Transcript (T). - Dragos Gaftoneanu

Cursul - 4
Trasformari liniare
Fie V şi W două spaţii vectoriale peste câmpul K.
Definiţia 1. Se numeşte transformare liniară (aplicaţie liniară, operator liniar sau
morfism de spaţii vectoriale) o funcţie T: V  W, care satisface proprietăţile:
1) T(x+y) = T(x) +T (y) ,  x, y  V
2) T(x) =  T(x) ,
xV,K.
Propozitia 1. Aplicaţia T: V  W, este o transformare liniară dacă şi numai dacă
T(x+y) =  T(x) +  T (y) ,  x, y  V,  ,   K.
Exemple:
1o Aplicaţia T: Rn  Rm , T (x) = AX, A  M mn (R) , X = tx este o transformare liniară.
În particular, pentru n = m = 1 , aplicaţia definită prin T (x) = ax, a  R, este liniară.
2° Aplicaţia T: C1 (a, b)  C0(a,b) , T (f ) = f  este liniară.
3o Aplicaţia T: C0 (a, b)  R, T(f) = f ( x)dx este liniară.

o
4 Dacă T: V  W este o transformare liniară bijectivă atunci T-1: W  V este o
transformare liniară.
T: V  W bijectiva - izomorfism
T: V  V – endomorfism (+bijectiv = automorfism)
b
a
Propozitia 2. Dacă T: V  W este o transformare liniară oarecare, atunci :
a) T (0V) = 0W , T (-x) = - T(x),  x  V
b) Imaginea T (U)  W, a unui subspaţiu vectorial U  V, este
subspaţiu vectorial
c) Contraimaginea T-1 (W )  V , a unui subspaţiu vectorial W  W ,
este un subspaţiu vectorial
d) Dacă vectorii x1, x2 ,..., xn  V sunt liniar dependenţi atunci şi
vectorii T (x1), T (x2) ,..., T (xn)  W sunt liniar dependenţi.
Consecinţa 1. Dacă T: V  W este o transformare liniară atunci :
a)
Mulţimea Ker T = T-1{0} ={x  V | T (x) = 0 }  V numită nucleul
transformării liniare T , este un subspaţiu vectorial.
b)
Im T = T (V)  W, numită imaginea transformării liniare T, este un
subspaţiu vectorial.
c)
Dacă T(x1), T(x2), ... , T(xn)  W sunt liniar independenţi atunci şi vectorii
x1, x2 ,..., xn  V sunt liniar independenţi.
Propozitia 3. O transformare liniară T: V  W este injectivă
dacă şi numai dacă Ker T = {0}.
(T consrva liniar independenta )
Dimensiunea nucleului Ker T se numeşte defectul operatorului T .
Dimensiunea imaginii Im T se numeşte rangul operatorului T .
Teorema 1. (teorema rangului) Dacă spaţiul vectorial V este
finit dimensional atunci şi spaţiul vectorial ImT este finit
dimensional şi avem relaţia
dim Ker T+ dim Im T = dim V
Consecinţa 2. Dacă V şi W sunt două spaţii vectoriale finit
dimensionale şi T: V  W este o transformare liniară, atunci:
1) Dacă T este injectivă şi {e1, e2, ..., en} este o bază în
V atunci { T (e1), T (e2), ..., T (en)} este o bază în ImT .
2) Două spaţii vectoriale izomorfe au aceeaşi dimensiune.
Fie Vn şi Wm două K-spaţii vectoriale finit dimensionale şi T: V  W o
.
transformare liniară.
Dacă B = {e1, e2, ..., en} este o bază fixată în Vn , iar B = {f1, f2, ..., fm } este o
bază fixată în Wm atunci transformarea liniară T este unic
determinată de valorile T (ej)Wm . Pentru  j =1,n asociem imaginii T (ej)
n-upla (a1j, a2j, ..., amj), adica
m
T (e j )   aij f i
i 1
A=( aij)  Mmx n(K) – matricea asociata tranasformarii liniare T in raport cu
bazele B si B’.
n
m
j 1
i 1
Teorem
2. Dacă x =  x j e j are imaginea y = T (x) =  y f , atunci
n
yi =  aij x j ,  i = 1,m.
i
i
j 1
In adevar,






T ( x )  T  x e   x T ( e )  x  a f    a x f   y f
n
j 1
j
j
n
j 1
n
j
j
j 1
j
m
i 1
ij
i
m
i 1
n
j 1
ij
j
m
i
i 1
i
i
.
In limbaj matriceal scriem
Y = AX – numite ecuatiile transformarii liniare T
in raport cu bazele considerate.
Teorema 3. Două matrice A, A  Mn (K) relativ la bazele B, B 
Vn , reprezintă aceeaşi transformare liniară T : Vn  Vn
dacă şi numai dacă A = -1 A . Unde  este matricea de
trecere de la baza B la baza B.
Definiţia 2. Două matrice A, B  Mn(K) se numesc asemenea
dacă există o matrice nesingulară C  Mn(K) astfel încât are
loc relaţia B = C-1 A C .
Observatii:
1o Asemanarea este o relatie de echivalenta
2o Doua matrice asemenea au acelasi determinant
detB = det(C-1)  detA  detC = det A  rang A=:rang T
Vectori si valori proprii.
y  a x
n
Cautam cea mai simpla forma de exprimare pentru ecuatiile transformarii T:
i
j 1
ij
j
Definiţia 3. Fie V un K-spaţiu vectorial şi T  End(V) un endomorfism.
Un vector x  V, x  0 se numeşte vector propriu al endomorfismului T : V  V
dacă există   K astfel încât T(x) = x .
Scalarul   K se numeşte valoarea proprie a lui T corespunzătoare vectorului
propriu x.
Mulţimea valorilor proprii ale endomorfismului T este numit spectrul operatorului T şi se
notează cu  (T).
Teorema 4. Dacă V este un K-spaţiu vectorial şi T  End(V), atunci
1) Fiecărui vector propriu al lui T îi corespunde o singură valoare proprie   (T)
2) Vectorii proprii ce corespunde la valori proprii distincte sunt linair independenţi.
3) Mulţimea S = {x  V | T x = x ,    (T)}  V este un subspaţiu vectorial,
invariant în raport cu T , adică T (S)  S . Subspaţiul vectorial se numeşte
subspaţiu propriu corespunzător valorii proprii    (T).
Definiţia 4. Matricea nenulă X Mn(K) se numeşte vector propriu al
matricei A dacă    K astfel încât AX = X. Scalarul   K se numeşte
valoare proprie a matricei A.
Ecuaţia matriceală AX = X poate fi scrisă sub forma (A - I )X = 0 şi este echivalentă
cu sistemul de ecuaţii liniare şi omogene
 ( a11   ) x1  a12 x2  ...  a1n xn  0
a x  ( a   ) x  ...  a x  0
 21 2
12
2
2n n

