Transcript curba directoare - Dragos Gaftoneanu

Cursul -10
Generari de suprafete
Caracterizam analitic suprafeţele care se obţin prin deplasarea unei curbe, numită generatoare,
supusă anumitor restricţii geometrice (contact cu o curbă dată sau tangenţa la o suprafaţă dată ).
Dacă familia de curbe depinde de un parametru, adică
 f ( x , y , z , )  0
(  ): 
, R
g
(
x
,
y
,
z
,

)

0

atunci suprafaţa pe care o descrie această familie de curbe, pentru R , se obţine eliminand
parametrul  între cele două ecuaţii.
Dacă familia de curbe din spaţiu depinde de doi parametrii, adică
 f ( x , y , z , ,  )  0
(  ,  ) : 
,  , R
g
(
x
,
y
,
z
,

,

)

0

şi curbele acestei familii sunt supuse restricţiei de a avea contact cu o curbă dată, numită curbă
directoare, dată de ecuaţiile:
 F ( x, y, z )  0
( ) : 
G ( x, y, z )  0
atunci condiţia geometrică de contact a generatoarelor cu curba directoare este echivalentă cu
compatibilitatea sistemului:
.
(S )
 f ( x , y , z , ,  )  0
 g ( x , y , z , ,  )  0


 F( x, y ,z )  0

 G( x , y , z )  0
Eliminînd nedeterminatele x,y,z între ecuaţiile sistemului obţinem condiţia, numită
.

 ( x, y , z )  0
condiţia de compatibilitate: (, )  0 
Dacă generatoarele suprafeţei sunt drepte, atunci suprafaţa va fi numită suprafaă riglată. Planul,
cilindri, conurile, hiperboloidul cu o pânză, paraboloidul hiperbolic .
Suprafeţe cilindrice
Definiţia 1. Se numeşte suprafaţă cilindrică, suprafaţa   E3 generată de o dreaptă având
direcţia fixă, supusă unei restricţii geometrice.
Fie direcţia dată de dreapta determinată de intersecţia planelor: 1 = 0 şi 2= 0, adică
 ecuatiile
 A1 x  B1 y  C1 z  D1  
 A x  B1 y  C1 z  D1  0
( d ):  1
 ( d ): 
 A2 x  B2 y  C2 z  D2  0
 A2 x  B2 y  C2 z  D2   generatoar ei
si curba directoare:
F ( x, y, z )  0
G( x, y, z )  0
  : 
Impunem conditia de compatibilitate a sistemului:
.
 1  
 

(S)  2
, compatibil 
F
(
x
,
y
,
z
)

0


G( x , y , z )  0
 (  , )  0   :  1 , 2   0
Suprafeţe conice
Definiţia 2. Se numeşte suprafaţă conică, suprafaţa   E3 generată de o dreaptă printr-un
punct fix (numit vârf), supusă unei restricţii geometrice.
Fie punctul fix V(xo,yo,zo) şi o dreaptă oarecare (d) prin V , scrisă sub forma:
x  xo y  yo z  zo




1
si curba directoare
Obtinem conditia de compatibilitate:  (,) = 0
F ( x, y, z )  0
G( x, y, z )  0
  : 
→
   ( x  x
y  yo
)0
z  zo z  zo
o
,
Conoizi cu plan director
Definiţi 3. Se numeşte conoid cu plan director, suprafaţa   E3 generată de o
dreaptă paralelă cu un plan dat (plan ditrector), se sprijină pe o dreaptă dată şi
este supusă altei restricţii geometrice.
Să considerăm planul director dat de ecuaţia  = 0 ,
dreapta (d) : P = 0 şi Q = 0 şi curba directoare () : F (x,y,z) = 0 , G(x,y,z) = 0 .
generatoarea conoidului cu plan director:
d 

  
   ,    0   :  x , y , z   0

P   Q
Suprafeţe de rotaţie
Definiţia 4. Se numeşte suprafaţă de rotaţie suprafaţa   E3, generată de o curbă care se
roteşte în jurul unei drepte date (axă de rotaţie).
Fie curba
()
F ( x, y, z )  0

G( x, y, z )  0
şi axa de rotaţie
d 
x  xo y  yo z  zo


l
m
n
Curba directoare estedata de:
 l x  my  nz  
(d  ) 
2
2
2
( x  xo)  ( y  yo)  ( z  zo)   ,   0
Obtinem conditia de compatibilitate:
  ,   0   : x, y , z   0
Aplicatii:
1)
Sa se determine ecuatia suprafetei cilindrice generata de dreptele paralele cu
dreapta x - 2y + 1= 0, x – y + z = 0 si care intersecteaza curba x2 + 2y2 – z = 0.
2)
Sa se scrie ecuatia suprafetei conice cu varful in origine avand curba directoare
data de 3x2 + y2 – 2y – z = 0 si x + y + z -5 = 0.
3)
Sa se scrie ecuatia suprafetei generate de dreptele care se sprijina pe dreapta
x
y
z


,
2
1
2
raman paralele cu planul x – 2y – z = 0 si sunt in contact cu curba
y – 2z +1 = 0, x2 – 2z – 1 = 0 .
4)
Sa se determine suprafata de rotatie obtinuta prin rotirea curbei
x2 -2y2 + z2 – 5 = 0, x + z + 3 = 0 in jurul dreptei x = y = z .