Álgebra Linear 3ª Lista de Exercícios – A Teoria dos Determinantes

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Álgebra Linear
3ª Lista de Exercícios – A Teoria dos Determinantes
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1 – Justifique em cada caso o motivo do determinante ser nulo.
4 5 1
a)  8 10 2  0
4 3 7
 7 12 0
1 0 0
b) 5
4 13 0
1 3 5
c) 2 0 4  0
1 4 2
Solução. Identificando as propriedades dos determinantes que se anulam, vem:
a) O determinante é nulo, pois a 2ª linha é dobro da 1ª linha.
b) O determinante é nulo, pois a 3ª coluna inteira é formada por zeros.
c) A 3ª coluna é a soma do dobro da 1ª linha com a 2ª linha: 5 = 1 x 2 + 3; 4 = 2 x 2 + 0 e 2 = - 1 x 2 + 4.
2 – Encontre o determinante de cada matriz.
2
0
a)
1
0
3 1
4 3
2 1
4 1
2
5
3
0
0
1
b)
3
2
0
2
4
0
0 3
1 4
6 1
4 1
8
0
c)
0
0
9
2
0
0
1 3
1 4
0 1
0 1
Solução. Aplicando Laplace é interessante escolher a linha ou coluna que possui mais zeros. Assim elimina-se
alguns cofatores.
a) A 1ª coluna ou a 4ª linha apresentam dois elementos nulos. Escolhendo a 1ª coluna, vem:
2
0
1
0
3 1 2
4 3 5
3 1 2
4 3 5
 (2). 2 1 3  (1). 4  3 5 
2 1 3
4 1 0
4 1 0
4 1 0

 4 3
2 1
4 3
3 1 
  (1) (2)

 (2) (5).
 (3).

(

5
).

 4 1

4
1
4
1
4
1




 (2)[(5)(2)  (3)(16)]  (1)[(2)(16)  (5)(7)]  (2)[10  48]  (1)[32  35]  116  3  119
OBS: Repare que no determinante 3 x 3 foram escolhidos nas 2ª colunas os elementos a13 e a23.
b) A 3ª linha possui somente um elemento não nulo.
0
1
3
2
0
2
4
0
0 3
1 2 1

1 4
3 6
1 1 

 (3). 3 4 6  (3). (2).
 (4).
6 1
2 4
2 4 

2 0 4
4 1
 (3)[(2).(0)  (4).(6)]  (3).[24]  72
OBS: Repare que no determinante 3 x 3 foram escolhidos na 2ª coluna os elementos a12 e a22.
c) O determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal. Como um desses
elementos é zero, o determinante é nulo.
8
0
0
0
9
2
0
0
1 3
1 4
 (8).(2).(0).(1)  0
0 1
0 1
3 – Determine o conjunto verdade das equações.
Solução.
a) Aplicando Laplace na linha 1, temos:
2
1
x
2
0
x
1
4
0 0

x 1
2 4
1 4
1 2
6
 6  (2). ( x).
 ( x).
 (1).
2 4
6 2
4 2
4 6 

6 2
 (2).[( x).(20)  ( x).(14)  (1).(2)]  6  (2).[20 x  14 x  2]  6  6 x  2  3  x 
3 2 1

6
6
b) Aplicando Laplace na coluna 1, temos:
1
2
3
4
0
0
1
0
2 0
1 2 0
 0 x
0 x
2 x
  39
 39  (1). 2 0  x  39  (1). (1).
 (2).
x 2
1 x
4 x 

4 1 x
1 x
 (1).[(1).( x)  (2).(6 x)]  39  x  12 x  39  11x  39  x  
39
11
2  3 4 11
7 6
1
2
 1470 , calcule os determinantes das seguintes matrizes.
4 – Sabendo que
2 5 5
8
7 2 3 4
Solução. Observando que os elementos se assemelham à matriz original, é possível aplicar as propriedades
dos determinantes.
7 2 3 4
7 6
1
2
 1470b)
a)
2 5 5
8
2  3 4 11
2  3 4 11
7 6 14 2
0
2 5 4 8
7 2 14  4
2  3 8 11
7 6
2
2
 – 2940
c)
2  5 10 8
7 2 6 4
a) A 4ª linha foi trocada com a 1ª linha. Logo o determinante fica com o sinal trocado. Isto é, vale 1470.
b) A 3ª coluna é o dobro da 1ª coluna. Logo, o determinante se anula. Vale zero.
c) A 3ª coluna é o dobro da 3ª coluna da matriz original. Logo o determinante dobra. Vale (-1470 x 2)
 2b
 2c 
 a b c
  2a




5 – (ITA) Se det p q r  1 , calcule o valor do det 2 p  x 2q  y 2r  z = 12.




