Transcript ლექცია 7 - nikoloz ostapenko

ნიკოლოზ ოსტაპენკო
ჰეტეროსკედასტურობის განსაზღვრება
ჰეტეროსკედასტურობა
–
დაკვირვებების
არაერთგვაროვნება.
ჰეტეროსკედასტურობის
დროს არ სრულდება გაუს–მარკოვის მე-4–ე
პირობა:
D( )    const
2
.
ჰეტეროსკედასტურობისგრაფიკული
ილუსტრაცია
მოდელებიჰეტერესკედასტურობით
2

დისპერსიის  ცვალებადობის მიზეზი არის ის რომ
ეკონომიკური
მოდელებში
ხშირად
მოდელში
შემავალი ცვლადების მასშტაბზე დამოკიდებულებას
ვაწყდებით.
მოდელში შეცდომის მნიშვნელობა წარმოადგენს
ადიტიურ წევრს. ამიტომა მას გააჩნია ფარდობითი
ხასითი და იცვლება განსახილველ ფაქტორებთან
შეფარდებით.
მოდელებიჰეტერესკედასტურობით
y
x
მოდელებიჰეტერესკედასტურობით
მაგალითები:
ა)
ბ)
გ)
ა) დისპერსია 2 იზრდება ამხსნელი ცვლადის X–ის ზრდასთან
ერთად
б) დისპერსია 2 –ს მაქსიმალურ მნიშვნელობებს იძენს X,–ის
საშუალო მნიშვნელობებთან, ხოლო უკიდურეს მნიშვნელობებთან
მიახლოების დროს იკლებს
в)
შეცდომის
დისპერსია
მაღალია
X–ის
მნიშვნელობებისათის,
სწრაფად
მცირდება
და
ერთგვაროვანი X–ის ზრდასთან ერთად
მცირე
ხდება
სივრცითიმონაცემები
ჰეტეროსკედასტურობა
უფრო
ხშირად
გვხვდება
სივრცით
მანაცემებზე
დაყრდნობით
აგებულ
მოდელებში, უმცა ზოგ შემთხვევაში გვხვდება დროით
მწკრივებშიც
ტიპიური «დაავადება»:
სივრცითი მონაცემები – ჰეტეროსკედასტურობა
დროითი მწკრივები – ავტოკორელაცია
ჰეტეროსკადურობისსახეები:
1.
ჭეშმარიტი (ნამდვილი) ჰეტეროსკედასტურობა (პროპორციულობის
ფაქტორების ზეგავლენით – სივრცით მონაცემებში)
2.
მცდარი ჰეტაროსკედასტურობა (მოდელის არასწორი სპეციფიკაცია)
ჰეტეროსკედასტურობა–1
1: დისპერსია იზდება ერთერთი ფაქტორის ზრდასთან
ერთად.
ჭეშმარიტ ჰეტეროსკედასტურობას დროით მწკრივებში
ადგილი აქვს, როცა დამოკიდებული ცვლადის
ელემენტები წარმოადგენენ დიდი დროითი ინტერვალის
წერტილებს რის გამოც
ცვლადის მნიშვნელობების
არაერთგვაროვანია აგრეთვე როცა ცვლადის ცვლილების
სიჩქარე მაღალია.
ჰეტეროსკედასტურობაროგორცმოდელის
სპეციფიკაციისშეცდომა. მაგალითი
თუ ჭეშმარიტი (ჰომოსკედასტური) მოდელის ნაცვლად
Yi
X i1
X im
1
1
 0
 1
   m
 i
X ij
X ij
X ij
X ij
X ij
m
Yi  0    j X ij   i
გვაქვს წრფივი მოდელი
j 1
მაშინ
წრფივი
მოდელის
ნარჩენობითი
წევრის
დისპერსიის მნიშვნელობა Xj წევრის პროპორციულია:
     X j  const
2
2
ჰეტაროსკედასტურობის შედეგები
1. ჭეშმარიტი ჰეტეროსკედასტურობა არ იწვევს
პარამეტრების გადაადგილებულ შეფასებებს
2. კოეფიციენტების სტანდარტული შედგომები
(რომელიც გამოთვლილია ჰომოსკედასტურობის
დაშვებით) შემცირებული იქნება. ეს იწვევს tსტატისტიკის ზრდას და შეგიქმნის არასწორ
წარმოდგენს კოეფიციენტების
მნიშვნელოვნებაზე.
ჰეტეროსკედასტურობის აღმოჩენა
ყოველ კონკრეტულ სიტუაციაში ჰატაროსკედასტურობის
აღმოჩენა არ წარმოადგენს მარტივ ამოცანას.
წინასწარი სამუშაო:
1. არის თუ არა ცხადი შეცდომები სპეციფიკაში?
2. შესაძლებელია თუ არა ჰეტეროსკედასტურობის
სახეობის წინასწარი შეფასება?
3. ნარჩენობითი წევრის გრაფიკის შესწავლა:
e(Y ), e( X j ),
j  1, m
ჰეტეროსკედასტურობის აღმოჩენა
ტესტები:
1. სპირმენის რანგული კორელაციის ტესტი.
2. პარკის ტესტი.
3. გლეიზერის ტესტი.
4. გოლფრიდ–კვანტის ტესტი.
5. უიტის ტესტი.
6. ბრეუშ –პაგანის ტესტი.
სპირმანის რანგული კორელაციის
ტესტი
1.
2.
3.
ვახდენთ ფაქტორული ცვლადის და ნარჩენობითი წევრის
რანგირებას
ვანგარიშობთ ფაქტორული ცვლადის და ნარჩენობითი წევრის
რანგებს შორის სხვაობას.
გამოვთვლით სპირმანის რანგული კორელაციის
n
rx  1 
4.
6 d i2
i 1
3
n n
ვანგარიშობთ t-სტატისტიკის მნიშვნელობას და ვაფასებთ მას
მისი კრიტიკული მნიშვნელობის მიმართ თავისუფლების n-2
ხარისხისათვის
t
rx n  2
1  r2x
პარკისტესტი
1. იგება რეგრესიის განტოლება:ln ei2     ln xi
სადაც   ln 
.
2. ფასდება –ს მნიშვნელოვნება
3. თუ  კოეფიციენტის სტატისტიკურად
მნიშვნელოვანია მაშინ მოდელში ადგილი
აქვს ჰეტეროსკედასტურობას
2
 vi
გლეიზერის ტესტი
ვუშვებთ რომ ნარჩენობითი წევრის დისპერსია   i
დაკავშირებულია პროპორციულობის ფაქტორ Z–
თან შემდეგი კავშირით:
2

