Transcript V - Dragos Gaftoneanu

Cursul - 2
Spatii vectoriale euclidiene
Fie V un spaţiu vectorial real.
Dacă adăugăm noţiunea de produs scalar, atunci putem defini noţiunile :
- lungime a unui vector,
- unghiul a doi vectori  ortogonalitatea a doi vectori
- distanta dintre doi vectori
Definitia 10. O aplicatie g : V  V  R, g  x, y    x , y  cu proprietat ile
a) < x, y  z > = < x, y >  < x, z  ,  x, y, z V
b) <  x, y > =  < x, y > ,
 x, y V,   R
c) < x, y > = < y, x > ,
 x, y V
d) < x, x >  0, < x, x > = 0 x = 0,
 x V
se numeste produs scalar pe spatiul vectorial V
Definiţia 11. Un spaţiu vectorial V pe care s-a definit un produs scalar se
numeşte spaţiu vectorial euclidian
Teorema 10. Dacă spaţiul vectorial V este un spaţiu vectorial euclidian
atunci avem inegalitatea Cauchy-Schwarz:
<x, y>2  <x, x>  <y, y>
egalitatea având loc dacă şi numai dacă vectorii x şi y sunt liniar
dependenţi . (dem)
Exemplu. Fie spaţiul aritmetic Rn, x=(x1,x2,...,xn) şi y = (y1, y2,..., yn), doii vectori ,
atunci operaţia
<x, y> =: x1y1 + x2y2 +...+ xnyn
defineşte un produs scalar pe Rn .
Teorema 11. Într-un spaţiu vectorial euclidian V funcţia || ||: V R+ definită
prin || x ||   x,x  ,  x  V este o normă pe V, adică satisface axiomele:
a) || x || > 0,  x  0 şi || x || = 0  x = 0
b) ||  || = |  |  || x ||,  x  V,    R
c) ||x+ y||  ||x|| + ||y|| (inegalitatea triunghiului).
Exemplu:
In sp. aritmetic Rn || x ||  x12  x22  ...  xn2 defineste o norma(euc.)
Folosind iegalitatea lui Couchy – Schwarz obtinem
cosθ 
 x,y 
|| x ||  || y ||
Teorema 12. În spaţiul vectorial normat V, funcţia reală d: V  V  R+,
definită prin d(x, y) = || x – y || este o metrică pe V, adică satisface axiomele:
a) d(x, y)  0, d(x, y) = 0  x = y ,  x, y  V
b) d(x, y) = d(y, x) ,
 x, y  V
c) d(x, y)  d(x, z) + d(z, x) ,
 x, y, z  V.
Exemplu:
In sp. aritmetic Rn
d(x, y)  || x - y ||  ( x1-y1 ) 2  ( x2-y 2 ) 2  ... ( xn -yn ) 2
defineste o distanta (euclidiana).
Definiţia 12. In spaţiul vectorial V vectorii x, y  V se numesc ortogonali dacă
< x, y > = 0 .
Propoziţia 13. Într-un spaţiu vectorial euclidian V orice mulţime ortogonală, formată
din elemente nenule, este liniar independentă.
Consecinţă. Într-un spaţiu vectorial euclidian n-dimensional Vn, orice mulţime
ortogonală formată din n vectori este o bază în Vn.
n
 x, e 
λ 
unde
- coordonate euclidiene
x    i ei
e,e 
i
i
i 1
i
i
Definiţia 13. Fie x, y  V, doi vectori oarecare.Vectorul
pr y x 
 x, y 
y
 y, y 
, cu y  0 se
x , y
numeşte proiecţie ortogonală a vectorului x pe vectorul y, iar numărul pryx = y
se numeşte mărimea algebrică a proiecţiei ortogonale a lui x pe y .
Definiţia 13. Fie S  V o submulţime oarecare a spaţiului euclidian V. Un element
y  V se zice ortogonal lui S dacă este ortogonal pe fiecare element al lui S,
adică <y, x> = 0,  x  S şi notăm prin y  S.
Propoziţia 14. Mulţimea tuturor vectorilor y  V ortogonali mulţimii S
formează un subspaţiu vectorial notat cu S. În plus, dacă S este un subspaţiu
vectorial atunci subspaţiul S se numeşte complementul ortogonal al lui S.
Propoziţia 15. Dacă subspaţiul S  V este de dimensiune finită, atunci S
admite un unic supliment ortogonal S.
Consecinţă. Dacă V = S  S şi x = y + y, y  S, y  S, atunci are loc teorema
lui Pitagora, || x ||2 = || y ||2 + || y ||2
Teorema 5.(Gram - Schmidt) Dacă {v1, v2, ..., vn} este o bază în spaţiul
vectorial euclidian Vn atunci există o bază ortonormată {e1, e2, ..., en}  V
astfel încât sistemele de vectori {v1, v2, ..., vp} şi {e1, e2, ..., ep} generează
acelaşi subspaţiu Up  V, pentru .
j 1
 v j , wi 
i 1
 wi , wi 
wj  vj  
wi ,  j  1,n
ei 
wi
,  i  1,n
||wi||
Consecinţă. Orice subspaţiu vectorial euclidian admite o bază ortonormată
Propoziţia 16. La o schimbare de bază ortonormată B = tAB, într-un spaţiu vectorial
euclidian Vn,, transformarea de coordonate este dată de X = AX, unde A este o
matrice ortogonală.
SPATII AFINE
Fie multimea nevida de puncte A = {A, B, C, ..., P, Q, R, ...} .
Perechea de puncte (A, B)  A  A va fi numita bipunct al lui A. Vom spune
ca A este originea bipunctului, iar punctul B se va numi extremitatea
bipunctului (A, B).
Bipunctele (A, B) şi (B, A) se vor numi bipuncte simetrice.
Definitia 1. Numim spaţiu afin, tripletul (A, V, ) în care A este o mulţime
nevidă de puncte, V un K-spaţiu vectorial şi funcţia : A ×A  A , care
satisface condiţiile:
a1)  A, B, C  A,  (A, B) +  (B, C) =  (A, C)
a2)  A există un punct B  A, unic determinat de relaţia  ( A, B)  v
Avem :
• A - mulţime suport
• V - spaţiul vectorial director → Spatiu afin real (complex) K=R (K=C )
•  - funcţia de structură afină →  (A, A)= o ,  (A, B) = -  (B,A)
Într-un spaţiu afin (A, V, ) funcţia  determină o relaţie de echivalenţă pe
mulţimea bipunctelor lui A, pe care o vom numi relaţia de echipolenţă.
(A, B) ~ (C, D)   (A, B) =  (C, D)  A ×A/ ~ ≡ V
Spaţiul factor A  A/~ este în corespondenţă bijectivă cu spaţiul vectorial V.
Clasa bip. (A,B),
r 
r _ r
 (v)  ( A, B)  A  A  (A,B)  v   AB  v