 .................................................

 an1 x1  an1 x2  ...  ( ann   ) xn  0
care admite soluţii diferite de soluţia banală dacă şi numai dacă
a11  
P() = det(A - I ) =
a12 ... a1n
a21 a22 - ... a2 n
0
..............................
an1
an2 ... ann  
Polinomul P() = det(A - I ) - polinomul caracteristic al matricei A
P() = 0
- ecuaţia caracteristică
P() = (-1)n [n - 1n-1 + ... + (-1)nn ]
Observatii:
1o Soluţiile ecuaţiei caracteristice det(A - I ) = 0 sunt valorile proprii ale matricei A.
2o Dacă K este un câmp închis  toate rădăcinile ecuaţiei caracteristice sunt în corpul K
 vectorii proprii corespunzători se vor găsi în K-spaţiul vectorial Mn1(K).
3o Pentru o matrice reală şi simetrică valorile proprii sunt reale.
4o Două matrice asemenea au acelaşi polinom caracteristic.
Dacă A Mn(K) şi P(x) = a0xn + a1xn-1 + ... + an  K[X] atunci polinomul
P(A) = a0An + a1An-1+ ... + anI se numeşte polinom de matrice.
Teorema 5. (Hamilton – Cayley) Dacă P() este polinomul caractersitic al
matricei A, atunci P(A) = 0.
Consecinţa 3. Orice polinom în A  Mn(K) de grad  n poate fi exprimat printr-un
polinom de grad n – 1.
Consecinţa 4. Inversa matricei A poate fi exprimată prin puteri ale matricei A,
inferioare ordinului acesteia.
Valorile proprii ale endomorfismului T, dacă există, sunt rădăcinile polinomului P() în
câmpul K, iar vectorii proprii ai lui T vor fi soluţiile ecuaţiei matriceale (A - I )X = 0.
Forma canonica a unui endomorfism
Fie endomorfismul T : Vn  Vn definit pe K-spaţiul vectorial ndimensional Vn.
Dacă în spaţiul vectorial Vn considerăm bazele B şi B , atunci A = -1A.
Definiţia 5. Endomorfismul T: Vn  Vn se numeşte diagonalizabil dacă există o
bază B = {e1, e2, ..., en} în spaţiul vectorial Vn astfel încât matricea
corespunzătoare lui T în această bază să aibă forma diagonală.
Teorema 4. Un endomorfism T: Vn  Vn este diagonalizabil dacă şi numai dacă
există o bază a spaţiului vectorial Vn
formată numai din vectori proprii
corespunzători endomorfismului T.
Rezultă că matricea asociată lui T, în această bază, este data de


0
D 
...

0
1
0

2
...
0
0

... 0 
... ... 

...  
...
n
în care scalarii i  K nu sunt neapărat distincţi.
Consecinţa 5. Dacă endomorfismul T are n valori propri distincte, atunci
vectorii proprii corespunzători determină o bază în Vn şi matricea asociată lui
T în această bază este o matrice diagonală având pe diagonala principală
valorile proprii ale lui T .
Consecinţăa 6. Dacă A Mn(K) este diagonalizabilă atunci
detA = 1 2  ...  n.
Polinomul caracteristic P(λ) poate fi scris
P   (    ) (    ) .....(   ) ,
m1
1
m1
1
m1
1
m  n
p
k 1
k
mk – multiplicitatea algebrica
dim S - multiplicitatea geometrica , dim S  mk
Teorema 5. Un endomorfism T : Vn  Vn este diagonalizabil
dacă şi numai dacă polinomul caracteristic are toate
rădăcinile în câmpul K şi dimensiunea fiecărui subspaţiu
propriu este egală cu ordinul de multiplicitate al valorii proprii
corespunzătoare.
.
Consecinţa 7. Dacă T : Vn  Vn este un endomorfism
diagonalizabil, atunci spaţiul vectorial Vn poate fi reprezentat
sub forma
V  S  S  ..... S
n
1
2
p
Algoritm pentru diagonalizarea unui endomorfism (matrice):
1o det(A - I ) = 0
20 Se aplica Teorema 5.
I. pentru λkK,  i = 1,2,...,p ( dim S = n - rang(A - iI ))
a) daca dim S = mk ,  i = 1,p  T este diagonalizabil


0
D  T AT  
.

0
1
1
0

x
.
0
0

0
.
. 

...  
...
...
p
b) dacă  i  K a.î. dim S < mi ,  T nu este diagonalizabil
II. Dacă  i  K, atunci T nu este diagonalizabil.