Transcript Introdução à Álgebra Linear Profa. Ana Maria Luz

Introdução à Álgebra Linear
Profa. Ana Maria Luz
Aula 4: Matrizes e Operações
Matriciais
Definição 1 (Matriz): Chamamos de Matriz a todo conjunto de
“valores”, dispostos em linhas e colunas. Representamos
matrizes com letras maiúsculas do nosso alfabeto.
Dada uma matriz A denotaremos cada elemento da matriz A por
aij onde i é o número da linha e j é o número da coluna desse
elemento.
 a11

a 21
A 


 a m1
a12
a13
a 22
a 23
am 2
am3
a1 n 

a2n



a mn  m n
Exemplo: uma matriz genérica 3x2 teria a forma:
 a 11

A  a 21

 a 31
a 12 

a 22

a 32 
Matrizes-linha e matrizes-coluna (vetores linha e coluna) são de
importância especial e é prática comum denotá-los por letras
minúsculas em negrito em vez de letras maiúsculas. Assim um
vetor linha 1xn arbitrário a e um vetor coluna mx1 arbitrário b
podem ser escritos como
b 
1
 
b2


a  [ a1 a 2  a n ] , b 
  
 
bm 
Tipos de Matrizes
Matriz Quadrada: é matriz cujo número de linhas é igual ao de
colunas.
Matriz Transposta: é a matriz obtida trocando-se a linha pela
coluna e vice-versa da matriz original.
1

A 0

 2
3
2
3
 5

4

6 
 1

T
A  3

  5
0
2
4
2

3

6 
Matriz Identidade: é a matriz quadrada cujos elementos da
diagonal principal são iguais a 1 e os demais elementos iguais
a zero.
diagonal principal
Matriz Nula: Chama-se matriz nula a matriz na qual todos os seus
elementos são iguais a zero.
0
0
0
0
0
0

0
Matriz Triangular: é matriz cujos elementos localizados acima ou
abaixo da diagonal principal são iguais a zero.
4

5
3

0
2
1
0

0
6 
Matriz Diagonal: é a matriz cujos elementos localizados acima e
abaixo da diagonal principal são iguais a zero.
2

0
0

0
5
0
0

0
3 
Matriz escalar: Uma matriz escalar é uma matriz diagonal onde
todos os elementos da diagonal são iguais ao escalar k. Uma
matriz escalar de grande importância para a estatística é Σ=σ2⋅I,
sendo σ2 a variância.
Matriz Simétrica: Os elementos opostos em relação à diagonal
principal são iguais.
2
0
1
T


A
A A
2
7
4


0

4
3


Matrizes simétricas são fundamentais para a Estatística pois, por
exemplo, a matriz de covariâncias, matriz de correlações e matriz dos
coeficientes do sistema de equações normais são simétricas.
Matriz Anti-Simétrica: Os elementos opostos em relação à diagonal
principal são simétricos com o sinal trocado.
A
 0

5

 2

5
0
1
2 

1

0

A  A
T
Traço de uma matriz
Se A é uma matriz quadrada então o traço de A, denotado por
tr(A), é definido pela soma das entradas na diagonal principal
de A. O traço de A não é definido se A não é uma matriz
quadrada.
Exemplo:
1

A 0

 2
3
2
3
 5

4 ,

6 
tr ( A )  1  (  2 )  6  5
Operações sobre Matrizes
Igualdade de matrizes: Dadas duas matrizes A e B do mesmo
tamanho (ou seja, de mesma ordem), dizemos que A = B se
somente se os seus elementos são respectivamente iguais.
Simbolicamente, sendo A e B matrizes mx n, temos:
A = B <=> aij=bij
Operações sobre Matrizes
Adição e Subtração: Para adicionarmos ou subtrairmos
duas matrizes A e B basta que elas sejam de mesma ordem.
Isto é, elas devem ter o mesmo número de linhas e o mesmo
número de colunas.
Define-se a adição A + B = C como sendo formada pelos
elementos cij= aij + bij
Define-se a subtração A - B = C como sendo formada pelos
elementos cij= aij - bij
Exemplo:
2
A
3
5
2
1