1
va fi numita vector liber
Consecinta 1. Funcţia  este surjectivă şi în plus, pentru fiecare punct O  A fixat ,
O :A  V , O (A) =  (O, A),  A  A , este bijectivă.
Multimea A° ={O}A = {(O, A)|A A } pote fi identificata cu V  A° si poate fi
inzestrata cu o structura de spatiu vectorial. Vectorii acestui spatiu vor fi numiti vectori
legati sau vectori tangenti in punctul O la A. Pentru un punct fixat O A, vectorul legat
va fi numit vector de pozitie. Dimensiune a sp.afin = dim V = n. Notam cu An = (A, V, )
. Daca V este un sp.v. euclidian  (A, V, ) – sp.punctual euclidian.
Definitia 4. Se numeste reper cartezian intr-un spatiu afin An o pereche R = {
O; B }, in care O este un punct fixat in A si B  e1 , e2 , ..., en 
este o baza a spatiului vectorial director Vn .
In baza B, avem pentru  P A, exprimarea unica
OP  x1e1  x2e2  ...  xn en , xi  K , i  1, n
Astfel, dat fiind un reper cartezian R = { O; B } in spatiul afin An , oricarui punct P A i se
poate asocia in mod unic n-upla (x1,x2,...,xn) , componentele careia se numesc
coordonatele carteziene ale punctului P in reperul R = { O; B }
Exemple: 10 Spatiul afin standard. Kn = (Kn,Kn,) cu  (A,B)=(b1-a1,...,bn-an)
20 Varietatile liniare sunt spatii afine. L  a  V ' , V’ < V
 ' (a  v , a  w )  w  v  ( L,V ' ,  )  sp. afin
30 Orice spatiu vectorial este un spatiu afin
40 Spatiul geometric al vectorilor liberi
Spatii afine
Varietati iniare
Spatii
vectoriale
Sp.v.
euclidiene
(V ,V ,  ) ,  (v , w )  w  v
Sptiul geometric al vectorilor liberi
Fie E3 spatiul punctual al geometriei euclidiene si V3 spatiul vectorial al
vectorilor liberii.
Aplicatia  : E3  E3  V3 ,  (A, B) = AB satisface proprietăţile :
AB  BC  AC
A1)  A, B, C  E3 ,
A2)  v V3,  A  E3 există un punct B  E3 unic determinat de relaţia
Definitia 1. Tripletul A3 = ( E3, V3,  ) se numeste spatiul afin al
vectorilor liberi .
E3 – multimea suport
V3 - sp. vectorial director
- functia de structura afina( rel. de echipolenta)
Fie O  E3 un punct fixat. Aplicaţia o : E3  V3 definită prin
0 (A) = (O, A) este bijectivă  E3  V3
Vectorul (O, A) = OA va fi numit vector de pozitie
u  v ,   R
Vectori coliniari
AB  v
Vectori coplanari: w = u  v
Teortema 1. Dim V3 = 3

u,v,w – liniar dependenti
Orice trei vectori necoplanari sunt liniar
C1
independenti si orice patru vectori sunt
liniari dependenti.
X
OX  OA  OB  OC
O
x  u  v  w

