Transcript ლექცია 12 - nikoloz ostapenko

ნიკოლოზ ოსტაპენკო
არასტაციონალური დროითი მწკრივები
ARMA ტიპის მოდელი მთლიანად ახასითებს სტაციონალურ
პროცესებს. არასტაციონალურ მწკრივებში მდგომარეობა
განსხვავებულია და ჩვენ ფაქტობრივად განვიხილავთ
მხოლოდ
არასტაციონალური
მწკრივების
კერძო
შემთხვევებს.
უმატრივესი არასტაციონალური პროცესი აღინიშნება
შემდეგ ნაირად I(d). სადაც d სხვაობის რიგია. მაგალითად
I(1) პროცესი წარმოადგენს მწკრივის პირველი რიგის
მიმდევრობითი სხვაობის პროცესს (ΔYt=Yt-Yt-1).
არასტაციონალური დროითი მწკრივები
წმინდა ინტეგრირებული პროცესი (I) (შემთხვევითი ხეტიალი) (pure integrated (I)
process) – პროცეს ახსოვს სად იმყოფება, მაგრამ არ ახსოვს როგორ მოხვდა ის აქ და
მოძრაობას შემთხვევითი ტრაექტორიით.
y t    y t 1   t
ავტორეგრესიული ინტეგრირებული მცურავი საშუალოს პროცესი (ARIMA
პროცესი) – პროცესს ახსოვს სად იმყოფება, ახსოვს როგორ მოხვდა ის აქ ამასთან
ახსოვს ხმაურის კომპონენტის ნაწილის.
y t  y t 1     ( y t 1  y t  2 )   t   t 1
პროცესი დეტერმინირებული პოლინომიალური ტრენდით – თუ ტრენდი წრფივია
მაშინ სტაციონალურობამდე მწკრივის
შეიძლება მივიყვანოთ პირველი
სხვაობითაც. თუ პოლინომიალურია მაშინ რამოდენიმე სხვაობის საშუალებით.
თუ მწკრივის დაყვანა სტაციონალურობამდე შესაძლებელია პირველი სხვაობის
გამოყენების საშუალებით, მაშინ ამ მწკრივის დაყვანა სტაციონალურობამდე
შესაძლებელია წრფივი ტრენდის გამოყოფით
t 1
yt  t    t j
y    
t
t
შემთხვევითი ხეტიალი
j0
წრფივი ტრენდით დეტერმინირებული
პირველ შემთხვევაში შემთხვევითი ნაწილი
ხოლო მეორე შემთხვევაში წინა შოკების ჯამია
ეს მიმიდინარე შოკია,
არასტაციონალური დროითი მწკრივები
რა მოხდება თუ პროცესი შემთხვევითი ხეტიალია და ჩვენ ვაგებთ წრფივ
ტრენდს? (ჩვენ ამ კითხვას მოგვიანებით დავუბრუნდებით)
განასხვავებენ ორი ტიპის არასტაციონალურ პროცესს:
1. ტრენდის გამოყოფით მწკრივის სტაციონალურობამდე დაყვანა – TSP (trend
stationary process). ეს არის პროცესი y t     t   t
რომელიც სტაციონალური
ხდება ტრენდის ჩართვით ანუ პროცესი დეტერმინირებული ტრენდით (TS).
2. პროცესი რომელიც სტაციონალურობამდე დაიყვანება პირველი სხვაობის
გამოყენებით – DSP (diferecing stationary process). ეს არის პროცესი y t  y t 1   t .
შემოკლებით ასეთი პროცესი აღინიშნება (DS).
TSP პროცესი
DSP პროცესი
არასტაციონალურია სტოქასტიკური (არა არასტაციონალურია სტოქასტიკური (არა
მუდმივი) ტრენდის გამო
მუდმივი) დისპერსიის გამო
შოკების მიმართ ზღვრული მეხსიერება. მას შოკები ახსოვს. ეს არის
ავიწყდება შეცდომა წინა ბიჯზე. თუ თეთრი უსასრულო მეხსიერებით
ხმაურის ნაცვლად გვაქვს რაიმე პროცესი
ARMA(p,q) მაშინ შოკოები გარკვეული
დროის მანძილზე ზეგავლენას ახდენს,
მაგრამ მათი გავლენა კლებულობს დროთა
განმავლობაში.
პროცესი
არასტაციონალური დროითი მწკრივები
რა მოხდება თუ პროცესი DSP–ია და ჩვენ გამოვყოფთ ტრენდს,
როგორც TSP პროცესში?
