Transcript Introducere simetrie

Suntem Universul care se observă pe
el însuşi şi se străduieşte să se
cunoască şi să se înţeleagă pe el
însuşi. A admira Universul este ca şi
cum am privi într-o oglindă şi ne-am
uita la propria reflexie. Este Universul
minunat? Ce este frumuseţea?
Frumuseţea este exterioară  simetrii geometrice (spaţio-temporală)
interioară  simetrii interne (ale câmpurilor, interacţiunilor)
simetrii geometrice: ale n-gonului Cn,Dn, ale poliedrelor regulate
ale ecuaţiilor de grad n
Utilitatea grupului de simetrie: ecuaţiile de grad n≥5 nu sunt solvabile
prin radicali (teoria Galois)
există o legătură strânsă între grupurile geometrice şi
grupurile ecuaţiilor de grad n (Klein)
Évariste Galois (1811–1832)
Felix Klein (1849-1925)
Grupul Galois
grupul simetriilor soluţiilor
Grupul Klein
grupul simetriilor dreptunghiului
Reflexiile a,b
Rotaţia c cu 180 grade c=ab
24 de permutări ale celor 4 soluţii A,B,C,D
Nu toate respectă simetria deoarece avem
constrângeri:
Numai permutările care respectă relaţiile:
Acestea sunt patru şi formează grupul Galois:
1: (A, B, C, D) → (A, B, C, D)
a: (A, B, C, D) → (B, A, D, C)
b: (A, B, C, D) → (C, D, A, B)
ab: (A, B, C, D) → (D, C, B, A)
Elementele grupului Galois al
ec. precedente verifică
aceleaşi relaţii 
este izomorf (are aceeaşi
structură) cu grupul Klein al
simetriilor drepunghiului
Teoria grupurilor din sec. XIX –simetria geometrică a cristalelor - Cristalografia
Istoric:
Frankenheim,Hessel -1830
-32 grupuri punctuale în 3 dimensiuni,
A.Bravais - 1850
-14 clase de reţele în 3 dimensiuni
C. Jordan
- rolul grupurilor în cristalografie
Schonflies, Fedorov, Barlow (1891–94)
-230 grupuri spaţiale în 3 dimensiuni
A. Bravais (1811-1863)
Geometria 1D - 2 Grupuri punctuale
Alfabetul Morse
2 Grupuri punctuale 1D: C∞,D∞
C∞ repetarea periodică a oricărei litere
AAAA ._._._._._
D∞ repetarea a două litere legate prin reflexie
ANAN ._ _.._ _.._
BVBV, DUDU, FLFL, GWGW,
QYQY,
Geometria 1D
7 grupuri spaţiale 1D
bbbbbbbbb HOP
bdbdbdbdb SIDLE
bpbpbpbpb STEP
bbbbbbbbb JUMP
ppppppppp
bqbqbqbqb SPINNING
HOP
bqpdbqpdb SPINNING
SIDLE
bdbdbdbdb SPINNING
pqpqpqpqp JUMP
Geometria 2D
5 reţele Bravais
Geometria 2D
5 reţele Bravais
10 grupuri punctuale C1,C2,C3,C4,C6, D1,D2,D3,D4,D6
17 tipuri de grupuri spaţiale
conţin translaţii pe două direcţii
Rotaţiile sunt de ordinul 1,2,3,4,6
Reţea oblică – 2 grupuri spaţiale
Reţea dreptunghiulară –7 grupuri spaţiale
Reţea pătrată – 3 grupuri spaţiale
Reţea hexagonală – 5 grupuri spaţiale
Oblică
dreptunghiulară
Hexagonală
C2
D2
C3
D3
C4
D4
C6
D6
rombică
pătratică
Geometria 2D
P Triclinică
P Monoclinică simplă
C Monoclinică cu baza
centrată MBC
P Ortorombică simplă
C Ortorombică cu baza
centrată OBC
I Ortorombică cu volum
centrat OVC
F Ortorombică cu feţe
centrate OFC
P Tetragonală simplă Geometria 3D -14 reţele Bravais
I Tetragonală cu volum Avem 7 reţele “goale” – singonii
Simetria creşte de sus în jos
centrat
La acestea se adaugă puncte
suplimentare
P Romboedrală
P –reţea primitivă cu puncte
P Hexagonală
numai în vârfuri
I-centrată în volum
P Cubică simplă
F-centrată pe feţe
I Cubică cu volum
C – centrată pe două feţe opuse
centrat CVC
F Cubică cu feţe
centrate CFC
Geometria 3D
Cs=C1h
Avem 32 grupuri de simetrie punctuale
+27 legate de n-goane planare
(35 -4 identice şi -4 interzise (gri) deoarece
conţin rotaţii improprii de grad 8 şi 12 )
+5 legate de poliedrele regulate
T, Td, Th, O, Oh
Ci=S2
Începutul sec.XX.