4
1
B
 1
6
3
0

2
3
A B  
2
11
1
1

2
Operações sobre Matrizes
Multiplicação de matrizes:Dada duas matrizes A (m x n) e
B (n x p), chama-se produto da matriz A pela matriz B
que se indica C = A . B a matriz m x p definida por
Cij=ai1.b1j + ai2.b2j + ai3.b3j + ... + ain.bnj
Observações:
• O produto de duas matrizes existe se e somente se o
número de colunas da matriz A for igual ao número de
linhas da matriz B.
• Se as matrizes A e B são m x n e n x p respectivamente,
então o produto C = A . B existe e é uma matriz m x p,
Operações sobre Matrizes
Exemplo (Multiplicação):
2

A 1

 4
3
3

0 eB  

2
5 
 2 .3  3 .2

C  A.B  1 .3  0 .2

 4 . 3  5 . 2
1

4
2 . 1  3 . 4   12
 
1 .1  0 .4  3
 
4 . 1  5 . 4   22
14 

1

24 
Propriedades
1   A  B   C  A  B  C 
2 AB  B A
3 A M  A
4  A  A'  0
aqui M representa a matriz nula (0) e A’=(-A)
Propriedades
1  a .b . A    a .b . A
2  a . A  B   a . A  a . B
3   a  b . A  a . A  b . A
4  1.A  A
Onde 1 é matriz identidade de mesma ordem de A, a e b são
escalares (o produto de uma matriz A por um escalar b
é a matriz bA obtida pela multiplicação de cada entrada
da matriz A por b).
Propriedades
1  A .( B .C )  ( A . B ). C
2  A .( B  C )  A . B  A .C
3  ( A  B ). C  A .C  B .C
4  k ( A . B )  A .( k . B )  k .( A . B )
Em geral A.B≠B.A
Propriedades
 
1 A
t t
 A
2  A  B   A  B
t
t
3  k . A   k . A
t
t
4   A.B   B . A
t
t
t
t
Matrizes em blocos (particionadas)
Uma matriz pode ser subdividida em blocos ou particionada em
matrizes menores inserindo cortes horizontais e verticais entre
linhas e colunas. Por exemplo, as seguintes são três partições
possíveis de uma matriz 3X4 arbitrária.
Multiplicação matricial por colunas e linhas
A partição de matrizes em blocos tem muitas utilidades, uma das
quais sendo encontrar uma linha ou coluna específica de um
produto matricial A.B sem calcular todo o produto.
j-ésimo vetor coluna de A.B=A.[j-ésimo vetor coluna de B]
i-ésimo vetor linha de A.B=[i-ésimo vetor linha de A].B
Exemplo: Sejam
1
A 
2
2
6
 4 1 
4


,
B

0

1



0
 2 7 
Multiplicação matricial por colunas e linhas
O segundo vetor coluna de A.B pode ser obtido calculando
1

2
2
6
1 
4    1 . 1  2 .(  1)  4 . 7   27 
 .   1  
 

0
 2 . 1  6 .(  1)  0 . 7    4 
 7 
Segunda
coluna de A.B
Segunda coluna
de B
Produtos matriciais como combinações lineares
Sejam
Dizemos que o produto Ax de uma matriz A por um vetor
coluna x é uma combinação linear dos vetores colunas de A
com coeficientes provenientes do vetor x
Forma matricial de um sistema linear
Considere o sistema linear com m equações e n incógnitas:
Podemos substituir m equações deste sistema por uma única
equação matricial:
Forma matricial de um sistema linear
A matriz mx1 à esquerda desta equação pode ser escrita como um
produto:
Matriz de coeficientes
Matriz-coluna
Matriz-coluna de
de incógnitas
constantes
Denotando estas matrizes por A, x e b, respectivamente, o
sistema original de m equações e n incógnitas foi substituído
pela única equação matricial:
Ax = b