Transcript CURS-14

RELATIVITATE
1
Galileo GALILEI (1564-1642):
Este imposibil să precizăm
care dintre două sisteme de
referinţă care se mişcă cu
viteză constantă unul faţă de
celălalt este în repaus sau
care în mişcare.
Formulare similară şi în primul
postulat al lui Einstein.
2
Isaac NEWTON (1643-1727):
Legile mecanicii clasice şi ale
gravitaţiei (1687 Principia).
3
Ernst MACH (1838-1916)
• 1883 The Science of Mechanics
• ridică problema distincţiei dintre
mişcare relativă şi mişcare
absolută.
conceptele Newtoniene de
“spaţiu” şi “timp”.
4
Pentru Newton, spaţiul şi timpul absolut, existau.
Absolute, true, and mathematical time, of itself, and
from its own nature, flows equably without relation to
anything external, and by another name is called
duration: relative, apparent, and common time, is
some sensible and external (whether accurate or
unequable) measure of duration by the means of
motion, which is commonly used instead of true time;
such as an hour, a day, a month, a year.
5
Pentru Newton, spaţiul şi timpul absolut existau.
Absolute, true, and mathematical space remains
similar and immovable without relation to anything
external. Relative spaces are measures of absolute
space defined with reference to some system of
bodies or another, and thus a relative space may, and
likely will, be in motion.
6
Mach: trebuie să ne folosim de experiment pentru a
înţelege proprietăţile naturii şi nu să ne bazăm pe
abstracţiuni ale gândirii.
Efectul criticii lui Mach a definiţiei lui Newton despre
spaţiu şi timp: mic.
Definiţia lui Newton a spaţiului şi timpului nu afectează
legile acestuia.
7
Albert Einstein (1879-1955)
Postulatele lui Einstein
Teoria relativităţii
...
8
.
“Căderea” mecanicii clasice nu va veni din cauza criticilor
lui Mach.
Probleme fundamentale apăreau în legătură cu anumite
aspecte prezise de teoria electromagnetismului elaborată
de Maxwell (1861) (ecuaţiile lui Maxwell):
În vid, undele electromagnetice se propagă cu viteza
c  3  10 m / s
8
9
.
And what ?
10
.
Care e problema?
Problema este că undele electromagnetice se propagă
în vid cu viteza
c  3  108 m / s
11
.
Singurele unde cunoscute până atunci erau undele
mecanice care se propagau în solide, lichide şi gaze.
Adică se propagau într-un anume mediu.
Undele sonore se propagă în mediu cu viteza de 330
m/s (ceva mai puţin decât viteza agitaţiei moleculare).
În metale, viteza undelor sonore este mai mare, cam
5000 m/s.
12
.
Undele electromagnetice trebuie că se propagă
printr-un mediu care pe de-o parte este foarte rigid,
pentru ca viteza de propagare să fie atât de mare,
pe de altă parte este destul de gol (lipsit de
substanţă) pentru a nu interfera, de exemplu, cu
mişcarea planetelor.
Să presupunem că mediul în care se propagă
undele electromagnetice este ETERUL.
13
.
De fapt teoria lui Maxwell nu făcea nici o referinţă la eter
însă contemporanii săi nu vroiau să accepte ideea unor
unde care se propagă în vid.
Spaţiul trebuia umplut cu ceva: cu ETER.
14
.
Am văzut în cursul precedent că viteza vs unei unde
sonore depinde de proprietăţile mediului.
Dacă observăm o undă sonoră dintr-un sistem de
coordonate care se mişcă faţă de mediu, viteza
sunetului va apărea a fi mai mare sau mai mică
decât vs, în funcţie de direcţia noastră de deplasare:
în direcţia de propagare sau în sens opus.
15
.
Analog cu acest rezultat, cunoscut, Maxwell a
precizat că viteza de rotaţie a Pământului în jurul
Soarelui (aprox 3  104 m / s ) ar trebui să schimbe
valoarea măsurată a vitezei luminii, măsurată pe
Pământ.
16
.
Să presupunem că lumina face traseul ABA
între două puncte separate de distanţa l.
17
.
Dacă presupunem că instrumentul se mişcă spre
dreapta faţă de eter (şi deci eterul se mişcă spre
stânga faţă de instrument), atunci viteza luminii
faţă de instrument va fi c - v de la A la B şi c – v
de la B la A.
Atunci timpul în care lumina parcurge distanţa AB
l
ar trebui să fie t1 
iar timpul în care lumina
c v
parcurge distanţa BA ar trebui să fie: t1 
l
.
c v
18
.
Dacă instrumentul ar fi fost în repaus, cei doi timpi
l
t