Teoria relativităţii restrânse, grupul Lorentz
Apariţia teoriei grupurilor Lie în fizică
H.A.Lorentz (1892-1904) transformări Lorentz
Poincare (1905)
-stabileşte covarianţa ecuaţiilor Maxwell la transformările Lorentz
- observă că transf. Lorentz formează un grup şi lasă invariantă
forma
Einstein (1905)
- Construieşte teoria relativităţii restrânse bazată pe 2 principii
(i) principiul relativităţii: legile fizice nu depinde de SRI
(ii) în orice SRI viteza luminii c este constantă
-construieşte transf. Lorentz şi arată că formează un grup
-arată că ec. Maxwell sunt invariante la grupul Lorentz
Minkowski (1908) introduce “spaţiul-timp”
-identifică grupul Lorentz ca fiind grupul de simetrie care lasă
metrica neschimbată
-utilizează 4-vectorii şi tensorii şi scrie într-un mod covariant
ecuaţiile Maxwell
Grupuri discrete şi grupuri continue
Toate rotaţiile 2D formează
grupul continuu SO(2)
Dacă theta=180/n, n=2,3,4,6
Obţinem subgrupurile discrete C2,C3,C4,C6
Toate rotaţiile 3D formează grupul SO(3)
orice rotaţie 3D se poate scrie
ca un produs de rotaţii elementare
Subgrupurile discrete ale lui SO(3) sunt
grupurile poliedrelor regulate
Grupul SO(n)
Matrici ortogonale cu
determinant=1
Cubul lui Rubik
(Bűvös kocka – cubul magic)
Cubul lui Rubik 2x2x2 are un grup discret de
ordin 3.674.160:
R=(13,14,16,15)(10,2,19,22)(12,4,17,24)
L=(5,6,8,7)(3,11,23,18)(1,9,21,20)
U=(1,2,4,3)(9,5,17,13)(10,6,18,14)
D=(21,22,24,23)(11,15,19,7)(12,16,20,8)
F=(9,10,12,11)(3,13,22,8)(4,15,21,6)
B=(17,18,20,19)(1,7,24,14)(2,5,23,16)
Aceşti generatori R, U, F sunt rotaţiile 3D:
Rx(90), Ry(90), Rz(90)
a=R, b=U, c=F
< a,b,c | a^4 = b^4 = c^4 = 1, ababa = babab,
bcbcb = cbcbc, abcba = bcbac, bcacb = cacba,
cabac = abacb, (ac)^2 (ab)^3 (cb)^2 = 1 >
Presupunem că avem numai 2 feţe colorate
Simetria acestui cub este dată de grupul
permutărilor a 8 vârfuri S8.
Presupunem că avem feţele opuse colorate la fel
Simetria acestui cub este dată de grupul S4xS4
Cubul este colorat cu 2 feţe colorate la fel şi
restul ca la şah.
Următoarele operaţii sunt ca şi cvaternionii i,j,k
care formează grupul cvaternionilor Q8.
i
j
k
Quark şi grupul Rubik
Quark-urile sunt confinate în mezoni (formaţi din quark-antiquark) şi barioni (3
quark-uri) şi nu există sub formă liberă. Sunt o reprezentare a grupului SU(3).
O rotaţie de 120 grade în jurul unei diagonale a cubului lui Rubik –quark
O rotaţie de -120 grade în jurul unei diagonale a cubului lui Rubik –antiquark
Fără a dezansambla cubul Rubik nu putem produce din starea iniţială doar prin
rotaţii obişnuite un quark sau un antiquark.
Este posibil să producem o pereche quark-antiquark (mezon) adică să rotim un
vârf cu 120 şi oricare alt vârf cu -120 grade
Este posibil să producem o pereche de 3 quark-uri (barion), adică să rotim 3
vârfuri cu 120 grade.