 3x
 x y z 
3y
3z 
Solução. Um determinante não se altera se uma linha for substituída pela soma de seus elementos com outra
previamente multiplicada por um número. O determinante fica multiplicado pelo número que for
multiplicado a uma linha ou coluna. Observando o segundo determinante, temos:
a) A 1ª linha foi multiplicada por (- 2).
b) A 2ª linha foi multiplicada por (2). A soma com a 3ª linha não há interfere.
c) A 3ª linha foi multiplicada por (3).
Conclusão. O determinante da matriz é o produto do determinante original por (-2).(2).(3) resultando no
valor: (-1).(-2).(2).(3) = 12.
6 – Resolva as equações:
x
1
a)
0
1
0
x
x
0
0
1
0
x
1
0 2 x2

1 x 0
1
x  3 2x  1
b)
0
3
2
2 x x
c) 1 2 1  12
3 1 2
Solução. O procedimento será encontrar determinantes por qualquer método e igualar ao valor do 2º
membro. Nos casos acima de 2 x 2, será utilizado o método de Laplace.
a) Laplace na 1ª linha
b) Det2 x 2 natural.
c) Laplace na 1ª linha.
x
1
0
1
0
x
x
0
0
1
0
x
1
x 1 0
1 x 1
0 2 x2

 ( x). x 0 1  (1). 0 x 0  (2).(0)  ( x).( x 2 ) 
1 x 0
0 x 1
1 0 x
1


a)  ( x).( x).( x)  (1).( x)   (1). (1).( x 2 )  (1).( x)   x3  ( x).[ x 2  x]  (1).[ x 2  x]   x3 
x  0

  x  x  x  x   x  2 x  x  0   x(2 x  1)  0  
1
 x  2
3
b)
2
2
3
2
x  3 2x  1
9
 0  2( x  3)  3(2 x  1)  0  2 x  6  6 x  3  0  4 x  9  x 
3
2
4
2 x x
6
3
c) 1 2 1  12  (2).(3)  ( x)(1)  ( x).(5)  12  6  x  5 x  12  4 x  6  x    
4
2
3 1 2
0 1 / 2  1
3  1/ 2
 1
1
 2 5


2  3
1 2 2
7 - (ITA-2006) Sejam as matrizes A  
e B
 1 1 2
 1 1
1 
1



 5 1 3 / 2 0 
 5  1 1/ 2
1
3
. Determine o
1

5
elemento c34 da matriz C  ( A  B) .
Solução. Repare que não é preciso resolver toda a soma dos elementos. A informação que interessa é
somente relativo ao elemento c34. Como a soma relaciona elemento a elemento correspondente a sua posição,
temos que: c34 = a34 + b34 = 1 + 1 = 2.
 x  1 x  1 x  1


1
2  , encontre o conjunto solução da equação
8 - (Unicamp-2006)Sejam dados: a matriz A   x  1
x 1
1
 2 

det( A)  0 .
Solução. Aplicando Laplace na 1ª coluna, temos:
x 1 x 1 x 1
x 1 1
2  ( x  1).[4]  ( x  1)[2.( x  1)  1( x  1)]  ( x  1).[2.( x  1)  1( x  1)] 
x 1 1
2
 ( x  1).[4]  ( x  1)[2 x  2  x  1]  ( x  1)[2 x  2  x  1]  ( x  1).[4]  ( x  1)[3x  3]  ( x  1)[ x  1]
 ( x  1)[4  3x  3  x  1]  ( x  1).[4 x  8].
Como essa expressão deve ser nula, temos:
x 1 x 1 x 1
x  1
x 1 1
2  0  ( x  1).[4 x  8]  0  
4 x  8  x  2
x 1 1
2
OBS. Repare que para x = 1, a 1ª coluna seria toda nula, logo anularia o determinante. Se x = 2, a 2ª coluna
seria igual à primeira, anulando também o determinante.
 2 1 2 y 


