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Aula 8: Determinantes (continuação)

Mais propriedades dos determinantes

D9:

Sejam A e B matrizes nxn e k um escalar qualquer temos que: det(

kA

) 

k n

det(

A

) Exemplo: det(

kA

) 

ka

11

ka

21

ka

12

ka

22 

a

11

k

.

ka

21

a

12

ka

22 

a

11

k

.

k

.

a

21

a

12

a

22

D10:

Sejam A, B, C matrizes nxn que diferem em uma única linha (r ésima) , suponha que nesta linha para todo j=1,...,n (

C

)

rj

 (

A

)

rj

 (

B

)

rj

então: det(

C

)  det(

A

)  det(

B

) Exemplo: (Quadro)

Mais propriedades dos determinantes

D11:

Se B é uma matriz nxn e E é uma matriz elementar nxn então: det(

EB

)  det(

E

).

det(

B

) Consequência: det(

E

1

E

2 ...

E r B

)  det(

E

1 ).

det(

E

2 )  det(

E r

).

det(

B

)

D12:

Uma matriz quadrada é invertível se, e somente se,

det(A)≠0.

D13:

Se A e B são matrizes quadradas de mesmo tamanho então: det(

A

.

B

)  det(

A

).

det(

B

)

D14:

Se A é invertível então: det(

A

 1 )  1 det(

A

)

D15:

Se A é ortogonal (A -1 =A T ) então det(A -1 )=1 ou -1.

Determinantes, sistemas e invertibilidade

Teorema:

Se A é uma matriz nxn, então as seguintes afirmações são equivalentes: a)

b)

c) d) A é invertível.

Ax=0

só tem a solução trivial.

A forma escalonada reduzida por linhas de A é I n .

A pode ser expressa como um produto de matrizes elementares.

e) f)

g)

Ax=b

é consistente para cada vetor coluna

b

tamanho nx1.

de

Ax=b

tem exatamente uma solução para cada vetor coluna

b

nx1.

det(A)≠0.

Expansão em cofatores

Definição:

(menor de a ij ) Se A é uma matriz quadrada então o determinante menor da entrada a ij , ou simplesmente o menor de a ij é denotado por M ij e definido como o determinante da submatriz que sobra quando suprimido a i ésima linha e j-ésima coluna de A.

Exemplo:

A

     1 4 7 2 5 8 3   6 9   ,

o menor de a

11

é

:

M

11  5 8 6 9  45  48   3

Definição:

(cofator) O número (-1) i+j M ij de o cofator de a ij . e denotado por C ij é chamado

Expansão em cofatores

Observe a fórmula para o determinante de ordem 3:

a a

11 21

a a

12 22

a a

13 23  

a

11 .

a

22 .

a

33

a

13 .

a

22 .

a

31  

a

12 .

a

23 .

a

31

a

12 .

a

21 .

a

33  

a

13 .

a

21 .

a

32

a

11 .

a

23 .

a

32

a

31

a

32

a

33   

a

11 (

a

22

a

33

a

11

M

11  

a

23

a

12

M

12

a

32  ) 

a

12

a

13

M

13 (

a

21

a

33

a

11

C

11 

a

12

C

12 

a

13

C

13 

a

23

a

31 ) 

a

13 (

a

21

a

32 

a

22

a

31 ) (expansão em cofatores ao longo da primeira linha)

Expansão em cofatores

Teorema:

O determinante de uma matriz A (nxn) pode ser obtido pela soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) da matriz A pelos respectivos cofatores. Estas somas são denominadas expansões em cofatores de det(A).

det(

A

) 

a i

1

C i

1 

a i

2

C i

2  ...

 (expansão em cofatores ao longo da linha i)

a in C in

det(

A

) 

a

1

j C

1

j

a

2

j C

2

j

 ...

a nj C nj

(expansão em cofatores ao longo da coluna j) Exemplo: (Quadro)

Expansão em cofatores

Definição:

(matriz de cofatores e adjunta de A) Se A é uma matriz quadrada de ordem n e C ij é o cofator de a ij então a matriz

A

 

C

   

C

C

 11 21

n

1

C C

 12

C

22

n

2    

C C

 1

n

2

C nn n

      é chamada matriz de cofatores de A. A transposta desta matriz é chamada adjunta de A e denotada por adj(A).

Exemplo: (Quadro)

Fórmula para inversa de uma matriz

Teorema:

Se A é uma matriz nxn, invertível então

A

 1  1 det(

A

)

adj

(

A

) Exemplo: (Quadro)

Idéia da prova:

Mostra –se que:

A

.

adj

(

A

)  det(

A

).

I

Como A é invertível, det(A)≠0. Portanto a equação pode ser reescrita como: 1 det(

A

) 

A

.

adj

(

A

)  

I ou

1

A

.[ det(

A

) .

adj

(

A

)] 

I

Multiplicando se ambos os lados à esquerda por A-1 obtemos:

A

 1  1 det(

A

)

adj

(

A

)

Regra de Cramer

Teorema: (Regra de Cramer)

Se Ax=b é um sistema de n equações lineares com n incógnitas tal que det(A)≠0, então o sistema tem uma única solução. Esta solução é:

x

1  det(

A

1 ) ,

x

2 det(

A

)  det(

A

2 ) ,...,

x n

det(

A

)  det(

A n

) , det(

A

) onde A j é a matriz obtida subtraindo as entradas da j-ésima coluna de A pelas entradas do vetor coluna

b.

Observação:

Quando det(A)≠0 onde A é a matriz dos coeficientes de um sistema linear, o sistema é chamado sistema de Cramer Idéia da prova + Exemplo: Quadro

Regra de Cramer

Através da Regra de Cramer podemos classificar um sistema linear quanto as suas soluções: • Se det(A)=0 e pelo menos um dos det(A i )≠0 o sistema é

imcompatível.

• Se det(A)=0 e det(A i )=0 para todo i o sistema é

compatível e indeterminado.

• Se det(A) ≠0 o sistema é

compatível e determinado.

Sistemas lineares da forma Ax= λx

Muitas aplicações da Álgebra linear envolvem sistemas de n equações lineares e n incógnitas que aparecem no formato: Ax= λx (1) onde λ é um escalar. Tais sistemas são realmente sistemas homogêneos disfarçados pois podem ser reescritos como λx-Ax=0 ou ainda ( λ I x-Ax=0 λ I -A)x=0.

(2) Uma pergunta fundamental em relação ao sistema (1) é determinar para quais valores de λ o sistema tem solução não trivial, tal valor de λ é chamado

autovalor

de A.

Se λ é um autovalor de A então cada solução não trivial de (2) é chamada

autovetor

de A associado ao autovalor λ.

Sistemas lineares da forma Ax= λx

Vimos que A é invertível ↔ Ax=0 tem somente solução trivial logo ( λ I A)x=0 tem solução não trivial ↔ (λ I A) não é invertível, ou seja, det( λ I -A)x=0 Equação característica de A

Exemplo:

Expresse o sistema linear abaixo no formato ( λ I -A)x=0   4

x

1

x

1   3

x

2 2

x

2   

x

1 

x

2 encontre: (i) A equação característica; (ii) os autovalores; (iii) os autovetores associados a cada autovalor