DETERMINANTES

1 – PERMUTAÇÕES PARES E PERMUTAÇÕES ÍMPARES Consideremos o número 1234.

São permutações de 1234.

zero três três três três quatro quatro cinco três quatro quatro cinco cinco seis 3214 3 1 1 3 2 4 2 pulos (duas inversões) 1 pulos (uma inversão) Temos um total de 3 inversões. Esta permutação e ímpar.

2 – DETERMINANTE DE UMA MATRIZ A cada matriz A = [a ij ], quadrada de ordem n, pode se associar um número simbolizado por det(A) chamado determinante da matriz A.

Este número é definido por: det (A) = a 1 i 1 a 2 i 2 ....a

n i n a 1 j 1 a 2 j 2 ....a

n j n Onde i 1 , i 2 , ..., i n j 1 , j 2 , ..., j n são as permutações pares de 1234 e são as permutações ímpares.

MATRIZ 2 X 2 Permutações de 12: 12 (zero inversão – par) e 21 (uma inversão – ímpar)

A =

Det = a

1 1

. a

2

-

a b c d

a

1 2

. a

2 1

det(A) = ad bc

MATRIZ 3 X 3

Permutações de 1 2 3

1 2 3 (zero inversão – par) 2 3 1 (duas inversões – par) 3 1 2 (duas inversões – par) 1 3 2 (uma inversão – ímpar) 2 1 3 (uma inversão – ímpar) 3 2 1 (três inversões – ímpar)

Det(A

) =

(a

1 1

a

2 2

a

3 3

+ a

1 2

a

2 3

a

3 1

+ a

1 3

a

2 1

a

3

) (a

1 1

a

2 3

a

3 2

+ a

1 2

a

2 1

a

3 3

+ a

1 3

a

2 2

a

3

)

MATRIZ 3 X 3

a 11

A =

a 21 a 31 a 12 a 22 a a 13 23 a 32 a 33 S 2 = (a 31 a 22 a 13 +a 32 a 23 a 11 + a 33 a 21 a 12 ) a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33 a 11 a 21 a 31 a 12 a 21 a 32

det(A) = S

1

– S

2 S 1 = (a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 )

PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES

P 1 - Det ( A ) = Det ( A T ) P 2 - Det (k . A) = k n . Det ( A ). P 3 - Det ( A . B ) = Det ( A ) . Det ( B ). P 4 – É nulo o determinante da matriz que (a) tem um fila cujos elementos são todos nulos.

(b) tem duas filas paralelas iguais ou proporcionais.

(c) tem uma fila que é uma combinação linear de outras duas filas paralelas.

P 5 – O determinante de uma matriz é igual ao produto dos elementos da diagonal principal, quando todos os elementos de um ou dos dois lados da diagonal principal forem nulos.

P 6 – O determinante de uma matriz não altera quando trocamos a posição de duas filas paralelas de mesma paridade. Ex. trocar fila 1 com fila 5, ou fila 2 com fila 6.

Se as paridades forem diferentes o determinante fica multiplicado por -1.

P 7 – O determinante de uma matriz não altera quando substituímos uma fila pela combinação linear desta fila com filas paralelas.

P 8 – Se todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz quadrada se descompõem em duas somas, então seu determinante é igual a soma dos determinantes que têm nessa linha ou coluna o primeiro e a segunda soma respectivamente, sendo os elementos restantes iguais aos determinantes iniciais. P 8 – Se uma fila de uma matriz for decomposta na soma de duas ou mais parcelas, o determinante é igual à soma dos determinantes das matrizes que se obtêm mantendo as demais as demais linhas e substituindo a linha decomposta pelas parcelas obtidas na decomposição.

Exercícios: 1. Calcule o determinante das seguintes matrizes 2 – Para que valor de “x” o determinante da matriz M é nulo?

3 – Para que valor de “a” o determinante da matriz N é igual a 12?

M =

2 x 9 -3

N =

3 a 2 2 4 5 2 a 1