V - Dragos Gaftoneanu
Download
Report
Transcript V - Dragos Gaftoneanu
Cursul - 2
Spatii vectoriale euclidiene
Fie V un spaţiu vectorial real.
Dacă adăugăm noţiunea de produs scalar, atunci putem defini noţiunile :
- lungime a unui vector,
- unghiul a doi vectori ortogonalitatea a doi vectori
- distanta dintre doi vectori
Definitia 10. O aplicatie g : V V R, g x, y x , y cu proprietat ile
a) < x, y z > = < x, y > < x, z , x, y, z V
b) < x, y > = < x, y > ,
x, y V, R
c) < x, y > = < y, x > ,
x, y V
d) < x, x > 0, < x, x > = 0 x = 0,
x V
se numeste produs scalar pe spatiul vectorial V
Definiţia 11. Un spaţiu vectorial V pe care s-a definit un produs scalar se
numeşte spaţiu vectorial euclidian
Teorema 10. Dacă spaţiul vectorial V este un spaţiu vectorial euclidian
atunci avem inegalitatea Cauchy-Schwarz:
<x, y>2 <x, x> <y, y>
egalitatea având loc dacă şi numai dacă vectorii x şi y sunt liniar
dependenţi . (dem)
Exemplu. Fie spaţiul aritmetic Rn, x=(x1,x2,...,xn) şi y = (y1, y2,..., yn), doii vectori ,
atunci operaţia
<x, y> =: x1y1 + x2y2 +...+ xnyn
defineşte un produs scalar pe Rn .
Teorema 11. Într-un spaţiu vectorial euclidian V funcţia || ||: V R+ definită
prin || x || x,x , x V este o normă pe V, adică satisface axiomele:
a) || x || > 0, x 0 şi || x || = 0 x = 0
b) || || = | | || x ||, x V, R
c) ||x+ y|| ||x|| + ||y|| (inegalitatea triunghiului).
Exemplu:
In sp. aritmetic Rn || x || x12 x22 ... xn2 defineste o norma(euc.)
Folosind iegalitatea lui Couchy – Schwarz obtinem
cosθ
x,y
|| x || || y ||
Teorema 12. În spaţiul vectorial normat V, funcţia reală d: V V R+,
definită prin d(x, y) = || x – y || este o metrică pe V, adică satisface axiomele:
a) d(x, y) 0, d(x, y) = 0 x = y , x, y V
b) d(x, y) = d(y, x) ,
x, y V
c) d(x, y) d(x, z) + d(z, x) ,
x, y, z V.
Exemplu:
In sp. aritmetic Rn
d(x, y) || x - y || ( x1-y1 ) 2 ( x2-y 2 ) 2 ... ( xn -yn ) 2
defineste o distanta (euclidiana).
Definiţia 12. In spaţiul vectorial V vectorii x, y V se numesc ortogonali dacă
< x, y > = 0 .
Propoziţia 13. Într-un spaţiu vectorial euclidian V orice mulţime ortogonală, formată
din elemente nenule, este liniar independentă.
Consecinţă. Într-un spaţiu vectorial euclidian n-dimensional Vn, orice mulţime
ortogonală formată din n vectori este o bază în Vn.
n
x, e
λ
unde
- coordonate euclidiene
x i ei
e,e
i
i
i 1
i
i
Definiţia 13. Fie x, y V, doi vectori oarecare.Vectorul
pr y x
x, y
y
y, y
, cu y 0 se
x , y
numeşte proiecţie ortogonală a vectorului x pe vectorul y, iar numărul pryx = y
se numeşte mărimea algebrică a proiecţiei ortogonale a lui x pe y .
Definiţia 13. Fie S V o submulţime oarecare a spaţiului euclidian V. Un element
y V se zice ortogonal lui S dacă este ortogonal pe fiecare element al lui S,
adică <y, x> = 0, x S şi notăm prin y S.
Propoziţia 14. Mulţimea tuturor vectorilor y V ortogonali mulţimii S
formează un subspaţiu vectorial notat cu S. În plus, dacă S este un subspaţiu
vectorial atunci subspaţiul S se numeşte complementul ortogonal al lui S.
Propoziţia 15. Dacă subspaţiul S V este de dimensiune finită, atunci S
admite un unic supliment ortogonal S.