ar trebui să fie egali, şi egali cu 0
.
c
Efectul rotaţiei Pământului ar fi de o întârziere a
semnalului pe ruta ABA cu t  t1  t 2  2t 0
l
l
l l 1
1

t 

2  

 2
c v c v
c c 1 v / c 1 v / c

l
1

2 

1

2
2
c 1 v / c

l v2
t  2 2
cc
19
.
l v2
t  2 2
cc
v
Ştiind că  10 4 şi presupunând l = 1m, obţinem
c
t  7  10 17 s , un interval temporal prea mic
pentru a fi măsurat direct.
20
.
Michelson (1881):
În loc să se măsoare timpul
de tranzit a unui fascicul,
Michelson
a
observat
diferenţa dintre timpii în
care două fascicule parcurg
un traseu, după care
interferă.
21
.
Deplasarea franjelor de interferenţă ar indica o
modificare a diferenţei de fază (deci de timp)
l v2
între cele două unde care interferă: t 
c c2
l v2
(adică unda 2 ajunge mai târziu cu t 
faţă
2
cc
de unda 1).
O modificare faţă de ce?
Faţă de cazul în care eterul
nu s-ar mişca.
22
.
Oups, avem o problemă. Nu avem “zeroul”
franjelor. Nu ştim unde ar fi acestea în cazul în
care eterul nu se mişcă.
Problema a fost rezolvată tot de Michelson. O
rotire cu 90 grade a instrumentului ar da o
deplasare a franjelor în partea cealaltă (adică
unda 2 ar ajunge mai devreme, tot cu t , faţă de
unda 1). Înseamnă că diferenţa dintre cele două
poziţii trebuie să fie 2t .
23
.
Dacă  este lungimea de undă a luminii folosite, o
întârziere de  / c va deplasa figura cu o franjă. O
întârziere 2t va deplasa figura de interferenţă cu
2t
2l v 2

