Transcript 2-Grupuri-Proprietati

G
R
U
P
U
R
I
Grupul rotaţiilor Cn
Grupul dihedral Dn
Grupul permutărilor Sn
Grupul alternativ An
Grupul cuaternionilor H8
Grupul matricilor Pauli
Grupurile poliedrelor
Relaţii şi generatori
Izomorfisme
Subgrupuri
Diagrame Cayley
Ordinul grupului şi elementului
Grupul acţiunilor
soldatului
Reguli:
1. Există o listă predefinită de acţiuni
care nu se schimbă niciodată
2. Fiecare acţiune este reversibilă
3. Fiecare acţiune este deterministă
4. Fiecare secvenţă de acţiuni este
tot o acţiune
Grupul simetriilor 2D –Rotaţiile pătratului C4
0
1
2
3
G={Q,Q,Q,Q }
4
G={Q|Q =I }
Generatorul grupului
Relaţii între generatori
Izomorfismul dintre
grupul soldatului şi grupul rotaţiilor C4
Graful Cayley
Moduri diferite de a reprezenta grupul C4 - izomorfisme
0
1
2
3
G = { Q =1, Q = i, Q = -1, Q = -i }
4
G = { Q | Q = 1, Q=exp(2π i/4)=i }
4
Grupul rădăcinilor ec. Z =1
Grupul matricilor rotaţiilor de unghi 2π/4
Moduri diferite de a reprezenta grupul C4 - izomorfisme
Grupul permutărilor ciclice
de 4 elemente
Grupul Z4 al numerelor întregi modulo 4
Grupul Z4 are un subgrup Z2
Grupul rotaţiilor n-gonului Cn
este izomorf cu grupul ciclic Zn
G = { Q | Q n = I , Q=exp(2πi/n) }
Grupul acţiunilor
- Grupul Klein
Grupul simetriilor 3D ale paralelipipedului
K={I,R,P, Y }
K = { I , S , D , SD } Grupul Klein are doi generatori
2
2
K = { S,D | S = D = I }
Relaţii între generatori
Ordinul elementului S şi D este 2. Ordinul grupului (nr. Elemente) este 4.
K={I,R,P, Y }
K = { I , S , D , SD } Grupul Klein are doi generatori
2
2
K = { S,D | S = D = I }
Relaţii între generatori
Teorema Lagrange - dacă G este un grup finit, atunci ordinul (numărul de
elemente) al oricărui subgrup H divide ordinul lui G
Ordinul grupului Klein este 4.
Ordinul elementului S şi D este 2. Elementele S şi D formează subgrupuri ciclice C2
de ordin 2 care-l divid pe 4.
Putem interpreta reflexiile S şi D ca fiind transpoziţii de 4 elemente.
(Transpoziţiile sunt permutări de numai 2 elemente din cele n disponibile.
Grupul Klein izomorf cu:
Grupul 2D a simetriilor dreptunghiului:
a - reflexia faţă de planul vertical
b - reflexia faţă de planul orizontal
c – rotaţia cu 180 grade
Grupul 3D a simetriilor
paralelipipedului faţă de 3 axe
perpendiculare între ele
Grupul Klein D2≃Z2×Z2
nu sunt
izomorfe
Grupul ciclic C4≃Z4
Grupul permutărilor Sn
n obiecte se permută în n! moduri diferite
3 obiecte se permută în 3! moduri diferite
Relaţii între generatori
care sunt transpoziţii
Teorema Cayley
Orice grup finit G este un subgrup al grupului permutărilor Sn
Grupul permutărilor S3
3 obiecte se permută în 3! moduri diferite
Transpoziţii
(permută obiectul i cu i+1)
- Orice permutare se poate scrie ca un produs de
m transpoziţii
- Dacă m este par, permutarea e pară
- Dacă m este impar, permutarea e impară
- Grupul permutărilor pare se numeşte grup alternativ
Cicluri (permută ciclic n obiecte)
- Orice permutare se poate scrie ca un produs de
m cicluri disjuncte (nu acţionează pe elemente
comune)
Relaţiile dintre generatorii
grupului S3
Grupul S3 se poate realiza ca
grupul rotaţiilor şi reflexiilor
unui triunghi echilateral D3
r
f
rr
frr
e
fr
r
rr
f
Subgrupul reflexiilor
C2

e
frr
fr
Subgrupul rotaţiilor
 C3

Grupul simetric S3
C3 este grup comutativ sau abelian
S3 este grup neabelian
 Grupul
ciclic C3
este subgrup al
grupului simetric S3

Grupurile ciclice C3 şi C2
sunt subgrupuri ale
grupului simetric S3
Grupul rotaţiilor Rk şi reflexiilor Sk unui poligon
regulat cu n laturi este grupul diedral Dn.
Relaţiile între generatori sunt:
D2 grupul Klein este izomorf cu Z2 xZ2
D3 este izomorf cu S3
Pt. n impar avem un singur tip de reflexii
Pt. N par avem două tipuri de reflexii
D3
D5
Diagrame Cayley pt. grupuri diedrale Dn
Dn
Grupul diedral D4 al pătratului
Cu roz este evidenţiat grupul rotaţiilor C4
r – rotaţie cu 90, s- reflexie
Grupul diedral D4 al pătratului este izomorf cu grupul matricilor:
Găsiţi care sunt generatorii acestui grup, arătaţi că satisfac aceleaşi relaţii ca şi D4.
Scrieţi matricile anterioare în funcţie de generatori.
Arătaţi că a şi b satisfac relaţiile
grupului diedral D4
Graful Cayley pt. D4
Grupul cuaternionilor H8
Grupul diciclic Qm de ordin 4m
2m
2
m
-1
S = I, T = S , T S T =S
-1
Pt. m=2 obţinem Q2 izomorf cu H8
Grupul matricilor Pauli
Există un izomorfism între grupul cuaternionilor şi grupul matricilor Pauli
Toate tipurile de grupuri finite de ordin ≤ 12:
1) (de ordin 1) grupul cu un element
2) (de ordin 2) grupul ciclic C2
3) (de ordin 3) grupul ciclic C3
4) (de ordin 4) grupul ciclic C4 şi grupul lui Klein C2 × C2
5) (de ordin 5) grupul ciclic C5
6) (de ordin 6) grupul ciclic C6 şi grupul simetric S3≈D3≈A3
7) (de ordin 7) grupul ciclic C7
8) (de ordin 8) Grupul ciclic C8, grupul C4 × C2, grupul C2 × C2 × C2
≈D2xC2, grupul diedral D4 şi grupul cuaternionilor H8 ≈Q2
9) (de ordin 9) grupul ciclic C9 şi grupul C3 × C3
10) (de ordin 10) grupul ciclic C10 şi grupul diedral D5
11) (de ordin 11) grupul ciclic C11
12) (de ordin 12) grupul ciclic C12, grupul C6xC2≈C3xD2, grupul diedral
D6, grupul diciclic Q3, grupul alternativ A4.
Singurele grupuri finite de simetrie (de rotaţie) posibile în trei dimensiuni sunt:
Cn, Dn, A4, S4, A5
Sau dacă se consideră şi inversiile (x  -x) atunci:
Cn x C2, Dn x C2, A4 x C2, S4 x C2, A5 x C2