     zi  i
i
ვინაიდან საშუალო კვადრატული გადახრები   i
უცნობია, მათ ცვლიან გადახრების მოდულის
მნიშვნელობებით ei .
გლეიზერისტესტი

m
1. იგება რეგრესიის განტოლება: y i  b0   b j xij
j 1

და გამოითვლება ნარჩენობითი წევრი ei  yi  y i , i  1, n .
2. შეირჩევა პროპორციულობის ფაქტორი Z და ფასდება
რეგრესიის დამხმარე განტოლებები: ei  0  1zi  i , i  1, n
–ს ცვლილებით, რამდენიმე მოდელი:   ,  1,  0,5, 0,5,1,
3. ყოველ მოცემულ შემთხვევაში 1 კოეფიციენტის
სტატისტიკური
მნიშვნელოვნება
წარმოადგენს
ჰეტეროსკედასტურობის არსებობის ნიშანს
4. თუ რამოდენიმე მოდელში იქმება მიღებული 1 –ს
მნიშვნელოვანი მნიშვნელობები, ჰეტეროსკედასტურობის
სახე აირჩევა ყველაზე მნიშვნელოვანი მოდელის მიხედვით.
გოლდფელს–კვანტის ტესტი
ტესტშის მიხედვით:
1.
ნარჩენობითი
წევრის
სტანდარტული
გადახრები   i პროპორციულობის ფაქტორის
Z–ის პროპორციულია:
2
2 2
i
i
   z , i  1, n
2. შემთხვევთი წევრი  გააჩნია ნორმალური
განაწილება და ადგილი არ აქვს ნარჩენობითი
წევრის ავტოკორელაციას.
გოლფელდ–კვანტისტესტი
1. გამოყოფენ პროპორციულობის ფაქტორს Z = Xk. მონაცემები ლაგდება Z
სიდიდის ზრდის მიხედვით.
2. ვახდენთ მწკრივის შუა მესამედის უგულველყოფას. პირველი და
მესამე მესამედისათვის იგება ორი რეგრესია.დაკვირვებების რიცხვი ამ
ქვე სიმრავლეებში უნდა იყოს ერთნაირი. აღვნიშნოთ ის l–ით.
3. პირველი და მესამე სიმრავლისათვის ვანგარიშობთ ნარჩენობითი
წევრის კვადრატების ჯამებს შესაბამისად RSS1 და RSS3. ვანგარიშობთ
მათ თანაფარდობას:
RSS 3
GQ 
RSS1
4. F-სტატისტიკის
გამოყენებით
ვამოწმებთ
ჰიპოთეზას
ჰომოსკედსტურობათზე თუ GQ აკმაყოფილებს უტოლობას:
GQ  F ; l m 1; l m 1
მაშინ