Regula este că avem o constrângere asupra stărilor ce le putem produce şi
anume că suma rotaţiilor tuturor vârfurilor trebuie să fie 360n şi aceeaşi regulă
se impune combinaţiilor de quark-uri (avem numai qa,qqq, qqqqq)
Putem introduce quark-uri colorate cu trei culori roşu R, albastru B, verde V şi
antiquark-urile cu trei anticulori antiroşu (galben), antialbastru (portocaliu),
antiverde (alb). Sistemele de cuarci au întotdeauna o culoare neutră (sunt fără
culoare): mezonii quark-antiquark (culoare-anticuloare), barionii 3 quark-uri
(3culori RVB). Analog rotaţiile cubului Rubik nu vor modifica culoarea netă
neutră a vârfurilor.
Q-quark
Q*-antiquark
Aplicaţii în fizica moleculară şi chimie:
Clasificarea structurii moleculelor se face după grupurile punctuale de simetrie
Grupurile Cn – rotaţii cu 360/n grade
Cnv adăugăm reflexii faţă de planul vertical x  -x
Cnh adăugăm reflexii faţă de planul orizontal z -z
Ci adăugăm inversii x,y,z  -x,-y,-z
C∞ este o rotaţie cu 360/∞ grade pe un cerc
de rază infinită (apare la moleculele liniare)
Grupurile Dn – rotaţii cu 360/n grade + reflexiile a n vârfuri într-un n-gon
Dnd adăugăm reflexii faţă de planul diagonal
Dnh adăugăm reflexii faţă de planul orizontal z -z
D∞ este o rotaţie cu 360/∞ grade pe un cerc
de rază infinită (apare la moleculele liniare) + reflexii
Grupurile de simetrie ale poliedrelor regulate:
T Tetraedru
O Octaedru sau cub
I Icosaedru sau dodecaedru (se întâlneşte şi la viruşi)
Concluzie:
Avem 5 tipuri de tranformări spaţiale de simetrie care lasă un punct fixat
Acestea formează grupuri de simetrie punctuale
Cs=C1h
Avem 32 grupuri de simetrie punctuale
+27 legate de n-goane planare
(35 -4 identice şi -4 interzise (gri) deoarece
conţin rotaţii improprii de grad 8 şi 12 )
+5 legate de poliedrele regulate
T, Td, Th, O, Oh
Ci=S2
Alfabetul Morse
2 Grupuri punctuale 1D: C∞,D∞
C∞ repetarea periodică a oricărei litere
AAAA ._._._._._
D∞ repetarea a două litere legate prin reflexie
ANAN ._ _.._ _.._
BVBV, DUDU, FLFL, GWGW,
QYQY,
7 grupuri spaţiale 1D
bbbbbbbbb HOP
bdbdbdbdb SIDLE
bpbpbpbpb STEP
bbbbbbbbb JUMP
ppppppppp
bqbqbqbqb SPINNING
HOP
bqpdbqpdb SPINNING
SIDLE
bdbdbdbdb SPINNING
pqpqpqpqp JUMP
Proprietăţile fizice şi chimice macroscopice ale substanţelor
sunt determinate de grupul de simetrie a moleculelor constituiente
Interacţiunile intra şi inter-moleculare determină grupul de simetrie
Analogie mecanică:
Cinematică ----- Dinamică
Observând mişcarea şi orbitele corpurilor (sau simetria oribelor) putem deduce
tipul de forţe care acţionează asupra lor
Proprietăţi fizice: hidrocarburi-alcani
Alcani
Formula
Punct de
fierbere
[°C]
Punct de
topire
[°C]
Densitate
[g·cm−3] ( 20
°C)
Metan
CH4
-162
-182
Gaz
Etan
C2H6
-89
-183
Gaz
Propan
C3H8
-42
-188
Gaz
Butan
C4H10
0
-138
Gaz
Pentan
C5H12
36
-130
0.626 (lichid)
Hexan
C6H14
69
-95
0.659 (lichid)
Heptan
C7H16
98
-91
0.684 (lichid)
Octan
C8H18
126
-57
0.703 (lichid)
Nonan
C9H20
151
-54
0.718 (lichid)
Decan
C10H22
174
-30
0.730 (lichid)
Undecan
C11H24
196
-26
0.740 (lichid)
Dodecan
C12H26
216
-10
0.749 (lichid)
Hexadecan
C16H34
287
18
0.773
Icosan
C20H42
343
37
solid
Triacontan
C30H62
450
66
solid
Tetracontan
C40H82
525
82
solid
Pentacontan
C50H102
575
91
solid
Hexacontan
C60H122
625
100
solid
Starea de agregare
se modifică cu
creşterea
masei moleculare:
n între 1-4 gaz
n între 5-12 lichid
n între 13-60 solid
Proprietăţi fizice: Alcani – punct de topire şi fierbere
Creşterea masei moleculare

Creşterea numărului de electroni per moleculă
Creşterea suprafeţei moleculei

Modificarea interacţiunilor intermoleculare (forţe van der Waals)

schimbări structurale (grupul de simetrie se modifică)
Fuel
Cifra
Octanica
metan
120
Etan
108
propan
112
n-butan
94
i-butan
102
n-pentan
62
n-hexan
25
n-heptan (CO =0 prin definitie )
0
n-octan
−10
"isooctan" (CO = 100 prin
definitie)
100
Iso-octan şi n-heptan
Cifra octanica nu e un indice de performanta,
ci este un indice al numarului legaturilor de
carbon din molecula, care determina
rezistenta la detonatie.
