Slide 1


Slide 2

INTRODUCERE
Transformările grafice sunt operaţii geometrice
liniare sau neliniare, având ca operanzi formele
grafice.
Cele mai uzitate tipuri de transformări grafice
sunt:
- transformări bidimensionale
- transformări tridimensionale


Slide 3

TRANSFORMĂRI BIDIMENSIONALE
Transformările
bidimensionale
sunt
operaţii de trecere între
spaţii de dimensiune 2.
Cele mai cunoscute
tipuri de transformări
grafice bidimensionale
sunt:

- translarea
- rotaţia
- scalarea
- oglindirea
- forfecarea


Slide 4

TRANSLAREA 2D
Translarea se definește ca fiind transformarea
grafică pentru care orice punct al formei suferă o
deplasare liniară global definită.
Translarea este o transformare grafică ce lasă
nemodificate distanțele între punctele unei forme
grafice. Acestă caracteristică este specifică
corpurilor fizice solide (nedeformabile) și de aceea
o vom numi caracteristică de corp solid.
Reformulând, putem spune că transformarea
grafică numită translare prezintă caracteristica de
corp solid.
Operația de translare poate fi definită cel puțin din
două puncte de vedere: ALFA şi BETA.


Slide 5

(ALFA)TRANSLAREA 2D
Fie punctul P de coordonate (xp,yp) și punctul Q de coordonate (xq,yq). Distanța între aceste două puncte este
definită ca fiind:

D 

x

q

 xp



2



y

q

 y



2

p



Dx  D
2

Y

P(xp,yp)
yp
D
Dy

Q(xq,yq)

yq

O

xp

Dx

xq

Fig. 1. Translarea ca deplasare între puncte

X

2
y


Slide 6

(ALFA) TRANSLAREA 2D
Deplasarea geometrică a punctului grafic, din poziția P în poziția Q, echivalează cu parcurgerea de către acesta
a distanței D, sau – ceea ce este echivalent, cu parcurgerea de către proiecția x a distanței Dx și de către
proiecția y a distanței Dy. În format analitic, acest lucru se scrie:


xq  x p  D x


 yq  y p  D y
xq  x p  D x 
    

 y q   y p   D y 

unde:

xq 
 
 y q 

și

x p 
 
 y p 

sunt vectorii de poziție ai punctelor Q și P, iar

D x 


D y 

notează vectorul deplasare 𝑃𝑄.


Slide 7

(ALFA) TRANSLAREA 2D
Observație: Expresia matriceală normală ar trebui să fie de forma:
 a 11

 a 21

unde matricea

a 12 

a 22 

 x q   a 11
   
 y q   a 21

a 12   x p 
 
a 22   y p 

este operatorul transformării. În condițiile date, însă, o astfel de scriere, în
care componentele operatorului să fie constante reale, nu este posibilă. Din
acest motiv vor fi introduse mai târziu coordonatele omogene.
În cazul dat, coeficienții matricei operatorului transformării ar trebui să fie
conformi cu:
1


 D y / x p

Se observă că a și
deplasării.
12

a 21

Dx / yp 

1


nu sunt constante independente de punctele extreme ale


Slide 8

(BETA) TRANSLAREA 2D
Fie reperele XpOpYp și XqOqYq, ortogonale drepte. Translarea punctului curent din P în Q este interpretată în
acest caz ca o transformare de coordonate, de la (xp,yp) la (xq,yq), adică o deplasare a referențialului XqOqYq față
de XpOpYp cu distanța D.


Slide 9

(BETA) TRANSLAREA 2D


Slide 10

SCALAREA 2D
• Transformarea grafică de scalare se definește ca fiind
operația prin care forma grafică suferă o modificare de
reprezentare în urma căreia distanțele dintre puncte
sunt afectate.
• Fiecărei axe de coordonate i se atașează un scalar
numit factor de scară. Atunci când factorii de scară au
aceeași valoare, operația de scalare se transformă în
operație de asemănare iar factorul de scalare unic
definit poartă numele de factor de asemănare.
Factorul de asemănare unitate conduce la operația de
identitate.
• Un factor de scalare supraunitar specifică o mărire de
dimensiune în timp ce un factor de scalare subunitar
conduce la o micșorare de dimensiune.


Slide 11

SCALAREA 2D
Scalarea unui punct P(x,y) cu factorii sx și sy
față de origine, semnifică scalarea vectorului
de poziție 𝑂𝑃 𝑥, 𝑦 . Vectorul rezultat în urma
scalării, notat 𝑂𝑃′ 𝑥′, 𝑦′ , are componentele
x’, y’ exprimate ca:

𝒓′ = 𝑺𝒓


Slide 12

SCALAREA 2D
Asemănarea se va exprima astfel:

cu: sx=sy=s
Observaţie:
Se poate observa că în analiza
făcută, originea (ca punct) prezintă un rol special,
constituind punctul fix al transformării.
În cazul general, punctul fix al transformării poate
fi oricare punct din spațiul transformării.


