Transcript 8-Mavzu: Hisoblash tizimlarini analitik modellashtirish

1.
2.
3.
4.
Reja:
Talablar (ariza) oqimi. Oddiy oqim.
Puasson oqimi.
Markov modellari
Ko'payish va xalok bo'lish modeli
Talablar oqimi.Oddiy oqim
Ta'rif 1. Tizim uchun talablar oqimi oddiy deyiladi, agar u quyidagi
xossalarga ega bo'lsa: 1) statsionar; 2) erkli (oqibatni yo'qligi); 3)
ordinar.
Ta'rif 2. Tizimga kelib tushayotgan oqim statsionar deyiladi, agar
aniq bir vaqt oralig'ida, oraliq vaqt o'qining qaysi qismida
joylashganligidan qat'iy nazar, kelib tushayotgan oqimlar
miqdorining extimolligi o'zgarmas bo'lsa.
Ta'rif 3. Oqim erkli deyiladi, agar kelib tushgan talab (ariza)lar
tizimga keluvchi navbatdagi talablarga ta'sir ko'rsatmasa. Demak,
talablar tizimga bir-biriga bog'liq bo'lmagan holda, ya'ni erkli
ravishda kelib tushadi.
Ta'rif 4. Oqim ordinar deyiladi, agar vaqtning har bir onida
(momentida) tizimga kelib tushuvchi talablar soni bittadan ortiq
bo'lmasa.
Oddiy oqimda tizimga ketma-ket tushuvchi ikkita talablar
orasidagi τ vaqt oralig'i bog'liq bo'lmagan (erkli) tasodifiy
miqdorlar bo'lib, ularning taqsimot funksiyasi :
F 
1
e
 
Uning zichlik funksiyasi:
f 
   e  
oraliq (interval) uzunligi matematik kutilmasi esa:
M [ ] 
dispersiya:

D [ ] 

0  f ( )d 
 (  M [  ])
2
 1/ ,
f ( ) d  1 / 
2
0
o'rtachakvadratik og'ish matematik kutilmaga teng bo'ladi.
Oddiy talablar oqimi qo'yidagicha o'ziga xoslikllarga ega:
Puasson oqimi
Ta'rif 4. Agar talablar oqimi ordinar, erkli va tizimga vaqt
oralig'ida kelib tushuvchi talablar soni Puasson qonuni bo'yicha
taqsimlansa, u holda bunday oqimga Puasson oqimi deyiladi.
Puasson taqsimoti:
P (k ,  ) 
(  )
k
e
 
,   0,
k!
bu yerda Р (k, τ) - τ vaqt oralig'ida tizimga roppa-rosa k ta talab
kelib tushishi extimolligi;  - talablar oqimi intensivligi.
Puasson taqsimoti matematik kutilmasi va dispersiyasi τ ga
teng.
Ushbu taqsimotning bog'liqlik ko'rinishi turli hil  va   1
Ta'rif 5. Agar intensivligi    (t ) (ya'ni, vaqtning funksiyasi)
ko'rinishidagi nostatsionar oqim Puasson qonuni bo'yicha
taqsimlangan bo'lsa, u holda bunday oqimga oddiy bo'lmagan
Puasson oqimi deyiladi.
Eslatma:
Puasson taqsimotida tizimga keluvchi ikkita
ketma-ket talab orasidagi oraliq (interval)
uzunligi eksponensial taqsimotga ega bo'lgan
tasodifiy miqdor bo'ladi.
Erlang oqimi
Izoh
Agar oraliqlar erkli bo'lsa, u holda talablar rekurrent
yoki oqibati chegaralangan (chekli) oqimni tashkil
qiladi deyiladi.
Ta'rif 6. Agar oqim statsionar, ordinar va talablar orasidagi vaqt oralig'i
bir hil ixtiyoriy taqsimlangan erkli tasodifiy miqdorlar bo'lsa, u holda
bunday oqimga rekurrent (Palma oqimi) oqim deyiladi.
Rekurrent oqmga misol (Erlang oqimi)
Ta'rif 7. Berilgan oqim k- chi tartibli Erlang oqimi deyiladi, agar
ketma-ket keluvchi talablar orasidagi vaqt oralig'ini  parametrli
eksponensial taqsimlangan k ta erkli tasodifiy miqdorlarning
yig'indisi ko'rinishida ifodalash mumkin bo'lsa.
k- chi tartibli Erlang oqimining taqsimot zichligi:
f ( ) 
 (  )
 k 1
( k  1)!
e   , k  1, 2 ,...
Izoh
k=1 da Erlang oqimi oddiy oqimga aylanadi. Yuqorida
keltirib o'tilgan oqimlar ommaviy xizmat ko'rsatish
nazariyasida, shu jumladan, xisoblash tizimlarini
analitik modellashtirishda eng ko'p qo'llaniladi.
Markov modellari
Ta'rif 8. Tizimda sodir bo'layotgan (ro'y berayotgan) tasodifiy jarayonga
markov jarayoni deyiladi, agar tizimning navbatdagi holati faqatgina
o'zidan bitta oldingi holatga bog'liq bo'lsa, ya'ni joriy holatga.
Izoh
Markov jarayonida tizimning navbatdagi holati uchun
joriy holatga qachon va qanday kelganligi ahamiyatga ega
emas.
Ta'rif 9. Jarayon diskret holatli deyiladi, agar tizimning mumkin bo'lgan
holatlarni oldindan sanab o'tish imkoni bo'lsa, ya'ni tizim holati chekli
to'plam, va tizimning bir holatdan boshqa holatga o'tishi lahzada ro'y
bersa.
Ta'rif 10. Jarayon vaqtga nisbatan uzluksiz deyiladi, agar tizim holati
vaqtning ixtiyoriy tasodifiy onida o'zgarishi mumkin bo'lsa.
Holat grafiga misol
Markov
modeli
tasnifi
tizim holati tushunchasini;
 tizim bo'lishi mumkin bo'lgan barcha holatlar;
boshlang'ich vaqtda tizim qanday holatda ekanligi;
holatlar grafi
grafni belgilash, ya'ni tizimni har bir holatdan
holatga o'tish uchun xodisalar oqimi intensivligi ni
ko'rsatish zarur, ya’ni
p ij ( t , t   t )
 ij ( t )  lim
t
t  0
Izoh
Statsionar markov jarayonlari uchun o'tishlar intensivligi
vaqtga bog'liq bo'lmaydi, u holda p ij t , t   t   p ij   t 
bo’ladi.
Holat extimolliklari uchun Kolmogorov
tenglamasi
Tizimni t vaqtda i-chi holatda bo'lish extimolligini aniqlash
uchun Kolmogorov tenglamasining umumiy ko'rinishi:
dp i ( t )
dt
Izoh
n