9 – (UEL-PR) Uma matriz quadrada A é simétrica se A = AT. Assim se a matriz A   x 0 z  1 é simétrica,
4 3
2 

calcule x + y + z.
x
4
2


0
3  é a simétrica. Igualando as matrizes A e AT, temos:
Solução. A matriz A    1
 2 y z 1 2


T
x
4   1  x  x  1
 2 1 2 y   2

 
 
A  A   x 0 z  1    1 0
3   2 y  4  y  2  x  y  z  1  2  4  7
4 3
2   2 y z  1 2  

z  1  3  z  4
T
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
a) 64
b) 8
c) 0
d) -8
e) -64
RESPOSTA: D
a) 2 ou -2
b) 1 ou 3
c) -3 ou 5
d) -5 ou 3
e) 4 ou -4RESPOSTA: A
a) não se define;
b) é uma matriz de determinante nulo;
c) é a matriz identidade de ordem 3;
d) é uma matriz de uma linha e uma coluna;
e) não é matriz quadrada.RESPOSTA: B
a) duas linhas proporcionais;
b) duas colunas proporcionais;
c) elementos negativos;
d) uma fila combinação linear das outras duas filas paralelas;
e) duas filas paralelas iguais.RESPOSTA: D
a) -9
b) -6
c) 3
d) 6
e) 9
RESPOSTA: E
é igual a:
a) 7
b) 8
c) 9
d) 10
1

7) Seja a matriz A  4

8
3
5
2
0
1
8) Seja A  
0

1
2
4 
5

1
1
3
1
0
0
1
0
3
e) 11
RESPOSTA: C
1
2  . Determine os seguintes cofatores: A23, A21, e A22.
3 
1
9) Calcule o valor do det A  4
8
a) Determine: A12 e A14.
b) Calcule o valor dos cofatores A12 e A14.
c) Calcule o valor do determinante de A desenvolvendo pelos
elementos da 1ª linha.
3
5
2
1
2
3
a) Utilizando os cofatores da 2ª linha.
b) Utilizando a regra de Sarrus.
10) Resolva as equações
x
a) 5
1
3
x
3
3 2
b) 1 - 2
2 1
2
1 = 12, utilizando os cofatores da 3ª linha.
1
x
x  8 , pela Regra de Sarrus.
x
d)
b)
x
x2
x2
1
x
4
x2
1
0
 12.
11) Dadas as matrizes
5
A  0
1
- 1 - 2
1
0


4 3  e B  - 3  1
 2 - 2
8
3 
2
4 
5 
Calcule o determinante, usando a Regra de
Sarrus, de cada uma das matrizes a seguir:
a) A
b) B
c) A + B
d) A.B
12) Dadas as matrizes
5
A  0
1
- 1 - 2
1
0


4 3  e B  - 3  1
 2 - 2
8
3 
2
4 
5 
Calcule o determinante, usando a Regra de Sarrus:
a) At
b) Bt
c) (A - B)t
2 1 
4 2 
eB

 , calcule o número real x, tal que det (A – xB) = 0.
3 4
3 - 1
13) Sendo A  
2
14) Resolva a equação 1
3
x -2
x3
x 1
 3

15) Dada a Matriz M   3

0
-1
1
3
1
4  56 .
5
1 

- 1  , determine o valor do determinante da matriz M2.

