Transcript Lista de exercícios: Matrizes e Determinantes – Prof.º

Lista de exercícios: Matrizes e Determinantes – Prof.º Fernandinho
 x - 2y 1 
2 1 
1 3 
01.(UNESP) Sejam A = 
,B= 
eC= 


 matrizes reais. Determine x e y reais, de
3x  y - 1
- 1 - 2 
3 - 5
modo que A + 2.B = C.
02. Uma indústria automobilística inglesa montou uma fábrica A, no Brasil, e uma fábrica B, na Itália,
produzindo, em cada uma delas, três modelos de carros (1, 2 e 3) durante os dois primeiros meses após sua
instalação. As matrizes A = (
)eB=(
) apresentam a produção dessas fábricas nesses dois
meses, onde cada elemento aij da matriz A e cada elemento bij da matriz B indicam o número de carros do
modelo i fabricados no mês j de produção.
a ) Obtenha a matriz C, onde cada elemento c ij indica o número total de carros do modelo i fabricados no mês j
pelas duas fábricas nos dois meses de produção.
b ) Em que mês ocorreu a maior produção de carros?
 2 - 3
03.(GV) A e B são matrizes e A é a matriz transposta de A. Se A = 1 y  e B =
 x 2 
y para que a matriz A t . B seja nula.
1 
 2  , calcule o valor de x e
 
1 
04.(MACK) Dadas as matrizes A = [
], obtenha o valor a e b de
t
], B = [
]eC=[
t
modo que A.B = C.
1 x 
1 2
4 5
05.(UNESP) Considere as matrizes A = 
,B= 
eC= 


 , com x, y e z números reais. Se
y z 
1 1 
36 45
A.B = C, a soma dos elementos da matriz A é :
a)9
b ) 40
 x 2
 e B =
06.(MACK) Dadas as matrizes A = 
 y 2
c ) 41
d ) 50
e ) 81
 2 1

 , se A.B = B.A, qual é o valor de x + y.
 1 1
07.(GV) Considere as matrizes A = a ij 3x3 , em que a ij  (- 2) j e B = b ij 3x3 , em que b ij  (- 1) i . O elemento
c23, da matriz C = c ij 3 x 3 , em que C = A . B é :
a ) 14
b ) – 10
c ) 12
1 2
 e A.B =
08.(MACK) Considere as matrizes A e B, tais que A = 
3 5
primeira coluna da matriz B é igual a :
a)1
b)2
c)3
d)–8
e)4
4 1 8

 . A soma dos elementos da
11 3 21
d)4
e)5
09. Uma fábrica de autopeças produz dois tipos de peças, denominadas tipo 1 e tipo 2. Essa fábrica fornece
peças a três concessionárias de automóveis, denominadas 1, 2 e 3. Cada elemento a ij da matriz A =
[
] indica o número de peças do tipo i vendidas à concessionária j no último mês. Cada
B=[
elemento bij da matriz
] representa o preço unitário, em reais, da peça de tipo j.
a ) Obtenha o produto B.A
b ) Qual é o valor, em reais, da quantidade de peças vendidas no mês passado para a concessionária 3?
x
 1 0   0 1 - 1  
 . 
 .  y  é a matriz nula, x + y é igual a :
10.(MACK) Se o produto das matrizes 
 -1 1 1 0 2   1 
 
a)0
b)1
c)–1
d)2
e)–2
11.(GV)
a ) Uma matriz A é do tipo 3 x 5, outra matriz B é do tipo 5 x 2 e a matriz C é do tipo m x 4. Qual o valor de m
para que exista o produto (A.B).C, e qual o tipo dessa matriz ?
2 5 
b ) Dadas as matrizes A = 
 e B = 4 0, obtenha a matriz X, tal que X.A = B.
1 - 3
12.(FUVEST) Uma matriz real A é ortogonal se A.A t  I , onde I indica a matriz identidade e A t indica a
1

x

transposta de A. Se A = 2
é ortogonal, então x 2  y 2 é igual a :
y z


a)
1
4
b)
3
4
c)
1
2
d)
3
2
e)
3
2
1 2 5
a
 28 


 
 
