Transcript Introdução à Álgebra Linear Profa. Ana Maria Luz
Matemática para Economia III
Aula 4: Matrizes e Operações Matriciais
Definição 1 (Matriz):
Chamamos de Matriz a todo conjunto de “valores”, dispostos em linhas e colunas. Representamos matrizes com letras maiúsculas do nosso alfabeto.
Dada uma matriz A denotaremos cada elemento da matriz A por a ij onde i é o número da linha e j é o número da coluna desse elemento.
A
a a
11 21
a m
1
a a a
12 22
m
2
a a a
13 23
m
3
a a
1
n
2
a mn n
Exemplo:
uma matriz genérica 3x2 teria a forma:
A
a a
11 21
a
31
a a
12 22
a
32
Matrizes-linha
e
matrizes-coluna (vetores linha e coluna)
são de importância especial e é prática comum denotá-los por letras minúsculas em negrito em vez de letras maiúsculas. Assim um vetor linha 1x
n
arbitrário
a
e um vetor coluna
m
x1 arbitrário
b
podem ser escritos como
a
[
a
1
a
2
a n
] ,
b
b b
b m
1 2
Tipos de Matrizes Matriz Quadrada
: é matriz cujo número de linhas é igual ao de colunas.
Matriz Transposta
: é a matriz obtida trocando-se a linha pela coluna e vice-versa da matriz original.
A
1 0 2 3 2 3 4 6 5
A T
1 3 5 0 2 4 2 3 6
Matriz Identidade
: é a matriz quadrada cujos elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais elementos iguais a zero.
diagonal principal
Matriz Nula:
Chama-se matriz nula a matriz na qual todos os seus elementos são iguais a zero.
0 0 0 0 0 0 0
Matriz Triangular
: é matriz cujos elementos localizados acima ou abaixo da diagonal principal são iguais a zero.
4 0 0 5 3 2 1 0 6
Matriz Diagonal
: é a matriz cujos elementos localizados acima e abaixo da diagonal principal são iguais a zero. 2 0 0 0 0 5 0 0 3
Matriz escalar:
Uma
matriz escalar
é uma matriz diagonal onde todos os elementos da diagonal são iguais ao escalar k.
Matriz Simétrica:
principal são iguais .
Os elementos opostos em relação à diagonal
A
1 2 2 7 0 4
A
A T
0 4 3
Matriz Anti-Simétrica:
Os elementos opostos em relação à diagonal principal são simétricos com o sinal trocado.
A
0 5 2 5 0 1 2 1 0
A
A T
Traço de uma matriz
Se A é uma matriz quadrada então o
traço de A
, denotado por tr(A), é definido pela soma das entradas na diagonal principal de A. O traço de A não é definido se A não é uma matriz quadrada.
Exemplo:
A tr
(
A
1 0 2 ) 1 3 3 2 ( 2 ) 4 6 5 , 6 5
Operações sobre Matrizes Igualdade de matrizes
: Dadas duas matrizes A e B do mesmo tamanho (ou seja, de mesma ordem), dizemos que A = B se somente se os seus elementos são respectivamente iguais. Simbolicamente, sendo A e B matrizes mx n, temos: A = B <=> a ij =b ij
Operações sobre Matrizes Adição e Subtração:
Para adicionarmos ou subtrairmos duas matrizes A e B basta que elas sejam de mesma ordem. Isto é, elas devem ter o mesmo número de linhas e o mesmo número de colunas.
Define-se a adição A + B = C como sendo formada pelos elementos c ij = a ij + b ij Define-se a subtração A - B = C como sendo formada pelos elementos c ij = a ij - b ij Exemplo:
A
2 3 5 2 1 4
B
1 1 6 3 0 2
A
B
3 2 11 1 1 2
Operações sobre Matrizes Multiplicação de matrizes:
Dada duas matrizes A (m x n) e B (n x p), chama-se produto da matriz A pela matriz B que se indica C = A . B a matriz m x p definida por C ij =a i1 .b
1j + a i2 .b
2j + a i3 .b
3j + ... + a in .b
nj
Observações:
• O produto de duas matrizes existe se e somente se o número de colunas da matriz A for igual ao número de linhas da matriz B.
• Se as matrizes A e B são m x n e n x p respectivamente, então o produto C = A . B existe e é uma matriz m x p,
Operações sobre Matrizes
Exemplo (Multiplicação):
A
2 1 4
C
A
.
B
3 0 5
e B
3 2 2 1 4 .
.
3 .
3 3 3 5 .
.
2 0 .
2 2 1 4 2 1 .
.
1 1 4 .
1 3 .
4 0 .
4 5 .
4 12 3 22 14 1 24
Propriedades
1 2
A
A
B B
C
B
A A
B
C
3
A
M
A
4
A
A
' 0 aqui M representa a matriz nula (0) e A’=(-A)
Propriedades
1 2 3
a
.
a
.
a
b
.
A
A b
.
B A
a
.
b
a
.
a
.
.
A A A
a
.
B b
.
A
4 1 .
A
A
Onde 1 é matriz identidade de mesma ordem de A, a e b são escalares (o
produto de uma matriz A por um escalar b
é a matriz bA obtida pela multiplicação de cada entrada da matriz A por b).
Propriedades
1
A
.(
B
.
C
) (
A
.
B
).
C
2 3 (
A
.(
B
C
)
A
B
).
C
A
.
B
A
.
C A
.
C
B
.
C
4
k
(
A
.
B
)
A
.(
k
.
B
)
k
.(
A
.
B
) Em geral A.B≠B.A
Propriedades
1 2
t A
3 4
t t
B
t
A
A t k
.
A t B t
.
A t
B t
Matrizes em blocos (particionadas)
Uma matriz pode ser subdividida em blocos ou particionada em matrizes menores inserindo cortes horizontais e verticais entre linhas e colunas. Por exemplo, as seguintes são três partições possíveis de uma matriz 3X4 arbitrária.
Multiplicação matricial por colunas e linhas
A partição de matrizes em blocos tem muitas utilidades, uma das quais sendo encontrar uma linha ou coluna específica de um produto matricial A.B sem calcular todo o produto.
j-ésimo vetor coluna de A.B=A.[j-ésimo vetor coluna de B] i-ésimo vetor linha de A.B=[i-ésimo vetor linha de A].B
Exemplo: Sejam
A
1 2 2 6 4 0 ,
B
0 4 2 1 7 1
Multiplicação matricial por colunas e linhas
O segundo vetor coluna de A.B pode ser obtido calculando 1 2 2 6 4 0 .
1 7 1 1 2 .
.
1 1 2 .( 1 ) 6 .( 1 ) 4 .
7 0 .
7 27 4 Segunda coluna de A.B
Segunda coluna de B
Produtos matriciais como combinações lineares
Sejam Dizemos que o produto A
x
coluna
x
de uma matriz A por um vetor é uma
combinação linear
dos vetores colunas de A com coeficientes provenientes do vetor
x
Forma matricial de um sistema linear
Considere o sistema linear com m equações e n incógnitas: Podemos substituir m equações deste sistema por uma única equação matricial:
Forma matricial de um sistema linear
A matriz mx1 à esquerda desta equação pode ser escrita como um produto: Matriz de coeficientes Matriz-coluna de incógnitas Matriz-coluna de constantes Denotando estas matrizes por A, sistema original de m equações e n incógnitas foi substituído pela única equação matricial:
x
e
b
, respectivamente, o A
x
=
b