3 
Resoluções dos exercícios propostos
8) a)
A 12
1
 ( 1) 0
1
1
0
3
A 14
1 3
 ( 1) 0 1
1 0
1
0
3
3
5
4
5;
1
b) A12 = -(5 – 15) = 10;
A 14
A14 = -2(3 – 1) = -4
1 3 1
1 1
 ( 1) 0 1 0 = (-1)5.(-1)4
= -2
1 3
1 0 3
5
c) A = A12 + A14 = 1.10 + 2.(-2) = 6
10) a) x1 = 2 ou x2 = 3.
b) x1 = 0 ou x2 =
1
.
4
c) x = 4
d) Não existe x real
1) Calcule os seguintes determinantes:
8
b) 
 3

- 4 8

a) 
1 - 3
2) Se a =
3 
- 7 
 - 4 6 - 9


c)  - 3 4 6 
 1 3 8


21 7
-1 - 2
2
1
,b=
ec=
, determine A = a2 + b – c2.
3 1
5
3
3 4
3) Resolva a equação
x
5
x
= -6.
x
2
4) Se A = 
3
3
, encontre o valor do determinante de A2 – 2ª.

4
b
a
5) Sendo A =  3
, calcule o valor do determinante de A e em seguida calcule o valor
3
a b 
numérico desse determinante para a = 2 e b = 3.
 4 - 1 0
6) Calcule o valor do determinante da matriz A = 5 7 6 
2 1 3
x 1 2
3
4
x 1
5 
7) Resolva a equação
x
3 1 -2
1
-2
8) Se A = (aij)3x3tal que aij = i + j, calcule det A e det At.
9) Foi realizada uma pesquisa, num bairro de determinada cidade, com um grupo de 500 crianças de
3 a12 anos de idade. Para esse grupo, em função da idade x da criança, concluiu-se que o peso
1 -1 1
médio p(x), em quilogramas, era dado pelo determinante da matriz A, em que: 3 0 - x , com
2
0 2
3
base na fórmula p(x) = det A, determine:
a) o peso médio de uma criança de 7 anos
b) a idade mais provável de uma criança cuja o peso é 30 kg.
sen x
10) Calcule o valor do determinante da matriz A= 
cos x
11) Resolva a equação
2
12) Se A = 
4
3
x -1
- cos x
.
sen x 
1
= 3.
-1
- 1
 , calcule o valor do determinante de
5 
 A2


 2 A  .
 7

13) Considere a matriz A = (aij)2x2, definida por aij = -1 + 2i + j para 1  i  2 e 1  x  2 .
Determine o determinante de A.
x 2
14) Determine o determinante da seguinte matriz 3 - 1
0 2
1
x.
1
1 2
15) Dada a matriz A = - 1 4
0 1
3
5 e a = det A, qual o valor de det (2A) em função de a?
2
16) Seja A = (aij)3x3 tal que aij = i – j. Calcule det A e det At.
 1 0 2
1 0


17) Calcule os determinantes das matrizes A =  - 1 3 4  e B = 3 - 4
 2 - 1 - 7
1 - 6
teorema de Laplace.
0
2 , usando o
- 7 
18) Resolva as equações:
a)
x x2
=0
5 7
b)
-3
5
2
20) Dada a matriz A =
1
a) det A
19) Sabendo – se a =
x
5
x
=0
x
1
3
b) - 2 3
4 -2
3
4
x 3 5
=0
1
x-1
2
6
2
eb=
, calcule o valor de 3a + b2.
4
10
1
4
, calcule:
3
b) det A2
21) Determine o valor de cada determinante:
3 2
5
0
3
0
a) 4
2
c)
1
5
2
c) 1
4
2
1
3
0
1
0
 2

22) Calcule o determinante da matriz P2, em que P é a matriz P =  2

0
1

23) Na matriz 1
1

x
2
-3
x2 

4  , calcule:
9 
a) seu determinante
b) os valores de x que anulam esse determinante
2
x x
24) Determine em IR a solução da equação: - 1 - 2 - 1 = 8 – log84.
3 1 2
-1
1
2
1

- 1 .

2 
1
3
eb= 2
2
1
1
25) Sabendo que a =
2
3
2
1
26) Determine a solução da equação:
x
2
1
1 , efetue a2 – 2b.
3
3
8
= 0.
-x
 sen x
27) Determine o determinante da matriz 
  2co x
x
28) Resolver a equação x
x
x
x
4
cos x 
.
2 sen x 
x
4 =0
4
29) Resolva as equações:
2
a) 2
3
4 1
4 x=0
1 2
2
b) 0
2
3
1
x
-2
x =2
-3
x 1
c) 3
x
3
x
2
x
1 =0
x -1