menor complementar
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Determinantes
Consideramos o conjunto das matrizes quadradas de elementos reais.
Seja M uma matriz de ordem n desse conjunto. Chamamos determinante
da matriz M o número que podemos obter operando com os elementos de
M da seguinte forma:
Determinante de ordem 1
M=
a11
det M = a11
EXEMPLO:
A=
16
det A = 16
Determinantes
Determinante de ordem 2
a11
M=
a21
a12
a22
det M = a11. a22 - a12. a21
EXEMPLO:
A=
5 1
7 3
det A = 5.3 - 1.7 = 8
Determinantes
Determinante de ordem 3
a11
M = a21
a31
a12
a22
a32
a13 a11 a12
a23 a21 a22
a33 a31 a32
a13.a22.a31 a11.a23.a32 a12.a21.a33 a11.a22.a33 a12.a23.a31
det M =
a13.a21.a32
(a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a13.a21.a32) – (a13.a22.a31 + a11.a23.a32 + a12.a21.a33)
Determinantes
Determinante de ordem 3
EXEMPLO:
1 2 3 1 2
A=
5
0
5
2
0
3 1 4 3 1
3.5.3
1.2.(-1)
det A =
(-2).0.4
1.5.4
(-2).2.3
3.0.(-1)
(1.5.4 + (-2).2.3 + 3.0.(-1)) – (3.5.3 + 1.2.(-1) + (-2).0.4)
det A = - 35
Determinantes
Teorema Fundamental (Laplace)
• Menor Complementar
Dada uma matriz quadrada A, chamamos menor complementar do
elemento aij, e indicamos por Mij, o determinante da matriz quadrada de
ordem n – 1, que se obtém suprimindo a linha i e a coluna j da matriz A.
a11
a
A = 21
a31
a12
a22
a32
a13
a23
a33
a22
M11 =
a23
a23
a 33
Determinantes
Teorema Fundamental (Laplace)
• Menor Complementar
Dada uma matriz quadrada A, chamamos menor complementar do
elemento aij, e indicamos por Mij, o determinante da matriz quadrada de
ordem n – 1, que se obtém suprimindo a linha i e a coluna j da matriz A.
a11
a
A = 21
a31
a12
a22
a32
a13
a23
a33
a11
M23 =
a31
a12
a32
Determinantes
Teorema Fundamental (Laplace)
• Co-fator
Chamamos co-fator do elemento aij, e indicamos com Aij,
o número (–1)i+j · Mij, em que Mij é o menor complementar
de aij.
a11
a
A = 21
a31
a12
a22
a32
Aij =(-1)i+j.Mij
a13
a11
a23 A11 = (-1)1+1.M11 = (-1)2.
a31
a33
a12
a32
Determinantes
Teorema Fundamental (Laplace)
• Co-fator
a11
A = a
21
a31
a12
a22
a32
Matriz co-fator
A11
Cof A= A21
A31
Aij =(-1)i+j.Mij
a13
a23
a33
A12
A22
A32
A13
A23
A33
Determinantes
Teorema Fundamental (Laplace)
• Determinante de uma matriz de ordem n
O determinante de uma matriz quadrada de ordem n, , é a soma dos
o número (–1)i+j · Mij, em que Mij é o menor complementar
de aij.
a11
a
A = 21
a31
det A = a11.A11 + a21.A21 + a31.A31
a12
a22
a32
a13
a23 det A = a21.A21 + a22.A22 + a23.A23
a33
det A = a31.A31 + a32.A32 + a33.A33
Determinantes
Regra de Chió
Abaixamento de ordem de um determinante
Exemplo:
A=
B=
1 2 4
3 7 5
1 10 4
3 8 2
2
6
5
3
7 (3.2) 5 (3.4) 6 (3.2)
10 (1.2) 4 (1.4) 5 (1.2)
8 (3.2) 2 (3.4) 3 (3.2)
det A = det B
=
1 7 0
8 8 3
2 10 3