N franje, unde N 
.
2
 / c   c
24
.
În
primul
instrument
folosit
de
Michelson,
lungimea braţelor era de 1.2 m, adică 2  10 6
lungimi de undă ale radiaţiei galbene a sodiului
folosită
în
experiment.
N  0.04 .
Rezoluţia
experimentului ar fi fost suficient de mare pentru
ca această deplasare a franjelor să fie observată.
25
.
În 1887, un experiment mai
complex executat de Morley a
folosit reflexii multiple pentru a
creşte deplasarea dintre cele două
unde la 0.4. Chiar dacă în acest
experiment s-ar fi putut observa
deplasări de ordinul a 0.01 franje,
şi acest experiment a dat un
rezultat negativ: nici un efect nu a
fost observat. Adică nici un efect al
mişcării Pământului prin eter nu a
fost identificată.
26
.
Prietenii eterului au apărut cu o mulţime de
argumente, care încercau să explice eşecul
experimentelor:
 antrenare a eterului de mişcarea Pământului,
 comprimare a aparatului în mişcarea acestuia
în eter
 dilatare a timpului, ...
Eterul părea să fie ceva ce nu poate fi detectat
prin nici un mijloc. Şi atunci cum ştim că există?
27
.
E ca şi cum am spune că pe Lună sunt nişte oameni
mici şi verzi, cu urechi mari (nu mici), care se ascund
atunci când ne uităm la Lună.
Nu prea avem mijloace pentru verifica dacă acele
personaje există.
Despre o astfel de ipoteză am spune că este neştiinţifică.
28
.
Ipoteza despre eter era însă una ştiinţifică, însă
orice încercare de a găsi mişcarea Pământului în
eter a fost fără succes.
Înseamnă atunci că preziceri ale teoriei
electromagnetismului a lui Maxwell sunt greşite?
Deci teoria este greşită?
Sau înseamnă, simplu, că
...
?
29
.
Einstein a văzut în eşecul de a găsi eterul nu o
problemă în teoria lui Maxwell ci una în bazele
principiilor dinamicii.
30
.
Postulat: legile fizicii au aceeaşi formă în toate
sistemele de referinţă inerţiale.
Postulat: deoarece viteza luminii, c, prezisă de teoria
electromagnetismului nu implică nici o referinţă faţă
de un mediu (este viteza luminii în vid) atunci ea
trebuie să fie o constantă universală, aceeaşi pentru
toţi observatorii, indiferent de viteza sursei de lumină.
Altfel spus, pentru fiecare observator inerţial, viteza
luminii în vid este aceeaşi.
31
.
Einstein a pornit de la ideea că ambele postulate sunt
adevărate şi a căutat ce altceva trebuie modificat pentru
ca formulele-relaţiile să fie consistente.
Teoriile ştiinţifice trebuie să aibă aceste două calităţi:
1) self-consistenţă: o parte a unei teorii să nu o contrazică
pe cealaltă;
2) trebuie să aibă corespondenţă într-un experiment
(verificabilitate, testabilitate). Trebuie să explice rezultatele
experimentelor precedente şi a celor viitoare.
32
.
Expresia matematică a teoriei speciale a
relativităţii este cuprinsă în transformările
LORENTZ.
33
.
Dar să revedem transformările Galilei: cazul în
care S’ se deplasează de-a lungul axei x cu viteza
v şi a fost în origine la t  0 .
x '  x  vt
y'  y
z'  z
t'  t
Ultima ecuaţie e scrisă mai
mult pentru completitudine.
Apare din idea de timp
absolut a lui Newton.
34
.
Dacă forma unor legi (sau valoarea unor
constante, G de exemplu), ar fi diferită în cele
două sisteme, am putea emite judecăţi asupra
vitezei sistemelor de coordonate prin investigarea
legilor respective în acele sisteme.
SISTEMELE INERŢIALE NU
ECHIVALENTE, în acest caz.
AR
MAI
FI
35
.
Ce se întâmplă cu ecuaţiile pentru un semnal luminos,
din punct de vedere al transformărilor lui Galilei?
36
.
Exemplu: să presupunem că la t  0 se emite un
semnal
luminos
din
originea
sistemului
de
coordonate S, şi că acest semnal se propagă în
toate direcţiile cu viteza c.
Ecuaţia frontului de undă de-a lungul axei x este
x  ct .
37
.
Într-un sistem de referinţă S ' care se deplasează
cu viteza v de-a lungul axei x, ecuaţia frontului de
undă va fi: x '  x  vt  c  v t , unde v este viteza
relativă a celor două sisteme.
dx '
În S ' , viteza semnalului luminos, va fi:
 c v.
dt
Aceasta este în contradicţie cu postulatul că
viteza luminii este o constantă universală pentru
toţi observatorii.
38
.
Transformările LORENTZ:
Având în vedere că transformările Galilei nu
satisfăceau postulatul că viteza luminii este
constantă, Einstein a propus o variantă
alternativă de descriere a aceluiaşi eveniment
din două sisteme de referinţă diferite.
39
.
Să presupunem că x, y , z, t este sistemul de
referinţă în repaus şi că sistemul x ' , y ' , z' , t ' se
deplasează cu viteză constantă v în lungul axei x,
în sensul pozitiv al axei şi că originile celor două
sisteme de axe coincid la t  t '  0 .
x '  Ax  Bt
y'  y
z'  z
t '  Cx  Dt
40
.
x '  Ax  Bt
y'  y
z'  z
t '  Cx  Dt
Pentru a determina cele patru constante trebuie să
ştim cum apar patru tipuri/cazuri de evenimente,
observatorilor din cele două sisteme de referinţă.
41
.
x '  Ax  Bt
y'  y
z'  z
t '  Cx  Dt
1) Observatorul din S vede originea lui S '
mişcându-se de-a lungul axei x cu viteza v.
x  vt , x '  0  0  Avt  Bt adică B   Av deci
rescriem
x '  Ax  vt .
t '  Cx  Dt
42
.
x'  Ax  vt 
y'  y
z'  z
t '  Cx  Dt
2) Observatorul din S ' vede originea lui S
mişcându-se de-a lungul axei x cu viteza -v.
x  0 , x '  vt '  A0  vt   v 0  Dt   D  A şi
rescriem:
x '  Ax  vt 
t '  Cx  At
43
.
x'  Ax  vt 
y'  y
z'  z
t '  Cx  At
3) Un puls luminos emis din origine de-a lungul
axei x la t  0 e localizat în x  ct şi x '  ct ' 
Av
Act  vt   c Cct  At   C   2 şi rescriem:
c
x '  Ax  vt 
 v

