Álgebra Linear 3ª Lista de Exercícios – A Teoria dos Determinantes
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Álgebra Linear
3ª Lista de Exercícios – A Teoria dos Determinantes
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1 – Justifique em cada caso o motivo do determinante ser nulo.
4 5 1
a) 8 10 2 0
4 3 7
7 12 0
1 0 0
b) 5
4 13 0
1 3 5
c) 2 0 4 0
1 4 2
Solução. Identificando as propriedades dos determinantes que se anulam, vem:
a) O determinante é nulo, pois a 2ª linha é dobro da 1ª linha.
b) O determinante é nulo, pois a 3ª coluna inteira é formada por zeros.
c) A 3ª coluna é a soma do dobro da 1ª linha com a 2ª linha: 5 = 1 x 2 + 3; 4 = 2 x 2 + 0 e 2 = - 1 x 2 + 4.
2 – Encontre o determinante de cada matriz.
2
0
a)
1
0
3 1
4 3
2 1
4 1
2
5
3
0
0
1
b)
3
2
0
2
4
0
0 3
1 4
6 1
4 1
8
0
c)
0
0
9
2
0
0
1 3
1 4
0 1
0 1
Solução. Aplicando Laplace é interessante escolher a linha ou coluna que possui mais zeros. Assim elimina-se
alguns cofatores.
a) A 1ª coluna ou a 4ª linha apresentam dois elementos nulos. Escolhendo a 1ª coluna, vem:
2
0
1
0
3 1 2
4 3 5
3 1 2
4 3 5
(2). 2 1 3 (1). 4 3 5
2 1 3
4 1 0
4 1 0
4 1 0
4 3
2 1
4 3
3 1
(1) (2)
(2) (5).
(3).
(
5
).
4 1
4
1
4
1
4
1
(2)[(5)(2) (3)(16)] (1)[(2)(16) (5)(7)] (2)[10 48] (1)[32 35] 116 3 119
OBS: Repare que no determinante 3 x 3 foram escolhidos nas 2ª colunas os elementos a13 e a23.
b) A 3ª linha possui somente um elemento não nulo.
0
1
3
2
0
2
4
0
0 3
1 2 1
1 4
3 6
1 1
(3). 3 4 6 (3). (2).
(4).
6 1
2 4
2 4
2 0 4
4 1
(3)[(2).(0) (4).(6)] (3).[24] 72
OBS: Repare que no determinante 3 x 3 foram escolhidos na 2ª coluna os elementos a12 e a22.
c) O determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal. Como um desses
elementos é zero, o determinante é nulo.
8
0
0
0
9
2
0
0
1 3
1 4
(8).(2).(0).(1) 0
0 1
0 1
3 – Determine o conjunto verdade das equações.
Solução.
a) Aplicando Laplace na linha 1, temos:
2
1
x
2
0
x
1
4
0 0
x 1
2 4
1 4
1 2
6
6 (2). ( x).
( x).
(1).
2 4
6 2
4 2
4 6
6 2
(2).[( x).(20) ( x).(14) (1).(2)] 6 (2).[20 x 14 x 2] 6 6 x 2 3 x
3 2 1
6
6
b) Aplicando Laplace na coluna 1, temos:
1
2
3
4
0
0
1
0
2 0
1 2 0
0 x
0 x
2 x
39
39 (1). 2 0 x 39 (1). (1).
(2).
x 2
1 x
4 x
4 1 x
1 x
(1).[(1).( x) (2).(6 x)] 39 x 12 x 39 11x 39 x
39
11
2 3 4 11
7 6
1
2
1470 , calcule os determinantes das seguintes matrizes.
4 – Sabendo que
2 5 5
8
7 2 3 4
Solução. Observando que os elementos se assemelham à matriz original, é possível aplicar as propriedades
dos determinantes.