j 1
ji
p j ( t )  ji  p i ( t )
n
  ij , i  1,..., n .
j 1
ji
Barcha holatlar e'tiborga olingan bo'lib, agar holatlar
orasida bevosita o'tishlar yo'q bo'lsa, u holda  ij   ji 
deb hisoblash mumkin.
0
Holatning limit (yakuniy) extimolliklari
Tasdiq. Agar tizim holatlari soni chekli va har bir holatdan boshqa bir
ixtiyoriy holatga chekli sondagi qadamlarda o'tish mumkin bo'lsa, u
holda holatning limit extimolligi mavjud bo'ladi:
lim
t
p i ( t )  p i , i  1,..., n .
Izoh. t→ da tizimda statsionar rejim o'rnatiladi. Buning natijasida
tizim o'z holatlarini tasodifiy ravishda o'zgartiradi, lekin ularning
extimollik tavsiflari vaqtga bog'liq bo'lmaydi. holat limit extimolligini
tizimni mazkur holatda bo'lishini o'rtacha nisbiy vaqti sifatida talqin
qilish mumkin.
Eslatma. Limit extimolliklarni hisoblash uchun Kolmogorov
tenglamalarining (10) chap tomonlarini barchasini nolga tenglab olib,
hosil bo'lgan chiziqli algebraik tenglamalar tizimini yechish lozim.:
n
pi
 i j
j 1
ji
n


j 1
ji
p j  ji , i  1,..., n .
Ko'payish va xalok bo'lish modeli
Izoh. Ko'payish va xalok bo'lish modelining o'ziga xos tavsifi shundan
iboratki, holat grafi zanjir ko'rinishiga ega bo'lib, o'rtadagi barcha
holatlar qo'shni holatlar bilan to'g'ri va teskari strelkalar orqali
bog'langan, chetkisi esa faqatgina bitta qo'shni holat bilan bog'langan.
Ko'payish va xalok bo'lish modeli uchun holat extimolliklari:
 k 1, k ...  12  01
pk 
 k , k 1 ...  21  10
p0 ;
 n 1, n ...  12  01 1
p 0  (1 

 ... 
)
 10
 21  10
 n , n 1 ...  21  10
 01
12  01
8-mavzu bo’yicha nazorat savollari
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Oddiy oqim va uning xosalari.
Eksponensial taqsimotning asosiy tavsiflari.
Puasson oqimi.
Erlang oqimi.
Palma oqimi.
Qanday jarayonga markov jarayoni deyiladi?
Markov modeli tasnifi?
Kolmogorov tenglamasi nimaga ishlatiladi?
Ko'payish va xalok bo'lish modeli xolati grafi va asosiy
formulalar.