Transcript Matriz

Matrizes
Conceitos Básicos
Consideremos o sistema
a11x 1 + a12x 2 + a13x 3 + ... + a1nx n = b1
a21x 1 + a22x 2 + a23x 3 + ... + a2nx n = b2
a31x 1 + a32x 2 + a33x 3 + ... + a3nx n = b3
...
am1x 1 + am2x 2 + am3x 3 + ... + amnx n = bm
am1 am2 am3 ...
Amxn = [aij]mxn
a1n
a2n
a3n
...
...
...
A= a11 a12 a13 ...
a21 a22 a23 ...
a31 a32 a33 ...
amn
Matriz de ordem m por n de elementos aij
Matrizes
Conceitos Básicos
1

2

 0
2
2
0
5
4
2
1
4
7
1

0

8 
a13= 2
3x5
a34= 7
Amxn = [aij]mxn
Matriz de ordem m por n de elementos aij
Matrizes
Conceitos Básicos
Amxn = [aij]mxn
As matrizes podem ser classificadas segundo:
A forma
A natureza dos elementos
Matrizes
Conceitos Básicos
Segundo a forma em:
Amxn = [aij]mxn
Rectangular
Se o número de linhas é diferente do número de colunas
1

0

 2
0
2
3
2
5
2
4
4
5
0
2

3

2  33
Quadrada
Se o número de linhas é igual do número de colunas
Uma matriz quadrada do tipo m por m diz-se de ordem m
Linha
Se o número de linhas é igual a um
1

0

 1
1
3
1
2
1
 
0
 
 1 
31
Coluna
Se o número de colunas é igual a um
2 13
4

1

0 
35
Matrizes
Conceitos Básicos
Segundo a natureza dos elementos em:
Real se todos os seus elementos são reais
 a ij  A :
a ij  
Amxn = [aij]mxn
1

0
5
0
2

1
Complexa se pelo menos um dos seus elementos é complexo
 a ij  A :
a ij  C
1

0
5
0

0
0
i
2

1
Nula se todos os seus elementos são nulos
 a ij  A :
a ij  0
0
0

0
Matrizes
Conceitos Básicos
Segundo a natureza dos elementos em:
Triangular Superior
 a ij  A : i  j
Amxn = [aij]mxn
uma matriz quadrada em que os elementos abaixo
da diagonal principal são nulos
a ij  0
1

0

0

0
1
2
0
3
0
2
0
0
7

0

6

5
Triangular Inferior uma matriz quadrada em que os elementos acima
da diagonal principal são nulos
 a ij  A : i  j
a ij  0
1

5

0

3
0
0
2
0
2
2
0
1
0

0

0

5
Matrizes
Conceitos Básicos
Segundo a natureza dos elementos em:
Diagonal uma matriz quadrada em que os
elementos não principais são nulos
Amxn = [aij]mxn
 a ij  A : i  j
1

0

0

0
Escalar
uma matriz diagonal em que os
elementos principais são iguais
0
0
0
0
0
2
0
0
a ij  0
0

0

0

5
 a ij  A : i  j
a ij  0
i j
a ij  
0
0
2
0
0
2
0
0
0

0

0

2
2

0

0

0
Matrizes
Conceitos Básicos
Segundo a natureza dos elementos em:
Amxn = [aij]mxn
Simétrica se os elementos aij são iguais aos aji
1

1

2

0
Densa se a maioria dos seus elementos são não nulos
Dispersa se a maioria dos seus elementos são nulos
1
2
0
3
3
2
4
7
0

4

7

5
Matrizes
Operações com Matrizes
Soma de Matrizes
Sejam A e B duas matrizes do mesmo tipo denomina-se soma de
A com B a uma matriz C do mesmo tipo que se obtêm somando os
elementos da matriz A com os elementos da matriz B da mesma posição.
 A,B  M
m n
C  M
m n
:C  A  B
c ij  a ij  b ij ; i  1, , m  j  1, , n
1