7 2 3 4
7 6
1
2
1470b)
a)
2 5 5
8
2 3 4 11
2 3 4 11
7 6 14 2
0
2 5 4 8
7 2 14 4
2 3 8 11
7 6
2
2
– 2940
c)
2 5 10 8
7 2 6 4
a) A 4ª linha foi trocada com a 1ª linha. Logo o determinante fica com o sinal trocado. Isto é, vale 1470.
b) A 3ª coluna é o dobro da 1ª coluna. Logo, o determinante se anula. Vale zero.
c) A 3ª coluna é o dobro da 3ª coluna da matriz original. Logo o determinante dobra. Vale (-1470 x 2)
2b
2c
a b c
2a
5 – (ITA) Se det p q r 1 , calcule o valor do det 2 p x 2q y 2r z = 12.
3x
x y z
3y
3z
Solução. Um determinante não se altera se uma linha for substituída pela soma de seus elementos com outra
previamente multiplicada por um número. O determinante fica multiplicado pelo número que for
multiplicado a uma linha ou coluna. Observando o segundo determinante, temos:
a) A 1ª linha foi multiplicada por (- 2).
b) A 2ª linha foi multiplicada por (2). A soma com a 3ª linha não há interfere.
c) A 3ª linha foi multiplicada por (3).
Conclusão. O determinante da matriz é o produto do determinante original por (-2).(2).(3) resultando no
valor: (-1).(-2).(2).(3) = 12.
6 – Resolva as equações:
x
1
a)
0
1
0
x
x
0
0
1
0
x
1
0 2 x2
1 x 0
1
x 3 2x 1
b)
0
3
2
2 x x
c) 1 2 1 12
3 1 2
Solução. O procedimento será encontrar determinantes por qualquer método e igualar ao valor do 2º
membro. Nos casos acima de 2 x 2, será utilizado o método de Laplace.
a) Laplace na 1ª linha
b) Det2 x 2 natural.
c) Laplace na 1ª linha.
x
1
0
1
0
x
x
0
0
1
0
x
1
x 1 0
1 x 1
0 2 x2
( x). x 0 1 (1). 0 x 0 (2).(0) ( x).( x 2 )
1 x 0
0 x 1
1 0 x
1
a) ( x).( x).( x) (1).( x) (1). (1).( x 2 ) (1).( x) x3 ( x).[ x 2 x] (1).[ x 2 x] x3
x 0
x x x x x 2 x x 0 x(2 x 1) 0
1
x 2
3
b)
2
2
3
2
x 3 2x 1
9
0 2( x 3) 3(2 x 1) 0 2 x 6 6 x 3 0 4 x 9 x
3
2
4
2 x x
6
3
c) 1 2 1 12 (2).(3) ( x)(1) ( x).(5) 12 6 x 5 x 12 4 x 6 x
4
2
3 1 2
0 1 / 2 1
3 1/ 2
1
1
2 5
2 3
1 2 2
7 - (ITA-2006) Sejam as matrizes A
e B
1 1 2
1 1
1
1
5 1 3 / 2 0
5 1 1/ 2
1
3
. Determine o
1
5
elemento c34 da matriz C ( A B) .
Solução. Repare que não é preciso resolver toda a soma dos elementos. A informação que interessa é
somente relativo ao elemento c34. Como a soma relaciona elemento a elemento correspondente a sua posição,
temos que: c34 = a34 + b34 = 1 + 1 = 2.
x 1 x 1 x 1
1
2 , encontre o conjunto solução da equação
8 - (Unicamp-2006)Sejam dados: a matriz A x 1
x 1
1
2
det( A) 0 .
Solução. Aplicando Laplace na 1ª coluna, temos:
x 1 x 1 x 1
x 1 1
2 ( x 1).[4] ( x 1)[2.( x 1) 1( x 1)] ( x 1).[2.( x 1) 1( x 1)]
x 1 1
2
( x 1).[4] ( x 1)[2 x 2 x 1] ( x 1)[2 x 2 x 1] ( x 1).[4] ( x 1)[3x 3] ( x 1)[ x 1]
( x 1)[4 3x 3 x 1] ( x 1).[4 x 8].
