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1. Teorema de Jacobi
Adicionando-se a uma fila de uma matriz A, de ordem n, uma
outra fila paralela, previamente multiplicada por uma constante,
obteremos uma nova matriz M´, tal que:
det M´ = det M
-3
Ex.:
1
0
5
1 3 5
4 2 7 4 10 7
4 11 6
4 1 6
Resumindo: o que estamos dizendo é que é possível facilitar o
cálculo de um determinante, provocando o surgimento de
ZEROS no meio da expressão por meio da utilização do
Teorema de Jacobi.
Exemplo:
1 1 1
2
1 1
det
1 2 1
1 1 2
1
1 1 1 1
0 3
1
1
1
det
0
1 2 2
1
3 0
1
0 2
Explicando melhor:
1 1 1
2
1 1
det
1 2 1
1 1 2
1 2 1 1
1 1 1 1
0 3
1 1
1
det
0
1 2 2
1
3 0
1
0 2
Mesmo com essas transformações o valor do determinante
não muda, porém com o surgimento dos zeros o processo
do cálculo se torna mais simples, conforme veremos mais
adiante.
2. O Teorema de Laplace: Menor Complementar
• Chama-se menor complementar (ij) de uma matriz A o
determinante da matriz que se obtém de A retirando-se a
linha i e a coluna j. Representa-se por Dij.
• Exemplo: Sendo dada a matriz A, calcule D11, D21, D22.
2 3 1
A 3 2 2
2 0 3
D11
D21
D22
2 2
0
3
3 1
0
6 (eliminamos a linha1 e a coluna1)
3
9 (eliminamos a linha 2 e a coluna1)
2 1
2
3
6 2 4 (eliminamos a linha 2 e a coluna 2)
3. O Teorema de Laplace: Cofator
• O cofator Aij de um elemento aij de uma matriz
quadrada, é o número que se obtém ao multiplicar
a potência (– 1)i+j pelo menor complementar de aij .
Aij 1
i j
Dij
• Exemplo:
2 3 1
Sendo A 3 2 2 calcule A11, A21, A22.
2 0 3
2 2
11
A11 1 D11 1
6 . Veja que A11 D11.
0 3
A21 1
3 1
D21 1
1 9 9. Veja que A 21 D21.
0 3
A22 1
2 1
D22 1
1 6 2 4. Veja que A 22 D22 .
2
3
21
2 2
Exemplo: Sendo dada a matriz A, calcule: D12, A12,
D31 e A31.
3
5
2
A 1
8
2
2 2 7
2
1
12
D12 det
3 A12 1 D12 3
2 7
3 5
31
D31 det
34 A31 1 D31 34
8 2
4. Teorema de Laplace
O determinante de uma matriz quadrada é igual à soma
algébrica dos produtos dos elementos de uma fila (linha ou
coluna) pelos respectivos Cofatores.
• Para cada linha k:
det(A) ak1 Ak1 ak 2 Ak 2 akn Akn
• Para cada coluna j:
det(A) a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj
Observações:
• O Teorema de Laplace permite o cálculo do determinante de
uma matriz de ordem n através do cálculo de determinantes
de ordem n - 1;
• Deve-se escolher a linha ou coluna com mais zeros;
• Usar primeiro operações elementares sobre linhas para
obter uma coluna com mais zeros e só depois o Teorema
de Laplace sobre essa coluna.
a11
det a21
a
31
a12
a22
a32
det a11 1
11
a13
a23 a11 A11 a12 A12 a13 A13 (pela 1ª linha)
a33
a22
a23
a32
a33
a12 1
1 2
a21 a23
a31
a33
a13 1
13
a21 a22
a31
a32
Exemplo: Calcule o determinante abaixo.
1 1 1
2
1
1
det
1 2 1
1 1 2
1
1
1
1
Sugestão: use o teorema de Jacobi para simplificar o
cálculo do determimante.
1 1 1
2
1 1
det
1 2 1
1 1 2
1
1 1 1 1
0 3
1
1
1
det
0
1 2 2
1
3 0
1
0 2
Entendendo melhor a aplicação do Teorema de Jacobi:
1 1 1
2
1 1
det
1 2 1
1 1 2
1 1 1
2
1 1
det
1 2 1
1 1 2
1 2 1 1
1 1 1 1
0
3
1
1
1
det
0
1 2 2
1
3 0
1
0 2
1
1 1 1 1
1 1
3
1
0 3
1 1
11
1 1 det 1 2 2
det
0
1
1 2 2
2
3 0
1
3 0
0 2
1 1 3 1
3
1 1 det 1 2 2 1 2
2
3 0 2 3
11 0 4 3 4 18 0 21
5. Regra de Chió
A regra de Chió é uma técnica utilizada no cálculo do
determinantes de ordem n 2. Dada uma matriz A de ordem
n, ao aplicarmos essa regra obteremos uma outra matriz A´
de ordem n – 1, cujo determinante é igual ao de A.
1. Desde que a matriz tenha um elemento igual a 1 (um), eliminamos
a linha e a coluna deste elemento.