Slide 13

SCALAREA 2D
Scalarea punctului P față de punctul fix al transformării F, cu
factorii sx și sy, înseamnă scalarea vectorului 𝐹𝑃. Componentele
vectorului scalat 𝐹𝑃′ vor fi:

Observație: Pentru
se regăsesc relațiile
corespunzătoare scalării față de origine.


Slide 14

ROTAŢIA 2D


Slide 15

ROTAŢIA 2D
După transformările trigonometrice specifice
sumei de argument, obţinem:

Expresia matriceal-vectorială corespondentă
este:


Slide 16

ROTAŢIA 2D
Rezultă că matricea transformării este:

Transformarea de rotaţie se rescrie astfel:

 x' 
x 
cu r    şi r'    .
 y' 
 y


Slide 17

ROTAŢIA 2D
Dacă matricea transformării este nesingulară:
 

cos 

 sin 

sin 

cos 

există transformarea inversă:
r  R

 x' 
x 
cu r    şi r'    .
 y' 
 y

1

r'

0


Slide 18

COMPUNEREA
TRANSFORMĂRILOR 2D
De cele mai multe ori o transformare grafică este compusă din mai multe
transformări elementare.
Pentru simplificarea reprezentărilor matematice, se preferă utilizarea notației
matriceale în descrierea operațiilor de transformare. Astfel, rotația punctului P(x,y)
față de origine, se exprimă astfel:
 x'   cos 
   
 y'   sin 

 sin    x 
 
cos    y 

sau:

 x'

y'    x

 cos 
y 
  sin 

sin  
  x
cos  

 cos 
y 
 sin 

Sintetic se poate scrie:

v'  Rv  v'

T

 v

T

R

T

 sin  

cos  

T


Slide 19

COMPUNEREA
TRANSFORMĂRILOR 2D
Considerăm în continuare o scalare față de origine urmată de o rotație față de origine.
Avem:

v'  RSv

 v'  Tv

cu:
 cos 
T  RS  
 sin 

 sin    s x 0   s x cos 
  

cos    0 s y   s x sin 


 s y sin  

s y cos  


Observație:
Deoarece produsul matriceal nu este comutativ, va trebui acordată atenție succesiunii
matricelor ce semnifică operatorii transformărilor. Regula este ca matricea să se succeadă
în ordinea în care acestea operează, de la dreapta la stânga.
Astfel, o transformare compusă dintr-o rotație urmată de o scalare se scrie: T 1  SR
În timp ce o transformare compusă dintr-o scalare urmată de o rotație se scrie: T 2  RS
Exercițiu: Să se demonstreze că cele două transformări sunt distincte.


Slide 20

COORDONATE OMOGENE
Coordonatele omogene au fost introduse de Möbius.
August Ferdinand Möbius (n. 17 noiembrie 1790 - d. 26 septembrie 1868) a fost un matematician și un astronom
german. Este cunoscut mai ales pentru descoperirea unei suprafețe speciale, denumite ulterior bandă Möbius. Möbius
este primul care a introdus coordonatele omogene în geometria proiectivă. Alte concepte matematice care i se atribuie
sunt: transformările lui Möbius din geometria proiectivă, funcția lui Möbius din teoria numerelor și formula de inversiune a
lui Möbius.
Coordonatele omogene permit transformări afine prin reprezentarea lor sub forma unei matrice. Ele permit, de
asemenea, efectuarea calculelor în spații proiective într-un mod similar cu cel în care coordonatele carteziene o fac în
spaţiul euclidian.
Din punct de vedere intuitiv, coordonatele omogene reprezintă componentele vectoriale ce construiesc vectorii de poziţie
ai mulţimii punctelor (x,y,w) de pe planul (w=const) ce constituie proiecţia universului înconjurător. Punctele din planul
 constituie intersecţia dreptelor de proiecţie a punctelor din univers cu planul , atunci când razele de proiecţie trec prin
originea sistemului de coordonate (punctul fix proiectiv este originea).


Slide 21

COORDONATE OMOGENE
Dacă se va încerca exprimarea unor transformări compuse ce cuprind în secvență cel puțin
o translare, reprezentările matriceale ale acestora (după modelul prezentat) nu vor mai fi
posibile fără a apela la coordonatele omogene.
Un punct din plan, notat (x,y), se reprezintă în coordonate omogene prin vectorul:
unde: x 0  kx , y 0  ky și k   .

 x0

y
 0
 k








Observație 1:
Reprezentarea unui punct în coordonate omogene nu este unică.
Astfel, vectorii:
omogene.

3 
 
2
 

1 


,

6 
 
4
 

2 


și

 30

20


 10







sunt reprezentări posibile ale punctului (3,2) în coordonate

Observație 2:
Un vector în coordonate omogene

a 
 
b
 

c 


, c  0 , reprezintă punctul din plan notat

a / c 


b / c 

.