13.(UNESP) A matriz  b  é a solução da equação matricial A.X = M em que: A =  0 1 4  e M =  15  .
0 0 3
c
9


 
 
2
2
2
Então a  b  c vale:
a ) 67
b ) 68
c ) 69
d ) 70
e ) 71
1 1
170
x 
14.(GV) Sendo A = 
e B =   , a matriz X =   na equação A16 . X  B será :

0 1
 10 
 y
5 
a)  
5 
0
b)  
10
10
c)  
5
10
d)  
10
5
e)  
10
 1 1
 . A soma dos elementos da matriz A 100 é :
15.(GV) Seja a matriz A = 
0
1


a ) 102
b ) 118
c ) 150
d ) 175
e ) 300
0 , se i  j
16.(GV) Seja a matriz A = a ij 2x2 na qual a ij  
. Sendo n um número natural não nulo, então a
1 , se i  j
matriz A n é igual a :
 1 0
a) 

n 1
1 n 
b) 

1 1 
1 n 
c) 

0 1 
n 2
d) 
0
0

n
1 n 2 
e) 

0 1 
x y 
x 6 
 4
17.(GV) Dadas as matrizes A = 
,B= 
,C= 


z w
z  w
- 1 2w 
soma S = x + y + z + w é igual a :
x  y
e sendo 3.A = B + C, então a
3 
a ) 11
d ) 08
b ) 10
c ) 09
e ) 07
18.(GV) Nos meses de abril e maio, uma família adquiriu as mesmas quantidades de açúcar, arroz e feijão em
um mesmo supermercado, mas os preços sofreram uma leve alteração:
Mediante um produto de matrizes, expresse, por meio de uma matriz, quanto a família gastou em cada mês.
19.(UNESP) Determine os valores de x, y e z na igualdade abaixo, envolvendo matrizes reais 2x2:
 0 0 0 x  x - y 0  z - 4 0

x 0 . 0 0    x
z   y - z 0

 
 
20.(UNESP) Seja A = a ij 2x2 a matriz real definida por a ij  1 se i  j e a ij  - 1 se i > j. Calcule A 2 .
21.(FUVEST) Obtenha a e b de modo que (
).(
 x 1
22.(GV) A matriz A = 
 é inversa de B =
 5 3
a)–1
 3 - 1
 y 2  . Nessas condições, a soma x + y vale :


b)–2
 2 0
23.(GV) Dadas as matrizes A = 
e B=
1 3 
) = I2.
c)–3
k

m
d)–4
e)–5
0
1  , para que valores de k e m, a matriz A é inversa de B ?
3 
 1 0 1


24.(UNESP) Os valores de k para que a matriz A =  k 1 3  não admita inversa são :
 1 k 3


a)0e3
b)1e–1
c)1e2
d)1e3
e)3e–1
1
25.(GV) A matriz A =  x
 x 2
a)x≠5
1
2 5  admite inversa, se e somente se :
4 25
1
b)x≠2
c)x≠2ex≠5
d ) x ≠ 4 e x ≠ 25
e)x≠4
 - 2 3
 , calcule a sua matriz inversa A - 1 .
26.(FUVEST) Dada a matriz A = 
 -1 2
27.(UFSCAR) Admita que a matriz cuja inversa seja formada apenas por elementos inteiros pares receba o
3x 
 2
nome de EVEN. Seja M uma matriz 2x2, com elementos reais, tal que M = 
 . Admita que M seja
x  1 x 
EVEN, e que sua inversa tenha o elemento da primeira linha e primeira coluna igual a 2.
a ) Determine o valor de x nas condições dadas.
b ) Determine a inversa de M nas condições dadas.