1984 წელს ნელსონის და კინგის ნაშრომში იქნა შესწავლილი ეს
გარემოება სადაც მათ დაასკვნეს, რომ თუ ორივე ცვლადს აქვს
მნიშვნელოვანი ტრენდი მაშინ ისინი ორივე დამოკიდებულია t-ზე.
რეგრესიული ანალიზი აჩვენებს რომ პროცესები ერთმანეთზე
დამოკიდებულია. ეს კი იმას ნიშვნავს, რომ თუ პროცესები რომლებს
შორისაც ჩვენ ვიკვლევთ კავშირს მიეკუთვნებიან DS პროცესს, მაშინ მათ
შორის რეგრესია იქნება “მოჩვენებითი” (spurious refression). აქედან
გამომდინარე ზოგიერთი კავშრი წარმოადგენს “მოჩვენებითს”.
1982 წლის გამოკვლევაში ნელსონმა და პლოსერმა აჩვენეს, რომ აშშ–ს
ყველა მაკროეკონომიკური მაჩვენებელი წარმოადგენდა DS პროცესის
(უმუშევრობის გამოკლებით) ტიპის შემთხვევით სიდიდეს ანუ
შემთხვევით ხეტიალის ტიპის პროცესს.
აქედან გამომდინარე დიდი მნიშვნელობა აქვს ამ ორი პროცესის
გამოჯვნას
არასტაციონალური დროითი მწკრივები
“მოჩვენებითი” რეგრესიის ნიშნები, მაგალითად:
 თავისუფალი წევრის გერეშე შემთხვევითი ხეტიალის პროცესისათვის
ტრენდული
მოდელის
აგებისას
დეტერმინაციის
კოეფიციენტი
მნიშვნელოვანია
და
ის
დამოუკიდებელია
დაკვირვენების
რაოდენობისაგან.
 თავისუფალი წევრით შემთხვევითი ხეტიალის პროცესისათვის
ტრენდული მოდელის აგებისას დაკვირვებების რაოდენობის ზრდისას
დეტერმინაციის კოეფიციენტი ერთს უახლოვდება
 შემთხვევითი წევრის დისტერსიები რეალურთან შედარებით
შემცირებულია
და
ისინი
კორელაციაში
არიან
კორელაციის
კოეფიციენტთან დაახლოებით შემდეგი სიდიდით ρ=1-10/T.
 t –სტატისტიკა ამ შემთხვევაში არ გამოდგება კოეფიციენტების
შესაფასებლად რადგან ის გადაადგილებულია წრფივი ტრენდის მხარეს.
თუ TS პროცესის შემთხევაში რომლის არსებობს გამოკვეთილი
ტრენდი რომლის ირგვლივადაც განიცდის შემთხვევით წევრი რყევებს DS
პროცესის შემტხვევაში ასეთი ტრენდი არ არსებობს ან უმნიშვნელოა
არასტაციონალური დროითი მწკრივები
 “ერთეულოვანი ფესვის” შესახებ ჰიპოთეზეს შემოწმების დროს ხდება
იმის უარყფა წარმოადგენს თუ არა მწკრივი TS პროცესს. “ერთეულოვენი
ფესვის” გამოკვლევის სქემის მიხედვით გადავდივართ მიმდევრობითი
სხვაობის
პროცესზე
(Δyt=yt-Yt-1).
რომლის
სტაციონალურობის
შემთხვევაშიც – ვიღებთ ჰიპოთეზას იმის შესახებ რომ Δyt მწკრივი
წარმოადგენს TS პროცეს, ხოლო yt წარმოადგენს DS პროცესს.
 ამ შემთხვევაში yt არის პირველი რიგის ინტეგრირებული მწკრივი I(1).
 თუ Δyt მწკრივი არ წარმოადგენს TS პროცეს,მაშნ ვაგრძელებთ დროითი
მწკრივის მეორე სხვაობის კვლევას, ანუ ვიკვლევთ არის თუ არა პტოცესი
I(2).