Como essa expressão deve ser nula, temos:
x 1 x 1 x 1
x 1
x 1 1
2 0 ( x 1).[4 x 8] 0
4 x 8 x 2
x 1 1
2
OBS. Repare que para x = 1, a 1ª coluna seria toda nula, logo anularia o determinante. Se x = 2, a 2ª coluna
seria igual à primeira, anulando também o determinante.
2 1 2 y
9 – (UEL-PR) Uma matriz quadrada A é simétrica se A = AT. Assim se a matriz A x 0 z 1 é simétrica,
4 3
2
calcule x + y + z.
x
4
2
0
3 é a simétrica. Igualando as matrizes A e AT, temos:
Solução. A matriz A 1
2 y z 1 2
T
x
4 1 x x 1
2 1 2 y 2
A A x 0 z 1 1 0
3 2 y 4 y 2 x y z 1 2 4 7
4 3
2 2 y z 1 2
z 1 3 z 4
T
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
a) 64
b) 8
c) 0
d) -8
e) -64
RESPOSTA: D
a) 2 ou -2
b) 1 ou 3
c) -3 ou 5
d) -5 ou 3
e) 4 ou -4RESPOSTA: A
a) não se define;
b) é uma matriz de determinante nulo;
c) é a matriz identidade de ordem 3;
d) é uma matriz de uma linha e uma coluna;
e) não é matriz quadrada.RESPOSTA: B
a) duas linhas proporcionais;
b) duas colunas proporcionais;
c) elementos negativos;
d) uma fila combinação linear das outras duas filas paralelas;
e) duas filas paralelas iguais.RESPOSTA: D
a) -9
b) -6
c) 3
d) 6
e) 9
RESPOSTA: E
é igual a:
a) 7
b) 8
c) 9
d) 10
1
7) Seja a matriz A 4
8
3
5
2
0
1
8) Seja A
0
1
2
4
5
1
1
3
1
0
0
1
0
3
e) 11
RESPOSTA: C
1
2 . Determine os seguintes cofatores: A23, A21, e A22.
3
1
9) Calcule o valor do det A 4
8
a) Determine: A12 e A14.
b) Calcule o valor dos cofatores A12 e A14.
c) Calcule o valor do determinante de A desenvolvendo pelos
elementos da 1ª linha.
3
5
2
1
2
3
a) Utilizando os cofatores da 2ª linha.
b) Utilizando a regra de Sarrus.
10) Resolva as equações
x
a) 5
1
3
x
3
3 2
b) 1 - 2
2 1
2
1 = 12, utilizando os cofatores da 3ª linha.
1
x
x 8 , pela Regra de Sarrus.
x
d)
b)
x
x2
x2
1
x
4
x2
1
0
12.
11) Dadas as matrizes
5
A 0
1
- 1 - 2
1
0
4 3 e B - 3 1
2 - 2
8
3
2
4
5
Calcule o determinante, usando a Regra de
Sarrus, de cada uma das matrizes a seguir:
a) A
b) B
c) A + B
d) A.B
12) Dadas as matrizes
5
A 0
1
- 1 - 2
1
0
4 3 e B - 3 1
2 - 2
8
3
2
4
5
Calcule o determinante, usando a Regra de Sarrus:
a) At
b) Bt
c) (A - B)t
2 1
4 2
eB
, calcule o número real x, tal que det (A – xB) = 0.
3 4
3 - 1
13) Sendo A
2
14) Resolva a equação 1
3
x -2
x3
x 1
3
15) Dada a Matriz M 3
0
-1
1
3
1
4 56 .
5
1
- 1 , determine o valor do determinante da matriz M2.
3
Resoluções dos exercícios propostos
8) a)
A 12
1
( 1) 0
1
1
0
3
A 14
1 3
( 1) 0 1
1 0
1
0
3
3
5
4
5;
1
b) A12 = -(5 – 15) = 10;
A 14
A14 = -2(3 – 1) = -4
1 3 1
1 1
( 1) 0 1 0 = (-1)5.(-1)4
= -2
1 3
1 0 3
5
c) A = A12 + A14 = 1.10 + 2.(-2) = 6
10) a) x1 = 2 ou x2 = 3.
b) x1 = 0 ou x2 =
1
.
