Slide 1

Ecuatiile lui Hamilton
Ecuatiile lui Newton:
depind explicit de coordonatele x,y,z
Ecuatiile Lagrange:
sunt aceleasi pentru orice set de
coordonate generalizate

Formulari
echivalente:

Principiul lui Hamilton
nu se refera la nici un fel de coordonate
totul este legat si inclus in integrala actiunii
F. Newtonian

F. Lagrangian

F. Hamiltonian
•Desciu aceleasi fizici si conduc la aceleasi rezultate
•Diferentele constau in:
- Problemele legate de simetrii si invarianta mai evidente
- Flexibilitate in alegerea transformarilor de coordonate
F. Hamiltonian puternic conectat cu dezvoltarea:
•Ecuatia Hamilton-Jacobi. Teoria clasica a perturbatiilor
•Mecanica Cuantica. Mecanica Statistica


Slide 2

F. Lagrangian


d  L
 
dt 
  qj


 L
0

 q j


F. Hamiltonian

j  1..n
n ecuatii diferentiale de ordinul 2
cu 2n conditii initiale q j (t  0); q j (t  0)

Putem transforma acest set de n ecuatii diferentiale de ordin 2 intr-un set
de 2n ecuatii diferentiale de ordinul 1, mult mai usor de integrat ?
Introducem notiunea de moment conjugat

pj 

L


 qj
Spatiul Configuratiilor

n

Spatiul Fazelor

2n
(q j , q j , t )  (q j , p j , t )

Care este trucul matematic ce permite o asemenea transformare ?


Slide 3

Transformarea Legendre
Definim o functie de doua avriabile:

df 

Derivata sa totala este

f
x

f ( x, y )

dx 

f
y

dy  udx  vdy

dg  df  (udx  xdu) 
Definim:

 (udx  vdy)  (udx  xdu)

g  f  ux

 vdy  xdu g  g ( y, u )
dg 

v

g
y

g
y

dy 

g
u

du

x

g
u


Slide 4

f  L
 g (u, y )  g ( p, q )

 x  q
 d  L  L
 
0
L
L
 
dp
L
dL 
dq 
dq  udq  vdq  dt  q  q


 p

q
q
L
dt
q

p
dL  pdq  p dq

q


 dq )  ( pdq  qdp ) 
dg  ( pdq  p


 dq  qdp  g (q, p )
 p

g  L  pq 
g
g
 dg 
dq 
dp

q
p



p

g
q

;

 q 

g
p


Slide 5

Definim functia Hamilton

H ( p, q, t )  q j p j  L(q, q , t )
Semn opus celui din
transf. Legendre

Derivata totala:

dH  p j dq j  q j dp j 

L
q j

dq j 

L
q j

j 
p

 j dq j 
dH  q j dp j  p
dH 

H
p j

dp j 

H
q j

L
t

dq j

dt

H
p j

 q j

H
q j

dq j 

L
t

dt

L
q j
j
 p

H
t



L
t

Ecuatiile canonice ale lui Hamilton


Slide 6

Deci 2n ecuatii diferentiale de ordinul intai

H

 q j

p j
H
q j

Legatura dintre moment si viteze
•Relatie “data” de formalismul Newtonian

  p j Echivaleta cu ecuatiile de miscare Newton/Lagrange

Pentru sisteme inchise functia lui Hamilton este energia totala a sistemului
L(q j , q j )  T (q j )  U (q j )

T (q j )    ij qi q j ;  ij   ji

pj 

L
q j




q j

i, j

T (q j )  2  ij qi
i

Pentru un sistem in care T este o


H   p j q j  L    q j 2  ij qi   T  U   functie omogena cuadratica de
viteza energia totala a sistemului
j
j 
i

este o constanta a miscarii si este
 2  ij qi q j  T  U  2T  T  U  T  U functia lui Hamilton.
i, j


Slide 7

Exemplu:

Fie un corp de masa m supus actiunii unei forte Hooke:
 L
 x  kx
m 2 k 2
L
x  x  
L
2
2

 mx  p
 x
m 2 k 2

L

x  x

2
2

L
p
x


d  L  L
0


dt  x  x

H  px  L 

p

2

2m



k

x

2

2

H  E  T U

F  kx

mx  kx  0

H
p

x 



p
m

H
 p  
  kx

x


Proprietatile functiei Hamilton
a) Conservarea Hamiltonianului

dH 

H
p

dp 

H
q

dq 

H
t

dt

H
H
H
 dH



p
q

 dt
p
q
t

H
H
p
 
; q 

q
p



Slide 8

dH

 q  qp

 p

dt

H
t



H
t

Hamiltonianul se conserva daca nu depinde explicit de timp
Hamiltonianul poate fi sau nu energia totala
•Daca este, inseamna conservarea energiei
•Chiar daca nu este, H ramane inca o constanta a miscarii
b) Cordonata Ciclica
Orice coordonata care nu este continuta in Hamiltonianul sistemului se
numeste “coordonata ciclica”, iar impulsul canonic conjugat cu coordonata
respectiva este o marime care se conserva

H  H (q1 ,..., q j 1 , q j , q j 1 ,..., qn , p1 ,..., pn )
j 
p

H
q j

0

dp j
dt

0

p j  const .