 როგორც წესი ორზე მეტი რიგის ინტეგრირებული მწკრივები არ
განიხილება, რადგან წარმოიქმნება ზედმეტად მაღალი რიგის სხვაობების
აღები პრობლემა, რახც შეიძლება იყოს გამოწვეული “ერთეულოვენი
ფესვის” არაკორექტული გამოყენებით ან მისი შედეგების არასწორი
ინტერპრეტაციით, აგრეთვე იმით რომ საწყის დროით მწკრივში შესაძლოა
ადგილი ქონდეს არაწრფივ დროთ ტრენდს და მონაცემთა სხვა
თავისებურებებს. მწკრივებს რომლებსაც გააჩნიათ ერთი რიგის
ინტეგრირებულობის ხარისხი ეწოდებათ კოინტეგრირებულები.
“ერთეულობანი ფესვის” ტესტები
ყველაზე გავრცელებული და ხშირად გამოყენებადი
“ერთეულოვანი ფესვის” ტესტებია:
DF - დიკი–ფულერის ტესტი (Dickey-Fuller test)
ADF - გაფართოვებული დიკი–ფილერის ტესტი
(augmented Dickey-Fuller test)
PP - ფილიპს–პერონის ტესტი (Phillips-Perron test)
KPSS - კვიატკოვსკი–ფილიფს–შმიდტის–შინის ტესტი
(Kwiatkowski-Phillips- Schmidt-Shin test)
“ერთეულობანი ფესვის” ტესტები
“ერთეულოვანი ფესვის” ტესტირების ზოგადი სქემა:
y t     y t 1   t   t
   y    (   1) y   t  
t
t
 t 1
 

  1 

DS  
TS    1 

H  0
  0
  0
დიკი–ფულერის ტესტი– ტესტში გამოიყენება სამი ტიპის მოდელი:
 y t   y t 1   t
 y t     y t 1   t
 y t     y t 1   t   t
H0 :  0
მაშინ ადგილი აქვს ერთეულოვანი ფასვის მოდელს და მწკრივი
არასტაციონალურია
გაფართოვებული დიკი–ფილერის ტესტი – წარმოადგენს დიკი–ფილერის
ტესტის გაფართოვებულ ვერსიას და გამოიყენება, როცა ვუშვებთ მოდელში
ნარჩენობითი წევრის ავტოკორელაციი არსებობას. ამ შემთხვევაში მოდელშ
შეგვაქვს მწკრივის ლაგური მნიშვნელობები. ლაგები ემპირიული გზით
m
ფასდება:
 y t     y t 1   t   i  y t  i   t
i 1
“ერთეულობანი ფესვის” ტესტები
  კოეფიციენტის სტატისტიკური მნიშვნელოვნების შესაფასებლად t- სტატი–სტიკის
ნაცვლად გამოიყენება τ-სტატისტიკა (მაკოინის კრიტიკული წერტილებისათვის
5%,10% მნიშვნელოვენბის დონისათვის). კრიტიკული მხარე მარცხენა მხრიანია
დროითი მწკრივი არასტაციონალურია
დროითი მწკრივი სტაციონალურია
1%,
“ერთეულობანი ფესვის” ტესტები
პილიფს–პერონის ტესტი– ტესტში გამოიყენება სამი ტიპის მოდელი:
 y t     y t 1   t   t
H 0 :   0 მაშინ ადგილი აქვს ერთეულოვანი ფასვის მოდელს და მწკრივი
არასტაციონალურია
დიკი–ფულერის ტესტისგან განსხვავებით ნარჩენობითი წევრი შეიძლება
იყოს ავტოკორელირებული, ჰქონდეს განსხვავებული დისპერსიები და არ
ქონდეთ ნორმალური განაწილება, რაც აღნიშნული ტესტის გამოყენებას
შესაძლებელს ხდის უფრო ფართო
დროითი მწკრივების ტიპებისათვის.
მაგალითად ტესტის გამოყენება მიზანშეწონილია გამოკვეთილი ტეზონურობის
და სტრუქტურული ცვლილებების დროს.
კვიატკოვსკი–ფილიფს–შმიდტის–შინის ტესტი – ტესტის ფარგლებში
ვიკვლევთ დეტერმინირებული ან სტოქასტიკური ტესტის არსებობას ანუ
თავისუფალი წევრის და ტრენდის არსებობას.
მწკრივი=დეტერმინირენად ტრენს+სტოქასტიკური ტრენდი+სტაციონალური შეცდომა
yt   t   t   t
H 0 :  t  const მაშინ მწკრივი სტაციონალურია
“ერთეულობანი ფესვის” ტესტები
დროითი
მწკრივის
სტაციონალურობის
“ერთეულოვანი ფესვის”ტესტების გამოყენებით:
შემოწმების
ალგორითმი
პირველი ბიჯი – ფასდება სტატისტიკური მოდელი, რომელშიც ვუშვებთ
ტრენდის და კონსტატნტის არსებობას. თუ ნულოვანი ჰიპოთეზა უარყოფილია
მაშინ მოდელში არსებობს ტრანდი და კონსტანტა წინააღმდეგ შემთხვევაში
გადავდივართ შემდეგ ბიჯზე.