Consecinţă. Dacă V = S S şi x = y + y, y S, y S, atunci are loc teorema
lui Pitagora, || x ||2 = || y ||2 + || y ||2
Teorema 5.(Gram - Schmidt) Dacă {v1, v2, ..., vn} este o bază în spaţiul
vectorial euclidian Vn atunci există o bază ortonormată {e1, e2, ..., en} V
astfel încât sistemele de vectori {v1, v2, ..., vp} şi {e1, e2, ..., ep} generează
acelaşi subspaţiu Up V, pentru .
j 1
v j , wi
i 1
wi , wi
wj vj
wi , j 1,n
ei
wi
, i 1,n
||wi||
Consecinţă. Orice subspaţiu vectorial euclidian admite o bază ortonormată
Propoziţia 16. La o schimbare de bază ortonormată B = tAB, într-un spaţiu vectorial
euclidian Vn,, transformarea de coordonate este dată de X = AX, unde A este o
matrice ortogonală.
SPATII AFINE
Fie multimea nevida de puncte A = {A, B, C, ..., P, Q, R, ...} .
Perechea de puncte (A, B) A A va fi numita bipunct al lui A. Vom spune
ca A este originea bipunctului, iar punctul B se va numi extremitatea
bipunctului (A, B).
Bipunctele (A, B) şi (B, A) se vor numi bipuncte simetrice.
Definitia 1. Numim spaţiu afin, tripletul (A, V, ) în care A este o mulţime
nevidă de puncte, V un K-spaţiu vectorial şi funcţia : A ×A A , care
satisface condiţiile:
a1) A, B, C A, (A, B) + (B, C) = (A, C)
a2) A există un punct B A, unic determinat de relaţia ( A, B) v
Avem :
• A - mulţime suport
• V - spaţiul vectorial director → Spatiu afin real (complex) K=R (K=C )
• - funcţia de structură afină → (A, A)= o , (A, B) = - (B,A)
Într-un spaţiu afin (A, V, ) funcţia determină o relaţie de echivalenţă pe
mulţimea bipunctelor lui A, pe care o vom numi relaţia de echipolenţă.
(A, B) ~ (C, D) (A, B) = (C, D) A ×A/ ~ ≡ V
Spaţiul factor A A/~ este în corespondenţă bijectivă cu spaţiul vectorial V.
Clasa bip. (A,B),
r
r _ r
(v) ( A, B) A A (A,B) v AB v
1
va fi numita vector liber
Consecinta 1. Funcţia este surjectivă şi în plus, pentru fiecare punct O A fixat ,
O :A V , O (A) = (O, A), A A , este bijectivă.
Multimea A° ={O}A = {(O, A)|A A } pote fi identificata cu V A° si poate fi
inzestrata cu o structura de spatiu vectorial. Vectorii acestui spatiu vor fi numiti vectori
legati sau vectori tangenti in punctul O la A. Pentru un punct fixat O A, vectorul legat
va fi numit vector de pozitie. Dimensiune a sp.afin = dim V = n. Notam cu An = (A, V, )
. Daca V este un sp.v. euclidian (A, V, ) – sp.punctual euclidian.
Definitia 4. Se numeste reper cartezian intr-un spatiu afin An o pereche R = {
O; B }, in care O este un punct fixat in A si B e1 , e2 , ..., en
este o baza a spatiului vectorial director Vn .
In baza B, avem pentru P A, exprimarea unica
OP x1e1 x2e2 ... xn en , xi K , i 1, n
Astfel, dat fiind un reper cartezian R = { O; B } in spatiul afin An , oricarui punct P A i se
poate asocia in mod unic n-upla (x1,x2,...,xn) , componentele careia se numesc
coordonatele carteziene ale punctului P in reperul R = { O; B }
Exemple: 10 Spatiul afin standard. Kn = (Kn,Kn,) cu (A,B)=(b1-a1,...,bn-an)
20 Varietatile liniare sunt spatii afine. L a V ' , V’ < V
' (a v , a w ) w v ( L,V ' , ) sp. afin
30 Orice spatiu vectorial este un spatiu afin
40 Spatiul geometric al vectorilor liberi
Spatii afine
Varietati iniare
Spatii
vectoriale
Sp.v.
euclidiene
(V ,V , ) , (v , w ) w v
Sptiul geometric al vectorilor liberi
Fie E3 spatiul punctual al geometriei euclidiene si V3 spatiul vectorial al
vectorilor liberii.
Aplicatia : E3 E3 V3 , (A, B) = AB satisface proprietăţile :
AB BC AC
A1) A, B, C E3 ,
A2) v V3, A E3 există un punct B E3 unic determinat de relaţia
Definitia 1. Tripletul A3 = ( E3, V3, ) se numeste spatiul afin al
vectorilor liberi .