t '  A  2 x  t 
 c

44
.
 v

t '  A  2 x  t 
 c

4. Un puls luminos emis de-a lungul axei y în S la
x'  Ax  vt 
y'  y
z'  z
t  0 , are în S ' componente de-a lungul lui x ' şi y ' .
Viteza pulsului însă este aceeaşi, c, în ambele
sisteme.
y  ct ;
x  0,
A 2 0  vt 
2
A
v

2 2
2 2
 c t  c A  2 0  t 
 c

1
1 v / c
2
x'2  y '2  c 2t '2
2

2

.
45
.
Transformările lui Lorentz.
x' 
x  vt 
1 v 2 / c2
y'  y
z'  z
 vx 
t' 
t  2 
2
2
1 v / c  c 
1
46
.
Relaţiile inverse:
x
x 'vt '
1 v 2 / c2
y'  y
z'  z
 vx ' 
t
 t ' 2 
2
2
1 v / c  c 
1
47
.
Pentru a evita lupta cu paradoxurile (de obicei
greşeli simple de aplicare a transformărilor
Lorentz) trebuie înţeles foarte clar că aceste
transformări
leagă
coordonatele
unui
eveniment dintr-un sistem de coordonate
inerţial cu coordonatele aceluiaşi eveniment
dintr-un al doilea sistem de coordonate
inerţial.
48
.
Exemple de evenimente simple:
o un puls luminos este pornit în x  3 m, y  7 m,
z  4 m la t  5 s.
o Originea lui S ' trece prin originea lui S la
momentul t.
o Capătul unui liniar se află în punctul x ' , y ' , z' la
momentul t ' .
Evenimentele simple sunt caracterizate de un set
de valori x, y , z, t .
49
.
Evenimente mai complicate pot fi descrise ca şi
colecţii de evenimente simple.
Să presupunem de exemplu un băţ situat de-a
lungul axei x. Poziţia băţului este definită de două
evenimente simple: coordonatele celor două
capete, la un moment dat.
50
.
Simultaneitate şi ordine a evenimentelor.
Un conductor se află la mijlocul unui tren de
lungime 2L. Cu lanterna sa, emite un puls
luminos, care se transmite în toate direcţiile.
Lumina ajunge la capetele trenului după un
interval de timp L / c . În acest sistem de referinţă,
lumina ajunge simultan în capetele A (stânga) şi B
(dreapta) ale trenului.
51
.
Să analizăm problema dintr-un sistem de referinţă care
se deplasează spre dreapta cu viteza v. În acest
sistem de referinţă, trenul se mişcă spre stânga cu
viteza v.
Şi în acest sistem de referinţă viteza luminii este
aceeaşi, c, însă cele două evenimente nu vor fi
simultane în acest sistem de referinţă.
Lumina va ajunge mai rapid la capătul B al trenului şi
mai târziu la capătul A (evenimentul din B îl precede pe
cel din A).
52
.
Cum aflăm timpul în care ajung pulsurile de
lumină în capetele A şi B ale trenului?
Pentru sistemul trenului, în repaus, problema e
simplă:
x1  L
A:
,
L
t1   T
c
x2  L
B:
L
t2   T
c
53
.
Pentru sistemul de referinţă în mişcare vom avea:
1
vL 