0 1
1
28.(FUVEST) Qual é o valor do determinante da inversa da matriz A =   1  2 0  ?
1


4 3
5

 a 11 a 12 a 13 


29.(UNICAMP) Considere a matriz A =  a 21 a 22 a 23  , cujos coeficientes são números reais. Suponha,
a

 31 a 32 a 33 
agora, que a ij  0 para todo elemento em que j > i, e que a ij = i – j + 1 para os elementos em que j  i .
Determine a matriz A, nesse caso, e calcule sua inversa A - 1 .
2a  1
 a
 , em que a é um número real. Sabendo que A admite
30.(FUVEST) Considere a matriz A = 
 a 1 a  1 
 2a - 1
 , a soma dos elementos da diagonal principal de A - 1 é igual a:
inversa A - 1 cuja primeira coluna é 
 -1 
a)5
b)6
c)7
a - a
 e B =
31.(MACK) Dadas as matrizes A = 
1 a 
:
a)1
b)2
d)8
e)9
 3a 2 

 , o produto das raízes da equação det (A + B) = 0 é
 1 1
c)–
1
2
d)
3
2
e)–1
32.(UNESP) Considere a matriz A = (aij)2x2, definida por aij = - 1 + 2i + j. O determinante de A é:
a)
b)2
c)4
d)–2
e)–4
33. Para que o determinante da matriz [
a ) 2 ou – 2
] seja nulo, o valor de a deve ser:
c ) – 3 ou 5
b ) 1 ou 3
34. Considere os determinantes A = |
|eB=|
35.(FUVEST) O produto da matriz A = [
d ) – 5 ou 3
|. Calcule o valor
e ) 4 ou – 4
para a = 1,73 e b = 0,27
] pela sua transposta é a identidade. Determine x e y, sabendo
que det A > 0.
36.(UNESP) Foi realizada uma pesquisa, num bairro de determinada cidade, com um grupo de 500 crianças de
três a doze anos de idade. Para esse grupo, em função da idade x da criança, concluiu-se que o peso médio p(x),


1 - 1 1 
em quilogramas, era dado pelo determinante da matriz A, onde A = 3 0 - x  . Com base na fórmula

2
0 2

3

p(x) = det A, determine :
a ) o peso médio de uma criança de cinco anos.
b ) a idade mais provável de uma criança cujo peso é 30 kg.
37. Resolva a equação: |
|=|
|.
x2
38.(UNESP) Considere as matrizes A = 
 2
 x y - 1


C =  z 1 1  é igual a:
4 5 2 


a)–1
b)0
0 
4 z 
 e B = 
 . Se A = B t , o determinante da matriz

y  z
y - x
c)1
d)2
e)3
39.(MACK) Seja A uma matriz quadrada de ordem 2. Chamam-se autovalores de A às raízes da equação
det(A – x. I 2 ) = 0, onde I 2 representa a matriz identidade de ordem 2. Obtenha os autovalores da matriz
1 4
 .
A = 
 2 3
40. Sendo A = [
]eB=[
41. Dada a matriz A = (
ordem 2.
], obtenha o número x, tal que det (A + x.B) = 14.
), obtenha o número x, tal que det (A – x.I2) = 0, onde I2 é a matriz identidade de
 a 1
1 1
1 0
42.(MACK) Se as matrizes A = 
, B = 
e I = 

 são tais que A . B = I, então o

- 4 - 5
0 1 
- 4 b 
determinante da matriz A 2 é :
a)1
b)4
c)9
d ) 16
e ) 25
43.(GV) A é uma matriz quadrada de ordem 2 e det A = 7. Nessas condições, det (3A) e det A - 1 valem
respectivamente :
a )7 e – 7
b ) 21 e
1
7
c ) 21 e – 7
d ) 63 e – 7
e ) 63 e
1
7
44. Seja A uma matriz quadrada de ordem 3 e det A = 12, calcule det (2.A).
45. Seja A uma matriz quadrada de ordem 3, tal que det A = 6 e det (k.A) = 48. Calcule o valor real de k.
 2 - 1
 , o triplo do determinante da matriz A é igual a :
46.(MACK) Se A 3 = 
- 4 6 
a)3
b)6
c )9
1 x 
 e B =
47.(MACK) Dadas as matrizes A = 
5 1 
28?
48. Resolva a equação |
d ) 12
e ) 15
2 1