Slide 22

COORDONATE OMOGENE
a / 0 


b
/
0



Observaţie: Punctul
este punctul de la infinit
situat pe dreapta ay-bx=0 (această ecuaţie
x
a

rezultă din y b ).
Rezultă:


1 
 
0
 
 0 

 0 
 
1
 
 0 




1 
 
1
 
 0 

este punctul de la infinit de pe semiaxa pozitivă Ox
este punctul de la infinit de pe semiaxa negativă Oy
1 

este punctul de la infinit de pe dreapta y=x în direcţia 1


Slide 23

COORDONATE OMOGENE
Cele trei transformări discutate (translarea,
scalarea şi rotaţia) în coordonate omogene,
capătă următoarele exprimări:
- translarea:

1
 x' 

 
y'   0
 
0
 1 


0
1
0

tx x 
 
ty  y
 

1   1 

- scalarea faţă de origine:
- rotaţia faţă de origine:

sx
 x' 

 
y'   0
 
0
 1 


 x' 
 cos 
 

y '  sin 
 

 1 
 0

0x 
 
0 y
 

1   1 

0
sy
0

 sin 
cos 
0

0 x 
 
0
y
 
1   1 


Slide 24

COORDONATE OMOGENE
Expresiile matematice ale scalării şi rotaţiei faţă de un punct oarecare din plan, se pot
obţine prin compunerea următoarelor transformări:
1. translarea în urma căreia punctul fix al transformării ajunge în origine;
2. scalarea/rotaţia faţă de origine;
3. translarea inversă celei de la punctul 1.

Ecuaţiile matriceale sunt:

unde:

1

D  0

0

1

T 1  D SD

 xf 

1  yf 

0
1 

0

şi

respectiv

T2  R

1

.

SR


Slide 25

COORDONATE OMOGENE
Transformări inverse
Fiecare dintre transformările elementare deţine o operaţie inversă (o transformare
opusă).
Se pot verifica proprietăţile:

1. D ( t x , t y ) 

1

2.

S ( s x , s y )   1

3.  R (  ) 

1



 D (  t x , t y )





 S( 1 / sx ,1 / sy )

 R (   )




Slide 26

COORDONATE OMOGENE
Alte transformări
1. Oglindirea (Reflexia)
2. Forfecarea

1. Oglindirea
(a) – faţă de o axă
(b) – faţă de o dreaptă oarecare
(c) – faţă de un punct

2. Forfecarea
(a) – după o axă
(b) – după o dreaptă oarecare


Slide 27

COORDONATE OMOGENE
(1.a) Oglindirea faţă de o axă
- faţă de axa Ox:
 x'  x

 y'   y



Y

O

 x' 
1
 

y'  0
 

 1 
 0

0
1
0

0x 
 
0
y
 
1   1 

X


Slide 28

COORDONATE OMOGENE
(1.a) Oglindirea faţă de o axă
- faţă de axa Oy:
 x'   x

 y'  y



Y

O

 x' 
 1
 

y' 
0
 

 1 
 0

0
1
0

X

0 x 
 
0
y
 
1   1 


Slide 29

COORDONATE OMOGENE
(1.a) Oglindirea faţă de o axă
- faţă de axa x=y (prima bisectoare):

 x'  y

 y'  x



 x' 
0
 

y'  1
 

 1 
 0

Y

O

X

1
0
0

0x 
 
0
y
 
1   1 


Slide 30

COORDONATE OMOGENE
(1.b) Oglindirea faţă de o dreaptă oarecare
Această transformare se poate defini ca fiind transformarea compusă
din următoarea secvenţă:
1.
2.
3.
4.
5.

translare astfel încât dreapta să treacă prin origine;
rotaţie faţă de origine astfel încât dreapta să se suprapună peste una dintre
axele principale;
oglindire faţă de axa principală respectivă;
rotaţie inversă celei de la punctul 2;
translare inversă celei de la punctul 1.

În notaţie matriceală transformarea se exprimă astfel: T  D  1 R  1 ORD
Observaţie: O  1  O
Exerciţiu: Să se demonstreze afirmaţia de mai sus pentru cazul oglindirii faţă
de prima bisectoare.


Slide 31

COORDONATE OMOGENE
(1.c) Oglindirea faţă de un punct
- faţă de origine:

 x'   x

 y'   y



 x' 
 1 0
 

y' 
0
1
 

 1 
 0
0

Y

O

X

0x 
 
0
y
 
1   1 


Slide 32

COORDONATE OMOGENE
(2.a) Forfecarea
- după axa Ox:

 x'  x  F x y

 y'  y

Fx 0   x 
 
1 0
y
 
0 1   1 

Y

Y

O



1
 x' 

 
y'  0

 
 0
 1 

X

O

X


Slide 33

COORDONATE OMOGENE
(2.a) Forfecarea
- după axa Oy:

 x'  x

 y'  y  F y x

Y

Y

O



1 0
 x' 

 
y'   F y 1
 
0
 1 
0


X

O

X

0x 
 
0 y
 
1   1 


Slide 34

COORDONATE OMOGENE
(2.b) Forfecarea
- cazul general:
 x'  x  F x y

y'  y  F y x


0x 
 
0 y
 
1   1 

Fx
1
0

Y

Y

O



1
 x' 

 
y'   F y
 
0
 1 


X

O

X