Slide 9

Transformari canonice
Hamiltonieni si Kamiltonieni
a) Cazul independent de timp
Transformarea Q  Q( p, q),

P  P( p, q) este canonica daca si numai daca

exista o functie F (q, p) astfel incat

dF (q, p)   p j dq j   Pj (q, p)dQ j (q, p)
j

j

b) Cazul dependent de timp
TransformareaQ  Q( p, q, t ),

P  P( p, q, t ) este canonica daca si numai daca

exista o functieF (q, p, t ) astfel incat pentru un t arbitrar fixat t=t0

dF (q, p, t0 )   p j dq j   Pj (q, p, t0 )dQ j (q, p, t0 )
j

unde

dF ( p, q, t0 )  

F ( p, q, t0 )

j

dQ( p, q, t0 )  
j

j

dq j  

q j
Q( p, q, t0 )
q j

F ( p, q, t0 )

j

dq j  
j

dp j

p j
Q( p, q, t0 )
p j

dp j


Slide 10

H


 H  H ( q, p, t )
 q j  p


j
q

q
(
q
,
q
,..,
q
)



1
2
n
H
 p  p ( p , p ,.., p )
 p
j 
1
2
n

q j



Fie o transformare de coordonate in spatiul fazelor Q j  Q j ( p, q, t ),

Pj  Pj ( p, q, t )

K
 
Q

 j p

j
K  K (Q, P, t )

K



P

Kamiltonianul sist.
j
q j


Cum stabilim legatura dintre Hamiltonian si Kamiltonian ?
Conform principiului lui Hamilton, traiectoria reala a unui sistem clasic se poate
obtine din variatia integralei actiunii



    p j dq j  Hdt   0


j


Daca transformarea este canonica


    Pj dQ j  Kdt   0


j




Slide 11

In acord cu transformarea Legendre

  L(q, q , t )dt  0

L  L

dF (q, t )
dt

j

j

 Hdt  L(q, q , t )

j

t2

t1

 p dq

t2

relatie care nu se schimba daca L este inlocuit cu
t2

  L(q, q , t )dt    ( L 
t1

t1

t2

t2

dF (q, t )

)

dt

  L(q, q , t )dt    L(q, q , t )  F (q( 2 ) , t 2 ) F (q(1) , t1 )
t1

t1

Relatii care difera doar prin termeni constanti, a caror variatie este nula la
aplicarea principiului lui Hamilton
Hamiltonianul si kamiltonianul sunt legati prin relatia:

dF

p j q j  H  P j Q j  K 
dt
F= FUNCTIE GENERATOARE
F poate fi exprimata ca o functie de orice set arbitrar de variabile independente


Slide 12

Rezultate convenabile se pot obtine daca F este exprimat ca o functie de n
variabile vechi si altele n noi si bineinteles timp.
Cele n variabile vechi sunt exact n q j sau n p j
si daca noile variabile sunt toate cele n Q j sau cele n P j

F1  F1 ( Q , q , t )
Combinatiile posibile: F  F ( P , q , t )
2
2

F3  F3 ( Q , p , t )
F4  F4 ( P , p , t )
dF

p j q j  H  P j Q j  K 
 dt
dt

Variabile independente

p j dq j  Hdt  P j dQ j  Kdt  dF

F  F1 ( Q , q , t )


Slide 13

 F1

F2 :
 Pj   Q
j

 F1

p

Un calcul analog F :

j
3
q j

 F1

K

H


F2 :
t


Qj 

 F2
Pj

Pj  
Qj 

 F3
Q j

 F4
Pj

pj 

 F2
q j

qj  
qj  

 F3
p j

 F4
p j

K  H 

 F2
t

K  H 
K  H 

 F3
t

 F4
t

TEOREMA
Consideram un sistem asupra caruia actioneaza o forta externa data.
Presupunem ca starea dinamica a sistemului este determinata de un set de
variabile q,p=q1,…qn, p1,…,pn iar hamiltonianul sistemului H=H(q,p,t)
Evolutia in timp a variabilelor q si p este data de ecuatiile lui Hamilton

H ( q, p, t )

j 
q

p j


H ( q, p, t )
p
j 
q j




Slide 14

Daca efectuam o transformare de coordonate

Q  Q( p, q, t ),

P  P( p, q, t )

si daca transformarea este canonica, adica exista o functie F(q,p,t) astfel
incat pentru un moment de timp fixat t=t0 avem:

dF ( q , p , t 0 ) 



y j dx j   Y j dX

j

unde

j

j

x j , y j  q j , p j sau p j ,  q j
X j , Y j  Q j , P j sau P j ,  Q j

atunci ecuatiile de miscare in termenii noilor variabile Q si P vor fi

K (Q, P, t )

Q j 
Pj


K (Q, P, t )
 P j  
Q j



unde K  H 

Daca determinantul matricii

 X j 


 yi 

nenul

F (q , p , t )
t



Y

X j (q , p , t )
j

j

K  H 

t
F ( x, X , t )
t


Slide 15

Prin TRANSFORMARE CANONICA intelegem acea transformare
care independent de forma Hamiltonianului, pastreaza
neschimbata forma ecuatiilor lui Hamilton !!!