 , qual é a soma das raízes da equação det(A.B) = 4 x
| = 0.
1 0 0 
49.(UNESP) Seja A uma matriz. Se A = 0 6 14  , o determinante de A é :
0 14 34
3
a)8
b) 2 2
c)2
d)
3
2
e)1
1 2 3
50.(UNESP) Sejam A e B matrizes quadradas de ordem 3. Se A = 0 - 1 1  e B é tal que B - 1 = 2.A, o
1 0 2
determinante de B será :
a ) 24
b)6
c)3
d)
1
6
e)
1
24
 p , se i  j
51.(UFSCAR) Seja A = a ij uma matriz quadrada de ordem 3 tal que, a ij  
com p inteiro positivo.
2p , se i  j
Em tais condições, é correto afirmar que, necessariamente, det A é múltiplo de :
 
a)2
b)3
c)5
d)7
e ) 11
a ij  10, se i  j
52.(MACK) Dadas as matrizes A  a ij 3 x3 tal que 
e B  b ij 3x3 tal que
 a ij  0, se i  j
de det (A.B) é :
a ) 27000
b ) 9000
c ) 2700
4 a m 
53.(GV) Considere as matrizes A = 4 b n  e B =
4 c p 
então o determinante da matriz B é igual a :
a)
3
2
b)
2
3
c)–
d ) 900
b ij  3, se i  j
, o valor

b ij  0, se i  j
e ) 270000
m a 3
 n b 3 . Se o determinante da matriz A é igual a 2,


 p c 3
d)–
3
3
2
e)–
2
3
1 1 1
2 10r 2x
54.(IBMEC) Se o determinante 4x 4y 4z é igual a 2008, então o determinante 1 5s y é igual a :
r
s
t
1 5t
z
a ) – 5020
b ) – 803,2
c)0
55. Calcule o valor do determinante D = |
d ) 803,2
e ) 5020
|.
56. Calcule o valor do determinante A = |
|.
57.(PUC) A matriz A é de quarta ordem e tem determinante igual a – 8. Na equação det (2A) = 2x – 150, o
valor de x é :
a)8
b ) 11
c ) 15
d ) 22
e ) 28
58.(MACK) Seja A uma matriz quadrada de ordem 2 com determinante maior que zero e A - 1 a sua inversa. Se
é válida a equação 16.det A - 1 = det (2.A), então o determinante de A vale :
a ) 14
b)6
c ) 18
d)2
e ) 10
59.(ITA) Sejam A, B e C matrizes reais 3x3 satisfazendo as seguintes relações : A.B = C - 1 e B = 2A. Se o
determinante da matriz C é 32, o valor do módulo do determinante da matriz A é :
a)
1
16
b)
1
8
c)
1
4
d)4
e)8
60. Calcule os determinantes das matrizes abaixo:
2

0
A= 
0

0

1 1 0

1 1 2
2 0 1

1 3 2 
2

0
B= 
1

2

2

1
1 2 1

2 1 1
 1

 2
C= 
0

 2

3 1
2 0
2

3
4 0  1

0 1 0 
0 0
1 2
1

3
D= 
2

1

2 1 3

7 1 8
4 1 0

2  1 5 
Gabarito
(
01. x = 1 e y = 2
02.
05. B
06. x + y = 6
)
09.
03. x = - 4 e y =
04. a = 7 e b = 4
07. A
08. C
10. C
11. a ) m = 2 e 3x4
12. E
13. A
14. D
12
b)X= 
11
15. A
16. C
17. B
18. 34,50 32,80
19. x = 2, y = 2 e z = 4
 0 2
20. A2 = 

- 2 0 
21. a = 1 e b = 0
22. C
23. k =
24. C
25. C
  2 3

26. A - 1  
 1 2
5
28. det A- 1 = 
48
 1 0 0
 1 0 0




29. A =  2 1 0  e A -1   - 2 1 0 
 3 2 1
 1 - 2 1




30. A
31. E
32. D
34.
35. x =
ey=
36.
33. A
a ) 18 kg
37. {
b ) 11 anos
1
1
em= 
2
6
1
a)x2
27.
2
 6


b ) M -1  
 2  8
}
38. B
39. x = 5 e x = – 1
40. x = 10
41. x = 1 ou x = 6
42. A
43. E
44. det (2A) = 96
45. k = 2
46. B
49. C
50. E
47. Soma =
11
5
48.
{
}
20 
11 
51. C
52. A
53. D
54. A
55. det D = 0
56. det A = 0
57. B
58. D
59. A
60. a ) det A = 12
2
b ) det B = – 15 c ) det C = – 35 d ) det D = 6