E3 – multimea suport
V3 - sp. vectorial director
- functia de structura afina( rel. de echipolenta)
Fie O E3 un punct fixat. Aplicaţia o : E3 V3 definită prin
0 (A) = (O, A) este bijectivă E3 V3
Vectorul (O, A) = OA va fi numit vector de pozitie
u v , R
Vectori coliniari
AB v
Vectori coplanari: w = u v
Teortema 1. Dim V3 = 3
u,v,w – liniar dependenti
Orice trei vectori necoplanari sunt liniar
C1
independenti si orice patru vectori sunt
liniari dependenti.
X
OX OA OB OC
O
x u v w
A1
x V , x , x , x R , x x u x v x w
3
3
1
1
2
3
1
2
3
B1
X1
E3 V3 R3
Coordonatele x1 , x2 , x3 ale vectorului x vor fi numite coordonatele punctului X
Definitia 2. Numim reper cartezian in sp. afin al vectorilor liberi ansamblul
R (O; e1, e2 ,e3), unde O este un punct fix iar {e1, e2 ,e3} o baza a sp. vectorial V3 .
Teorema 2. Funcţia :V3 V3 R, definită prin
u v cos u ,v , u ,v V \ { 0 }
u v
0
3
pentru a 0 sau / si b 0
defineşte un produs scalar pe spaţiul vectorial al vectorilor liberi.
Spatiul vectorial V3 este un spatiu vectorial euclidian, iar spatiul afin
E3 = ( E3, V3, ) va fi numit spatiul punctual euclidian al vectorilor liberi sau
pe scurt spatiul geometric al vectorilor liberi.
O bază în V3 formată din vesori ortogonali doi câte doi este numită bază ortonormată
iar coordonatele unui vector într-o bază ortonormată se numesc coordonate euclidiene.
Fie B = {i , j , k } o baza ortonormata in V3 si doi vectori oarecare
a a1i a2 j a3k
a
u v
a12 a22 a32
si
,
atunci a b a b a b a b
1 1
2 2
3 3
b b1i b2 j b3k
ab a b ab
a a a b b b
cosa ,b
1
1
2
2
1
2
3
uv 0 a b a b a b 0
1
1
2
2
2
2
3
3
2
3
2
1
3
2
2
2
3
Produsul
vectorial
Fie vectorii
a şi b V3.
Pentru
a0
şi b 0 , notăm cu [0, ] unghiul
dintre a şi b .
Definiţia 3. Se numeşte produs vectorial,
“”:V3 V3 V3 ,
operaţia binară internă
care asociază perechii ordonate (a ,b ) vectorul notat cu a b , caracterizat de
1° ||a b || = || a || || b || sin
a
2° c a b este ortogonal pe
şi b
3°
Sensul
vectorului
c a b este dat de regula mâinii drepte când rotim
pe a peste b sub un unghi ascuţit
Proprietati:
1) a b b a
2) a (b c ) a b a c
3) (a ) b a (b ) a b
4) pentru a , b 0, a b 0 b a
5) pentru b a , norma a b A( a , b )
B = {i, j, k }
Daca
este o baza ortonormata, iar
a ai a ja k
1
atunci
2
3
b bi b j b k
1
2
3
i
a b a
a b (a2b3 a3b2 )i (a3b1 a1b3 ) j (a1b2 a2b1 )k
1
b
1
Doi vectori sunt coliniari
j
a
2
k
a
b
2
b
3
3
a
a1
a
2 3
b1
b2
b3
Dublul produs vectorial
a (b c ) (a c )b (a b )c
a (b c )
Produsul mixt
Definitia 4. Se numeşte produsul mixt al vectorilor
dat de
a ,b ,c : a( b c )
b
ab
c
ac
a , b, c ,
numărul real
Proprietati:
.
1) a1 a2 , b , c a1 , b , c a2 , b , c
2) a , b , c a , b , c
3) a1 , a2 , a3 a (1) , a ( 2 ) , a ( 3) , S3 , 1
4) a , b , c 0 a , b , c sunt coplanari
5) a , b , c Vola ,b ,c
a1 a2
a , b , c b1
a3
b2
b3
c1
c2
c3
☻ Itemi fundamentali:
►Spatii vectoriale euclidiene
◘ produs scalar
▪ norma
▪ distanta
◘ inegalitatea Cauchy-Schwarz
▪ unghiul a doi vectori
▪ ortogonalitate
◘ baze ortonormate (Procedeul Gramm-Schmidt)
►Spatiu afin
bipunct
functia de structura
relatia de echipolenta
►Reper cartezian
►Produse de vectori in spatiul geometric al vectorilor liberi
produs scalar; conditia n.s.s. de ortogonalitate a doi vectori nenuli
produs vectorial ; conditia n.s.s. de coliniaritate a doi vectori nenuli
produs mixt;
conditia n.s.s. de coplanaritate a trei vectori nenuli