete )

Curbura si torsiune
Functia
K s  
d
d
se numeste curbura curbei    
 K s   prma formula a lui Frenet
ds
ds
Teorema 3. Curba () este o dreapta daca si numai daca K(s) = 0.
d
d
d
d
d
  si    0 
 
 0  K   
0 

ds
ds
ds
ds
ds
d
  d    T s   a doua formula a lui Frenet , functia
// 
ds
ds
T s  se numeste torsiunea curbei  

Teorema 4. Curba () este plana daca si numai daca T(s) = 0
d d 
d

   
 T s       K s    K   T 
ds
ds
ds
 d / ds   0
K 0   

 

 d / ds     K
0 T     matricea Frenet


 
d  / ds   0
 T 0   


 
    
Formule de calcul pentru K si T
d
d
dr d 2r
K s  


 2  r  r
ds
ds
ds ds
2
3
r' r' '
dr d 2r
d r dt  d 2 r  dt 
d r d 2 t 
d r d 2 r dt
K s  



  





3
ds ds 2
dt ds  dt 2  ds 
dt ds 2 
dt dt 2 ds
r'
d
 T  
ds
 d
d
d   d  
d 
T  
      
,   , ,

  ,




ds
ds
ds
ds
ds

 
 


  1 d d  1 d    1 d d  1  d 1 d 2 
d

   ,
    ,
T   , ,
, 
,  


  K ds ds  K ds    K ds ds  K  ds K ds2
ds

 

 

 . .. ...


r
,
r
,
r

.
..
...
 1 d 1 d 2  
  .... r ' , r ' ' , r ' ' '
  1  r, r, r   
  ,
,

2
2
 K ds K ds2  K 2 

. ..


r 'r ' '
r r