2. Subtraímos de cada elemento restante o produto dos dois
elementos eliminados, que pertenciam à sua linha e à sua coluna.
3. Multiplicamos o determinante obtido por (-1)i
representam a linha e a coluna retiradas.
1 3 1
6 5
0 2.3 3 2.( 1)
Ex.:
2 0 3
5 7
1 2.3 5 2.( 1)
2 1 5
+ j,
em que i e j
42 25
-17
Obs: no caso da linha 1 e da coluna 1, não é necessário multiplicar o
determinante por (-1)i + j, pois (-1)1 + 1 vai resultar em 1, que é o
elemento neutro da multiplicação.
Exemplo:
Calcular, usando a regra de Chió, o determinante abaixo:
1 3 7 2
4 14 30 6
3 10 20 8
2 5 16 3
2
1
14 4.3 30 4.7 6 4.2
10 3.3 20 3.7 8 3.2
5 2.3 16 2.7 3 2.2
22 2
11 2
2
- - 1 -2
= 2 - 4- 4 + 2- 8 + 2
1
+
+
+
= - 10
Exemplo:
Calcular o Determinante abaixo, usando a Regra de Chió.
Observe primeiro que o número 1 ocupa a 1ª linha e 3ª coluna, mas
como a soma i + j - = 1 + 3 = 4 é par, teremos (-1)i + j positivo.
7 3 1 2
30 14 4 6
20 10 3 8
16 5 2 3
2
1
- - 1
30 7.4 14 3.4 6 4.2
20 7.3 10 3.3 8 3.2
16 7.2 5 3.2 3 2.2
2 2
1 2
2
-
= (2 - 4 - 4 + 2 - 8 + 2)
1
+
+
+
= (- 10) = -10
Exemplo:
Se o determinante não tiver nenhum elemento unitário podemos dividir
uma das filas (linha ou coluna) para obtermos um elemento unitário, mas
devemos multiplicar o determinante obtido por este valor para não haver
alteração do resultado
3 3 7 2
12 14 30 6
9 10 20 8
6 5 16 3
2
2
1 3 7 2
4 14 30 6
3.
3 10 20 8
2 5 16 3
2
3 . 1 1 2 = 3 . (-10) = -30
1 2 1
6. Matriz de Vandermonde
Chamamos matriz de Vandermonde, ou das potências, toda
matriz de ordem n 2, em que suas colunas são potências de
mesma base, com expoente inteiro, variando de 0 à n – 1 (os
elementos de cada coluna formam uma progressão
geométrica de primeiro termo igual a 1).
Obs.: Os elementos da 2ª linha são chamados elementos
característicos da matriz.
O determinante da matriz de Vandermonde é igual ao produto
de todas as diferenças possíveis entre os elementos
característicos e seus antecessores.
Ex.:
1
2
1
3
1
5
1
77
4
9
25
49
8 27 125 343
(3 – 2)(5 – 2)(5 – 3)(7 – 2)(7 – 3)(7 – 5)
1.3.2.5.4.2
240
7.O cálculo da Matriz Inversa Usando Determinantes
7.1 - MATRIZ DOS COFATORES (Cof A)
Chama-se matriz dos cofatores de uma matriz quadrada A à
matriz que se obtem substituindo em A cada elemento pelo
seu Cofator.
A A
A
11
A
A' Cof A 21
An1
12
1n
A22 A2 n
An 2 Ann
7.2 - MATRIZ ADJUNTA (Adj A)
Chama-se matriz adjunta de uma matriz quadrada A à matriz
que se obtem transpondo a matriz dos cofatores.
A11
A
t
A Cof A 12
A1n
An1
An 2
Ann
A21
A22
A2 n
7.3 - CÁLCULO DA MATRIZ INVERSA (A-1)
Agora que já encontramos a matriz dos cofatores e sua
transposta, a matriz adjunta, para determinar a matriz
inversa de A basta multiplicar o inverso do determinante de A
por essa matriz adjunta:
A1
1
A
det A
Exemplo:
1 2
Calcular a matriz inversa da matriz A
3
4
Solução:
Primeiro vamos calcular o cofator
11
A
1
det4 4
11
de cada um dos elementos da
1 2
matriz A:
A12 1 det3 3
A21 1
2 1
A22 1
2 2
det2 2
det1 1
Agora vamos escrever a matriz dos cofatores:
4 3
A' Cof A
2
1
Agora vamos escrever a matriz adjunta:
4 2
A AdjA Cof A
3
1
t
Agora vamos calcular o determinante de A:
1 2
det A
4 6 2
3 4
E por fim:
1
1 4 2
A
A
1
det A
2 3
1
1
2
A
3
2
1
2
1
OBSERVAÇÕES:
1) Uma matriz quadrada A diz-se REGULAR ou NÃO-SINGULAR
se det A ≠ 0.
2) Uma matriz quadrada somente é INVERTÍVEL se for regular.
3) Uma matriz quadrada invertível diz-se ORTOGONAL somente
se sua transposta dor igual à sua inversa.
A é ortogonal A A1 A At I n A1 At