4
c) x = 4
d) Não existe x real
1) Calcule os seguintes determinantes:
8
b)
3
- 4 8
a)
1 - 3
2) Se a =
3
- 7
- 4 6 - 9
c) - 3 4 6
1 3 8
21 7
-1 - 2
2
1
,b=
ec=
, determine A = a2 + b – c2.
3 1
5
3
3 4
3) Resolva a equação
x
5
x
= -6.
x
2
4) Se A =
3
3
, encontre o valor do determinante de A2 – 2ª.
4
b
a
5) Sendo A = 3
, calcule o valor do determinante de A e em seguida calcule o valor
3
a b
numérico desse determinante para a = 2 e b = 3.
4 - 1 0
6) Calcule o valor do determinante da matriz A = 5 7 6
2 1 3
x 1 2
3
4
x 1
5
7) Resolva a equação
x
3 1 -2
1
-2
8) Se A = (aij)3x3tal que aij = i + j, calcule det A e det At.
9) Foi realizada uma pesquisa, num bairro de determinada cidade, com um grupo de 500 crianças de
3 a12 anos de idade. Para esse grupo, em função da idade x da criança, concluiu-se que o peso
1 -1 1
médio p(x), em quilogramas, era dado pelo determinante da matriz A, em que: 3 0 - x , com
2
0 2
3
base na fórmula p(x) = det A, determine:
a) o peso médio de uma criança de 7 anos
b) a idade mais provável de uma criança cuja o peso é 30 kg.
sen x
10) Calcule o valor do determinante da matriz A=
cos x
11) Resolva a equação
2
12) Se A =
4
3
x -1
- cos x
.
sen x
1
= 3.
-1
- 1
, calcule o valor do determinante de
5
A2
2 A .
7
13) Considere a matriz A = (aij)2x2, definida por aij = -1 + 2i + j para 1 i 2 e 1 x 2 .
Determine o determinante de A.
x 2
14) Determine o determinante da seguinte matriz 3 - 1
0 2
1
x.
1
1 2
15) Dada a matriz A = - 1 4
0 1
3
5 e a = det A, qual o valor de det (2A) em função de a?
2
16) Seja A = (aij)3x3 tal que aij = i – j. Calcule det A e det At.
1 0 2
1 0
17) Calcule os determinantes das matrizes A = - 1 3 4 e B = 3 - 4
2 - 1 - 7
1 - 6
teorema de Laplace.
0
2 , usando o
- 7
18) Resolva as equações:
a)
x x2
=0
5 7
b)
-3
5
2
20) Dada a matriz A =
1
a) det A
19) Sabendo – se a =
x
5
x
=0
x
1
3
b) - 2 3
4 -2
3
4
x 3 5
=0
1
x-1
2
6
2
eb=
, calcule o valor de 3a + b2.
4
10
1
4
, calcule:
3
b) det A2
21) Determine o valor de cada determinante:
3 2
5
0
3
0
a) 4
2
c)
1
5
2
c) 1
4
2
1
3
0
1
0
2
22) Calcule o determinante da matriz P2, em que P é a matriz P = 2
0
1
23) Na matriz 1
1
x
2
-3
x2
4 , calcule:
9
a) seu determinante
b) os valores de x que anulam esse determinante
2
x x
24) Determine em IR a solução da equação: - 1 - 2 - 1 = 8 – log84.
3 1 2
-1
1
2
1
- 1 .
2
1
3
eb= 2
2
1
1
25) Sabendo que a =
2
3
2
1
26) Determine a solução da equação:
x
2
1
1 , efetue a2 – 2b.
3
3
8
= 0.
-x
sen x
27) Determine o determinante da matriz
2co x
x
28) Resolver a equação x
x
x
x
4
cos x
.
2 sen x
x
4 =0
4
29) Resolva as equações:
2
a) 2
3
4 1
4 x=0
1 2
2
b) 0
2
3
1
x
-2
x =2
-3
x 1
c) 3
x
3
x
2
x
1 =0
x -1