t '1 
T


2 
2
2
c 
1 v / c 
1
vT 


T 

2
2
c 
1 v / c 
1 v / c
T
1 v / c
1 v /c
şi analog pentru t ' 2  T
.
1 v /c
Pulsul luminos ajunge mai rapid în punctul B
(evenimentul 2).
54
.
SIMULTANEITATEA EVENIMENTELOR DEPINDE DE
ALEGEREA SISTEMULUI DE COORDONATE.
Exemplu:
Să presupunem că două evenimente A şi B au
coordonatele x A , t A şi x B , t B (y = 0 pentru ambele
evenimente).
Distanţa spaţială şi intervalul temporal dintre cele
două evenimente sunt L  x B  x A şi
T  tB  t A
(presupunem pozitive).
55
.
Pentru a afla coordonatele evenimentelor într-un
sistem de coordonate S ' vom scrie:
vx A 

x ' A   x A  vt A , t ' A   t A  2 
c 

vx B 

şi x ' B   x B  vt B , t ' B   t B  2 
c 

şi putem calcula:
L'  x ' B  x ' A , L'    x B  x A  v t B  t A    L  vT 
vL 

T '   T  2  .
c 

56
.



L'   L  vT , T '  T

vL 
 2
c 
Ştiind că v  c , atunci dacă L  cT , L' este
întotdeauna pozitiv, în timp ce T ' poate fi
pozitiv, negativ sau zero.
În acest caz, deci, putem alege un sistem în
care cele două evenimente sunt simultane,
Tc 2
sistemul pentru care v 
.
L
57
.
vL 

L'   L  vT , T '  T  2 
c 

Pe de altă parte, dacă L  cT , T ' este tot timpul
pozitiv iar L' poate fi pozitiv, negativ sau zero.
În acest caz putem găsi un sistem de coordonate
în care evenimentele au loc în acelaşi punct.
58
.
Contracţia lungimilor.
Să presupunem că un băţ, aflat în repaus în S ' ,
stă de-a lungul axei x cu capetele sale în x' A şi x' B
.
Notăm cu l 0  x ' B  x ' A , lungimea proprie a băţului,
adică lungimea măsurată în SR în care băţul este
în repaus.
Care va fi lungimea băţului în S?
59
.
x ' B   x B  vt  şi x ' A   x A  vt  rezultând:
l0
v2
l   l 0 1  2 , adică lungimea băţului în

c
mişcare este mai mică decât lungimea acestuia în
repaus = contracţia lungimilor.
Lungimile în mişcare sunt mai mici decât lungimile
în repaus. Contracţia lungimilor are loc doar pe
direcţia de mişcare (x).
60
.
Dilatarea timpului.
Să presupunem că în S ' avem două evenimente A
şi B, ambele având loc în acelaşi x ' 0 : x ' 0 , t ' A şi
x'0 , t 'B .
  t ' B t ' A este intervalul de timp dintre cele două
evenimente.
61
.
În S, intervalul de timp se calculează folosind:
 vx ' 
t   t ' 2  , adică:
 c 
vx ' 0 
vx ' 0 


t A   t ' A  2  , t B   t ' B  2  rezultând
c 
c 


Τ  t B  t A   

.
2
2
1 v / c
Intervalul de timp măsurat în S este mai
mare decât cel măsurat în S ' .
62
.
Veţi mai găsi în cărţi că experimentul experimentul
Michelson-Morley este “crucial” care a “condamnat”
mecanica clasică este.
Se pare că este greşit. Albert Michelson, cel care a
conceput şi realizat experimentul:
• a vrut să dovedească, nu să infirme, existenţa
eterului.
• l-a considerat un eşec, pentru că nu a dat
rezultatul aşteptat. L-a repetat de mai multe ori,
confirmând inexistenţa vreunui efect.
63