მნიშვნელოვნების
დონისათვის
ჰომოსკედასტურობის შესახებ უარყოფილია
ჰიპოთეზა
გოლდფელს–კვანტისტესტი. შენიშვნა
გოლდფელდ –კვანტის ტესტს. უკუპროპორციული
დამოკიდებულების შემთხვევაში ც:
 
2
i

2
2
i
z
, i  1, n
ვიყენებთ იგივე პროცედურას მაგრამ სატესტო
სტატისტიკა ტოლია:
RSS1
GQ 
RSS 3
უაიტის ტესტი
ვუშვებთ რომ დისპერსიები
 2
i
დამოდებულია ამხსნელ
ცვლადებზე X j , j  1, m შემდეგი სახის რაღაც ფუნქციური
კავშირით:
 2  f ( X i1, X i 2 ,, X im )  i , i  1, n
i
სადაც f() – არგუმენტის კვადრატული ფუნქცია.
ვინაიდან დისპერსიები 
i
2
უცნობი სიდიდეებია, მათ
ცვლიან გადახრების კვადრატების ei2 მაჩვენებლებით.
უაიტისტესტი
1. იგება რეგრესიის განტოლება:

y i  b0  b1 xi1  b2 xi 2  b3 xi 3

ვითვლით ნარჩენობით წევრ00ს ei  yi  y i , i  1, n .
2. ვაფასებთ რეგრესიის დამხმარე განტოლებას:
ei2  0  1 X i1  2 X i 2  3 X i 3  4 X i21  5 X i22 
 6 X  7 X i1 X i 2  8 X i1 X i 3  9 X i 2 X i 3  i
2
i3
უაიტისტესტი
3. აფასებთ დამხმარე რეგრესოდან სატესტო სტატისტიკას
U  nR
2
4. ვამოწმებთ 2–სტატისტიკის გამოყენებით განტოლების
მნიშვნელოვნებას. თუ
2
; k
U
მაშინ
ჰიპოთეზა
ჰომოსკედასტურობის
შესახებ
უარყოფილია. თავისუფლების ხარისხი k დამხმარე
რეგრესიის ამხსნელი ცვლადების რაოდენობის ტოლია.
კერძოდ, მოცემულ შემთხვევაში k = 9.
ჰეტეროსკედასტურობის გადალახვის
მეთოდები
1. უმცირეს კვადრატთა განზოგადებული მეთოდის
გამოყენება.
2. შეწონილი უმცირეს კვადრატთ მეთოდი.
3. უაიტის მეთოდი – სტანდარტული შეცდომების
გამოთვლა
და
მისი
ჰეტეროსკედასტურობაზე.
შესწორება
შეწონილიუმცირესკვადრატთმეთოდი
ყოველი განტოლება იყოფა შესაბამის   i და მიიღება:
t

 a1
 a2
 a3

 


 
yt
i
a0
x1t
x2t
x3t
i
i
i
i
i
მაშინ შემთხვევითი წევრის დისპერსია:
 t
D( t )  D

 i
  2i

1
  2
i

შესაბამისად მოდელს გააჩნია 1–ის ტოლი ერთიდაიგივე
დისპერსი
ნაკლი –   i შეფასება შეუძლებელია!
უმცირესკვადრატთაგანზოგადებული
მეთოდი
ყოველი განტოლებისთვის ვუშვებთ, რომ   i  xk
სადაც, xk არის ჰეტეროსკედასტურობის გამომწვევი
ფაქტორი. დავუშვათ k  2 :
მაშინ :
yt
a0
x1t
x3t
t

 a1
 a2  a3

x2t x2t
x2t
x2 t   i 
ხოლო შემთხვევით წევრის დისპერსია :
2
 t 

  2  i  2
D( t )  D
2
   

i
 i 
შესაბამისად მოდელს გააჩნია λ–ის ტოლი ერთიდაიგივე
დისპერსი.
k
ზოგადი შემთხვევისათვის
   x j
i
j 1