A1







x V ,  x , x , x  R , x  x u  x v  x w
3
3
1
1
2
3
1
2
3

B1
X1
E3  V3  R3
Coordonatele x1 , x2 , x3 ale vectorului x vor fi numite coordonatele punctului X
Definitia 2. Numim reper cartezian in sp. afin al vectorilor liberi ansamblul
R (O; e1, e2 ,e3), unde O este un punct fix iar {e1, e2 ,e3} o baza a sp. vectorial V3 .
Teorema 2. Funcţia  :V3  V3  R, definită prin
 u  v  cos u ,v  , u ,v  V \ { 0 }
u v  
0
3
pentru a  0 sau / si b  0
defineşte un produs scalar pe spaţiul vectorial al vectorilor liberi.
Spatiul vectorial V3 este un spatiu vectorial euclidian, iar spatiul afin
E3 = ( E3, V3,  ) va fi numit spatiul punctual euclidian al vectorilor liberi sau
pe scurt spatiul geometric al vectorilor liberi.
O bază în V3 formată din vesori ortogonali doi câte doi este numită bază ortonormată
iar coordonatele unui vector într-o bază ortonormată se numesc coordonate euclidiene.
Fie B = {i , j , k } o baza ortonormata in V3 si doi vectori oarecare
a  a1i  a2 j  a3k

a 
 
u v
a12  a22  a32

si
,
atunci a b  a b  a b  a b
1 1
2 2
3 3
b  b1i  b2 j  b3k
ab a b ab
a a a  b b b
 
cosa ,b  
1
1
2
2
1
2
3

uv  0  a b  a b  a b  0
1
1
2
2
2
2
3
3
2
3
2
1
3
2
2
2
3
Produsul
vectorial


Fie vectorii

a şi b  V3.
Pentru
a0
şi b  0 , notăm cu   [0, ] unghiul
dintre a şi b .
Definiţia 3. Se numeşte produs vectorial,
“”:V3  V3  V3 ,
 operaţia binară internă

care asociază perechii ordonate (a ,b ) vectorul notat cu a b , caracterizat de


1° ||a  b || = || a ||  || b ||  sin 

 
a
2° c  a  b este ortogonal pe
şi b
  
3°
Sensul
vectorului
c  a  b este dat de regula mâinii drepte când rotim

pe a peste b sub un unghi ascuţit
Proprietati:
 
 
1) a  b  b  a
  
   
2) a  (b  c )  a  b  a  c

  
 
3) (a )  b  a  (b )   a  b

     

4) pentru a , b  0, a  b  0  b  a


 
 
5) pentru b  a , norma a  b  A( a , b )
B = {i, j, k }
Daca
este o baza ortonormata, iar
a  ai a ja k
1
atunci
2
3
b  bi b j b k
1
2
3
i
a b  a
a  b  (a2b3  a3b2 )i  (a3b1  a1b3 ) j  (a1b2  a2b1 )k
1
b
1
Doi vectori sunt coliniari 
j
a
2
k
a
b
2
b
3
3
a
a1
a
 2  3
b1
b2
b3
Dublul produs vectorial
a  (b  c )  (a  c )b  (a  b )c
a  (b  c ) 
Produsul mixt
Definitia 4. Se numeşte produsul mixt al vectorilor
  
  
dat de
a ,b ,c : a( b  c )


b
ab
c
ac
  
a , b, c ,
numărul real
Proprietati:
   
     
.
1) a1  a2 , b , c   a1 , b , c  a2 , b , c 

 

  
  
2)  a , b , c   a , b , c
  



3) a1 , a2 , a3     a (1) , a ( 2 ) , a ( 3) ,   S3 ,    1
  
  
4) a , b , c  0  a , b , c sunt coplanari
  
5) a , b , c  Vola ,b ,c





a1 a2
  
a , b , c  b1
a3
b2
b3
c1
c2
c3



☻ Itemi fundamentali:
►Spatii vectoriale euclidiene
◘ produs scalar
▪ norma
▪ distanta
◘ inegalitatea Cauchy-Schwarz
▪ unghiul a doi vectori
▪ ortogonalitate
◘ baze ortonormate (Procedeul Gramm-Schmidt)
►Spatiu afin
 bipunct
 functia de structura
 relatia de echipolenta
►Reper cartezian
►Produse de vectori in spatiul geometric al vectorilor liberi
 produs scalar; conditia n.s.s. de ortogonalitate a doi vectori nenuli
produs vectorial ; conditia n.s.s. de coliniaritate a doi vectori nenuli
produs mixt;
conditia n.s.s. de coplanaritate a trei vectori nenuli