Transcript Matriz Conceitos Básicos Histórico    Século XIX Inglaterra Matemático e Astrônomo: Arthur Cayley Matrizes e suas utilizações Utilizações  Resolução de Sistemas Lineares x  y  5  x  y  1 Engenharia     Cálculo estrutural. Fenômenos.

Matriz
Conceitos Básicos
Histórico



Século XIX
Inglaterra
Matemático e Astrônomo:
Arthur Cayley
Matrizes e suas
utilizações
Utilizações

Resolução de Sistemas Lineares
x  y  5

x  y  1
Engenharia




Cálculo estrutural.
Fenômenos dos
transportes.
Planilhas de cálculo.
Cálculo de áreas.
Engenharia
Armando o sistema de
forças
a11 x1  a12 x2  a13 x3  ...  a1n xn  k1
a x  a x  a x  ...  a x  k
23 3
2n n
2
 21 1 22 2
a31 x1  a32 x2  a33 x3  ...  a3n xn  k3
...

am1 x1  am 2 x2  am 3 x3  ...  amn xn  k m
Estatística



Confecção de
tabelas
Levantamentos de
campo.
Cálculos.
Tecnologia mundial

Diversas áreas do
conhecimento
humano
Sistemas Computacionais

Essencial para
analistas de
sistemas e
programação
com variáveis
indexadas.
Conceito
Matriz

É toda tabela retangular, formada por
elementos dispostos em linhas e
colunas.
Tabela
Alunos
Alessandra
Roberta
Fernanda
IU
5
6
7
II U
9
8
8
III U
9
9
9
IV U
8
8
7
Notações

Podemos escrever matrizes das
seguintes formas:
5 9 9 8


6 8 9 8
7 8 9 7


5 9 9 8 
6 8 9 8 


7 8 9 7 
5 9 9 8
6 8 9 8
7 8 9 7
Linhas e Colunas
Colunas

Linhas
5 9 9 8
6 8 9 8
7 8 9 7
3 linhas
4 colunas
Linguagem matemática
Dados 2 números m e n naturais e não
nulos, chama-se matriz m por n (mxn)
a uma tabela cujos elementos estão
dispostos em m linhas e n colunas
Ordem da matriz
5 9 9 8
M 6 8 9 8
7 8 9 7

Na matriz M,
m=3
n=4
3x4
Ordem da matriz
Aplicação 01
Qual a ordem das matrizes abaixo?
sen 30º  32
5


A   log2 8 2341 1 
 ¶
6
0 

B  1  3 5 0
0
2
C  3 5
1 4
3x3
1x4
3x2
Identificando cada
elemento
Planilha do Excel
Cada célula é
um elemento
da Matriz
Células
6C 3B 1D
Feita para possibilitar a
comunicação de leigos


Observe que qualquer pessoa
identifica a célula pela letra e pelo
número.
3F ou F3 se referem à mesma célula.
Em matemática é
convencionado:

Se quisermos identificar a posição do
elemento 6
5 9 9 8
M 6 8 9 8
7 8 9 7
Linha 2
Coluna 1
Ou simplesmente:
a21
Convenção



Sempre diz-se primeiro a linha
depois a coluna
Assim:
ai j
Linha
Coluna
Elemento genérico
aij


i: linha onde o elemento se encontra
j: coluna do elemento
Matriz Genérica
a11
a12
a13
... a1n
a21
A  a31
a22
a32
a23
a33
... a2 n
... a3n
...
...
...
...
am1
am 2
...
am 3 ... amn
mxn
Aplicação 02
Dada a matriz
Identifique os elementos
c12
c32
c22
0
2
C  3 5
1 4
Aplicação 03
Determinar a matriz
A = (aIJ)3x2 onde
aIJ = i + j
a11 = 1 + 1
i j
i+j
a12 = 1 + 2
Resolução - Aplicação 03
Matriz genérica

a11
a12
a13
... a1n
a21
A  a31
a22
a32
a23
a33
... a2 n
... a3n
...
...
...
...
am1
am 2
...
am 3 ... amn
Como a matriz é de ordem 3x2
a11
a12
A  a21
a22
a31
a32
3x2
mxn
Resolução - Aplicação 03






a11= 1+1 = 2
a12= 1+2 = 3
a21= 2+1 = 3
a22= 2+2 = 4
a31= 3+1 = 4
a32= 3+2 = 5
Assim:
2 3
A 3 4
4 5 3x2
Matriz retangular

Toda matriz é retangular.
5 9 9 8
M 6 8 9 8
7 8 9 7
Matrizes especiais
Nomenclaturas
Matriz linha


É toda matriz do tipo 1xn
Formada por apenas uma linha
L  1 2 0  31x 4
Matriz coluna


É toda matriz do tipo mx1
Formada por apenas uma coluna
¶ 


C  5 
0 
Matriz nula

É uma matriz em que todos os
elementos são iguais a zero
0 0 0
O 0 0 0
0 0 0
Matriz quadrada


É toda matriz do tipo nxn
O número de linhas é igual ao número
de colunas
 1 0

A  
 2 1
 1 7 10 


B   0 5 32
1  3 5 

3 x 3
Diagonal Principal

Apenas em matrizes quadradas
1
0
M 
2

6
8
1
1
3
7
1
0
2
3

4
5

3 4 x 4
Índices da diagonal
principal

Os elementos da diagonal principal
possuem índices iguais:
a11 a22 a33 a44
...
ann
Diagonal secundária
1
0
M 
2

6

8
1
1
3
7
1
0
2
3

4
5

3 4 x 4
A soma dos índices é igual a n+1
Índices da diagonal
secundária

Os índices dos elementos da diagonal
secundária somam n+1
a11
a12
a13
a14
a15
a21
S  a31
a22
a32
a23
a33
a24
a34
a25
a35
a41
a42
a43
a44
a45
a51
a52
a53
a54
a55
5 x5
Matriz diagonal


É toda matriz quadrada de ordem n>1
em que todos os elementos que não
pertencem à diagonal principal são
iguais a zero.
A=(aij) em que aij=0 para todo i  j
Matriz diagonal exemplo

A=(aij) em que aij=0 para todo i  j
1
0
D
0
0
0
0
0
0
0
0
3
0
0
0
0
2
4x4
Matriz identidade

É uma matriz diagonal em que os
elementos da diagonal principal são
iguais a um.
1 0
I2  

0
1


1 0 0 
I 3  0 1 0
0 0 1
1
0
I4  
0

0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0

1
Igualdade de Matrizes
Igualdade
a11
a12
a13
... a1n
a21
A  a31
a22
a32
a23
a33
... a2 n
... a3n
...
...
...
...
am1
am 2
am 3 ... amn
b11
b12
b13
... b1n
b21
B  b31
b22
b32
b23
b33
... b2 n
... b3n
...
...
...
...
bm1 bm 2

...
aIJ = bIJ
mxn
...
bm 3 ... bmn
A=B sse cada
mxn
Aplicação 04

Calcule x, y e z para que as matrizes
abaixo sejam iguais.
x 4 2
1 4 2
0 3 y  0 3 2
2 1 7
2 1 z