A 5

 2
2
1
4
3

0

3 
2

B  1

 3
 33 33 66 


c  A  B  66 44 00


 55 44 66 
1
3
0
3

0

3 
Matrizes
Operações com Matrizes
A soma de matrizes do mesmo tipo
goza das seguintes propriedades:
Comutativa
 A,B  M m n A  B  B  A
Associativa
 A , B , C  M m n ( A  B )  C  A  (B  C )
Tem elemento neutro
 A  M m n  O  M m n : A  O  A
Todos os elementos têm inversa
 A  M m n  B  M m n : A  B  O
Matrizes
Operações com Matrizes
A soma de matrizes do mesmo tipo
goza das seguintes propriedades:
Comutativa
Associativa
Assim o conjunto M mxn forma um
Grupo Aditivo Comutativo
Tem elemento neutro
Todos os elementos têm inversa
Matrizes
Operações com Matrizes
Produto por um escalar
Sejam A uma matriz e  um escalar
O produto de  por A é uma matriz C do mesmo tipo de A
que se obtêm de A multiplicando todos os seus elementos por 
 AM
m n
 AM
m n
:C   A
c ij   a ij ; i  1, , m  j  1, , n
1

A 5

 2
2
1
4
3

0

3 
3

3 A  15

 6
6
3
12
9

0

9 
Matrizes
Operações com Matrizes
Dadas as matrizes A e B do mesmo tipo
e os escalares  e  as seguintes propriedades são válidas:

 A     A 
(   ) A   A   A
 A  B    A   B
1 AA
Matrizes
Operações com Matrizes
Consideremos o sistema
a11x 1 + a12x 2 + a13x 3 + ... + a1nx n = b1
a21x 1 + a22x 2 + a23x 3 + ... + a2nx n = b2
a31x 1 + a32x 2 + a33x 3 + ... + a3nx n = b3
...
am1x 1 + am2x 2 + am3x 3 + ... + amnx n = bm
am1 am2 am3 ...
Amxn = [aij]mxn
a1n
a2n
a3n
x1 =
x2
x3
b1
b2
b3
xn
bm
...
...
...
a11 a12 a13 ...
a21 a22 a23 ...
a31 a32 a33 ...
amn
Matriz de ordem m por n de elementos aij
Matrizes
Operações com Matrizes
1
2
2
5
3
3
1
2
2x3
1
2
5
0
=
3
3
2
=
2x 3
3 x3
Matrizes
Operações com Matrizes
1
2
2
5
3
3
1
2
2x3
1
2
5
0
3
3
2
=
8
2x 3
3x3
Matrizes
Operações com Matrizes
1
2
2
5
3
3
1
2
2x3
1
2
5
0
3
3
2
=
8 12
2x 3
3x3
Matrizes
Operações com Matrizes
1
2
2
5
3
3
1
2
2x3
1
2
5
0
3
3
2
=
8 12 15
2x 3
3x3
Matrizes
Operações com Matrizes
1
2
2
5
3
3
1
2
2x3
1
2
5
0
3
3
2
=
8 12 15
2x 3
3x3
Matrizes
Operações com Matrizes
1
2
2
5
3
3
1
2
2x3
1
2
5
0
3
3
2
=
8 12 15
15
2x 3
3x3
Matrizes
Operações com Matrizes
1
2
2
5
3
3
1
2
2x3
1
2
5
0
3
3
2
=
8 12 15
15 29
2x 3
3x3
Matrizes
Operações com Matrizes
1
2
2
5
3
3
1
2
2x3
1
2
5
0
3
3
2
=
8 12 15
15 29 27
2x 3
3x3
Matrizes
Operações com Matrizes
Produto de Matrizes
Seja A uma matriz de tipo mxn e B uma matriz do tipo nxp.
O produto de A por B é uma matriz C do tipo mxp
cujos elementos são dados por:
n
ci j   ai k bk
j
k 1
e escreve-se C=AB.
O produto de matrizes não é comutativo
Matrizes
Operações com Matrizes
Dadas as matrizes A, B e C, e a um escalar.
Então, se todos os produtos a seguir indicados forem definidos,
as seguintes propriedades são válidas:
 A B C
 A B C 
(A B ) C  A C  B C
A B  C   A B  A C
a
 A B   a A  B
 A a B 
Matrizes
Operações com Matrizes
Transposição de Matrizes
Seja A uma matriz de tipo mxn.
Denomina-se transposta de A a uma matriz B do tipo nxm tal que:
bi j  ai j
i  1,..., n;
j  1,....m
e escreve-se B=AT
 1 0 2 3 4


A 0 2 5 2 1


2 4 4 5 0
35
1

0

T
A  2

3
4
2

2 4

5 4

2 5
1 053
0
Matrizes
Operações com Matrizes
Dadas as matrizes A e B e a um escalar.
Então, se todos as operações a seguir indicados forem definidas,
as seguintes propriedades são válidas:
A 
T T
A
(A B )  A  B
T
a
A
T
 A B T
T
  a
A
 B
A
T
T
T
T