Transcript Slides Aula 8 - Professores da UFF
Aula 8: Determinantes (continuação)
Mais propriedades dos determinantes
D9:
Sejam A e B matrizes nxn e k um escalar qualquer temos que: det(
kA
)
k n
det(
A
) Exemplo: det(
kA
)
ka
11
ka
21
ka
12
ka
22
a
11
k
.
ka
21
a
12
ka
22
a
11
k
.
k
.
a
21
a
12
a
22
D10:
Sejam A, B, C matrizes nxn que diferem em uma única linha (r ésima) , suponha que nesta linha para todo j=1,...,n (
C
)
rj
(
A
)
rj
(
B
)
rj
então: det(
C
) det(
A
) det(
B
) Exemplo: (Quadro)
Mais propriedades dos determinantes
D11:
Se B é uma matriz nxn e E é uma matriz elementar nxn então: det(
EB
) det(
E
).
det(
B
) Consequência: det(
E
1
E
2 ...
E r B
) det(
E
1 ).
det(
E
2 ) det(
E r
).
det(
B
)
D12:
Uma matriz quadrada é invertível se, e somente se,
det(A)≠0.
D13:
Se A e B são matrizes quadradas de mesmo tamanho então: det(
A
.
B
) det(
A
).
det(
B
)
D14:
Se A é invertível então: det(
A
1 ) 1 det(
A
)
D15:
Se A é ortogonal (A -1 =A T ) então det(A -1 )=1 ou -1.
Determinantes, sistemas e invertibilidade
Teorema:
Se A é uma matriz nxn, então as seguintes afirmações são equivalentes: a)
b)
c) d) A é invertível.
Ax=0
só tem a solução trivial.
A forma escalonada reduzida por linhas de A é I n .
A pode ser expressa como um produto de matrizes elementares.
e) f)
g)
Ax=b
é consistente para cada vetor coluna
b
tamanho nx1.
de
Ax=b
tem exatamente uma solução para cada vetor coluna
b
nx1.
det(A)≠0.
Expansão em cofatores
Definição:
(menor de a ij ) Se A é uma matriz quadrada então o determinante menor da entrada a ij , ou simplesmente o menor de a ij é denotado por M ij e definido como o determinante da submatriz que sobra quando suprimido a i ésima linha e j-ésima coluna de A.
Exemplo:
A
1 4 7 2 5 8 3 6 9 ,
o menor de a
11
é
:
M
11 5 8 6 9 45 48 3
Definição:
(cofator) O número (-1) i+j M ij de o cofator de a ij . e denotado por C ij é chamado
Expansão em cofatores
Observe a fórmula para o determinante de ordem 3:
a a
11 21
a a
12 22
a a
13 23
a
11 .
a
22 .
a
33
a
13 .
a
22 .
a
31
a
12 .
a
23 .
a
31
a
12 .
a
21 .
a
33
a
13 .
a
21 .
a
32
a
11 .
a
23 .
a
32
a
31
a
32
a
33
a
11 (
a
22
a
33
a
11
M
11
a
23
a
12
M
12
a
32 )
a
12
a
13
M
13 (
a
21
a
33
a
11
C
11
a
12
C
12
a
13
C
13
a
23
a
31 )
a
13 (
a
21
a
32
a
22
a
31 ) (expansão em cofatores ao longo da primeira linha)
Expansão em cofatores
Teorema:
O determinante de uma matriz A (nxn) pode ser obtido pela soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) da matriz A pelos respectivos cofatores. Estas somas são denominadas expansões em cofatores de det(A).
det(
A
)
a i
1
C i
1
a i
2
C i
2 ...
(expansão em cofatores ao longo da linha i)
a in C in
det(
A
)
a
1
j C
1
j
a
2
j C
2
j
...
a nj C nj
(expansão em cofatores ao longo da coluna j) Exemplo: (Quadro)
Expansão em cofatores
Definição:
(matriz de cofatores e adjunta de A) Se A é uma matriz quadrada de ordem n e C ij é o cofator de a ij então a matriz
A
C
C
C
11 21
n
1
C C
12
C
22
n
2
C C
1
n
2
C nn n
é chamada matriz de cofatores de A. A transposta desta matriz é chamada adjunta de A e denotada por adj(A).
Exemplo: (Quadro)
Fórmula para inversa de uma matriz
Teorema:
Se A é uma matriz nxn, invertível então
A
1 1 det(
A
)
adj
(
A
) Exemplo: (Quadro)
Idéia da prova:
Mostra –se que:
A
.
adj
(
A
) det(
A
).
I
Como A é invertível, det(A)≠0. Portanto a equação pode ser reescrita como: 1 det(
A
)
A
.
adj
(
A
)
I ou
1
A
.[ det(
A
) .
adj
(
A
)]
I
Multiplicando se ambos os lados à esquerda por A-1 obtemos:
A
1 1 det(
A
)
adj
(
A
)
Regra de Cramer
Teorema: (Regra de Cramer)
Se Ax=b é um sistema de n equações lineares com n incógnitas tal que det(A)≠0, então o sistema tem uma única solução. Esta solução é:
x
1 det(
A
1 ) ,
x
2 det(
A
) det(
A
2 ) ,...,
x n
det(
A
) det(
A n
) , det(
A
) onde A j é a matriz obtida subtraindo as entradas da j-ésima coluna de A pelas entradas do vetor coluna
b.
Observação:
Quando det(A)≠0 onde A é a matriz dos coeficientes de um sistema linear, o sistema é chamado sistema de Cramer Idéia da prova + Exemplo: Quadro
Regra de Cramer
Através da Regra de Cramer podemos classificar um sistema linear quanto as suas soluções: • Se det(A)=0 e pelo menos um dos det(A i )≠0 o sistema é
imcompatível.
• Se det(A)=0 e det(A i )=0 para todo i o sistema é
compatível e indeterminado.
• Se det(A) ≠0 o sistema é
compatível e determinado.
Sistemas lineares da forma Ax= λx
Muitas aplicações da Álgebra linear envolvem sistemas de n equações lineares e n incógnitas que aparecem no formato: Ax= λx (1) onde λ é um escalar. Tais sistemas são realmente sistemas homogêneos disfarçados pois podem ser reescritos como λx-Ax=0 ou ainda ( λ I x-Ax=0 λ I -A)x=0.
(2) Uma pergunta fundamental em relação ao sistema (1) é determinar para quais valores de λ o sistema tem solução não trivial, tal valor de λ é chamado
autovalor
de A.
Se λ é um autovalor de A então cada solução não trivial de (2) é chamada
autovetor
de A associado ao autovalor λ.
Sistemas lineares da forma Ax= λx
Vimos que A é invertível ↔ Ax=0 tem somente solução trivial logo ( λ I A)x=0 tem solução não trivial ↔ (λ I A) não é invertível, ou seja, det( λ I -A)x=0 Equação característica de A
Exemplo:
Expresse o sistema linear abaixo no formato ( λ I -A)x=0 4
x
1
x
1 3
x
2 2
x
2
x
1
x
2 encontre: (i) A equação característica; (ii) os autovalores; (iii) os autovetores associados a cada autovalor