მეორე ბიჯი – ფასდება სტატისტიკური მოდელი, რომელშიც ვუშვებთ
კონსტატნტის არსებობას. თუ ნულოვანი ჰიპოთეზა უარყოფილია მაშინ
მოდელში არსებობს კონსტანტა წინააღმდეგ შემთხვევაში გადავდივართ შემდეგ
ბიჯზე.
მესამე ბიჯი – ფასდება სტატისტიკური მოდელი კონსტატნტის და ტრენდის
გარეშე. თუ ნულოვანი ჰიპოთეზა არ არის უარყოფილი მაშინ მწკრივი
არასტაციონალურია.
“ერთეულობანი ფესვის” ტესტები
პირველი ბიჯი
ADF>ADFkrt
ჰიპოთეზა არ არის უარყოფილი –>
“ერთეულობანი ფესვის” ტესტები
მეორე ბიჯი
ADF>ADFkrt
ჰიპოთეზა არ არის უარყოფილი –>
“ერთეულობანი ფესვის” ტესტები
მესამე ბიჯი
ADF>ADFkrt
ჰიპოთეზა არ არის უარყოფილი –> მწკრივი არ არის სტაციონალური
TS და DS პროცესების გამიჯვნა
დროითი მწკრივის შესწავლის დროს უნდა გაიმიჯნოს ორი
პროცესი TS და DS, ამისათვის გიკვლევთ ჰიპოთეზებს მათ
შესახებ:
H0:TS –არ არის უარყოფილი
H0:DS–არ არის
უარყოფილი
H0:DS–უარყოფილია
H0:TS –უარყოფილია
შეუძლებელია განსაზღვრა
DS –პროცესი
TS–პროცესი
არც ერთი პროცესი არ
არის
TS და DS პროცესების გამიჯვნა
მაგალითად:
ADF-ტესტი
მწკრივი
KPSS-ტესტი
შედეგი
სპეციფიკაცია
ADF
კრიტ.
სპეციფიკაცია
KPSS
კრიტ.
X1
None, 0
2.687
-1.949
Trend
0.197
0.146
2 – I(1)
ΔX1
None,3
-0.881
-1.95
Const
0.387
0.463
1
X2
Const,2
-4.465
-2.941
Const
0.312
0.463
3-I(0)
X3
None,0
2.767
-1.949
Trend
0.197
0.146
2 – I(1)
ΔX3
None,2
-3.509
-1.95
Trend
0.259
0.146
4
შედეგების განაწილება
H0:TS –არ არის უარყოფილი
H0:TS –უარყოფილია
H0:DS–არ არის
უარყოფილი
1
ADF>krt, KPSS<krt
2
ADF>krt, KPSS>krt
H0:DS–უარყოფილია
3
ADF<krt, KPSS<krt
4
ADF<krt, KPSS>krt
“ერთეულობანი ფესვის” ტესტები
მწკრივებს რომლებსაც გააჩნიათ ერთი რიგის ინტეგრირებულობის ხარისხი
ეწოდებათ კოინტეგრირებულები.
მაგალითად თუ X და Y აღიწერწბა I(1) და ΔX და
პროცესებით მაშინ ეს მწკრიცები კოინტეგრირებულია:
ΔY აღიწერწბა I(0)
y t   171 . 4  0 . 96 x t
t 
(  7 . 48 )
( 119 . 8 )
R  0 . 99 , DW  0 . 53 Test
2
White
( probabilit y )  0 . 078
გრეინჯერ–ნიუბოლდის წესის თანახმად თუ მოდელში
უნდა ვივარაუდოთ მოდელში “მოჩვენებითი” რეგრესიის არსებობა.
, მაშინ
ამ კონკრეტულ შემთხვევაში მოდელის სტატისტიკები ნორმალურია.
ვინაიდან უფრო მნიშვნელოვანია დროთ მწკრივებს შორის კოინტეგრაციის
არსებობა, საჭიროა დროითი მწკრივების გადამოწმება სტაციონალურობაზე და
მათი ინტეგრირებულობის რიგის შემოწმება.