Daca pui benzină de 95 într-un motor la care se recomanda benzină de 98, poate
aparea fenomenul de predetonatie, adica amestecul combustibil din cilindru se aprinde
inainte sa dea bujia scanteie, sistemul piston-arbore fiind supus unor forte foarte mari
care pot in timp afecta buna lor functionare. Toate motoarele moderne au un senzor de
detonatie, si daca are loc acest fenomen, se regleaza injectia si aprinderea astfel incat
sa fie evitat acest fenomen distructiv. Benzina cu cifra octanica peste 95 se foloseste la
motoare mai performante unde compresia este de peste 1:10 de regula, pentru ca cea
de 95 s-ar autodetona inainte de momentul optim, scazand astfel performanta si
eficienta motorului, inclusiv crescand consumul.
Legături sigma
Hibridizarea sp3 a orbitalilor s şi p în gazul metan CH4.
Legătura covalentă C-H are un caracter de 25% s şi 75% p
Mecanica cuantică afirmă că funcţia de undă a
orbitalului sp3 este:
N(s + √3pσ)
Avem 4 legături covalente C-H în CH4 care formează
4 orbitali s în cei 4 atomi H şi 4 legături pσ de aceeaşi tărie şi
lungime
Grupul de simetrie este cel al tetraedrului 
Unghiul H-C-H este de 109.5 grade
Concluzia importantă: tipul de interacţiune determină grupul
de simetrie
Legături pi
Hibridizarea sp2 a orbitalilor s şi p în etenă CH2-CH2.
Legătura covalentă C-H are un caracter de 33.3% s şi 66.7% p
Mecanica cuantică afirmă că funcţia de undă a
orbitalului sp2 este:
N(s + √3pσ)
În CH2-CH2 avem 3 orbitali sp2 de aceeaşi tărie şi lungime în jurul
fiecărui atom C. Cei doi orbitali p rămaşi formează o legătură π.
Grupul de simetrie în jurul unui carbon este cel al triunghiului 
Unghiul H-C-H este de 120 grade
Concluzia importantă: tipul de interacţiune determină grupul de
simetrie
benzen
fulerena
Grafene
Septembrie 2013 primul calculator cu
nanotuburi de carbon - 142 de tranzistori
Grupul de simetrie şi structura
determină funcţionalitatea moleculei
Exemplu - Boala Alzheimer
Neuronii au un citoschelet construit
cu microtubuli care sunt stabilizaţi de
o tau proteină. Boala determină
modificări chimice ale proteinei tau şi
microtubulii se dezintegrează şi
distrug neuronii.
Tau proteina se leagă în regiunea
VQIINK prin patru atomi de fosfor
(fosforilare) de 4 monomeri din
microtubuli asigurând stabilitatea
microtubulilor.
În indivizi sănătoşi proteinele tau se
resping
Boala determină apariţia
unor situri suplimentare cu
fosfor (hiperfosforilare) 
proteinele tau îşi pierd
funcţionalitatea biologică 
Tau proteinele se atrag şi
formează clusteri
Împachetarea greşită a proteinei precursoare ameloide APP într-o regiune
(galbennă) care este tăiată de enzime într-o proteină numită beta amiloidă (formată
din 40-42 aminoacizi), care apoi se adună în clusteri – plăcile senile.
Măsurarea timpului
Christiaan Huygens
(1629-1695)
Ceasul lui Huygens 1656
Ciclul circardian în cianobacterii cu trei proteine KaiA, KaiB, KaiC
Ciclul circardian in vitro 2007
Cea mai importantă problemă în
biofizică:
Determinarea împachetării proteinelor
pornind de la cunoaşterea structurii
primare a proteinei