Transcript პრეზენტაცია 1 - The First Scientific Conference - ENS-2013

მოდელირება
კერძოწარმოებულებიანი
დიფერენციალური განტოლებებით
ზუსტ და საბუნებისმეტყველო
მეცნიერებათა ფაკულტეტი
ც.ტეფნაძე
თ.სოლოღაშვილი
ბ.ჩქოფოია
გ.ძამაშვილი
გ.ძოწენიძე
ნ.ჭანკვეტაძე
პროექტის ხელმძღვანელები:
სრული პროფესორი:
რამაზ ბოჭორიშვილი
ასისტენტ პროფესორი:
თინათინ დავითაშვილი
თბილისი 2013
დუფორტ-ფრანკელის სქემა
შესაბამის შაბლონს აქვს სახე:
სქემა უპირობოდ მდგრადია.
აპროქსიმაციის რიგია:
სრული აპროქსირებისათვის აუცილებელია
შესრულდეს: 0
∆𝑡 2
∆𝑥 2
= 0 ∆𝑥 2 ; ანუ ∆𝑡 ≤ ∆𝑥 2 ;
არაცხადის სქემის ამოხსნის მეთოდები
ნაბიჯი I:
x-მიმართულებით არცხადი
y-მიმართულებით ცხადი
n
ნაბიჯი II:
x-მიმართულებით ცხადი
y-მიმართულებით არაცხადი
• Peaceman-Rachford-ის ალგორითმი
Peaceman-Rachford-ის ალგორითმი
ry 2 n 1
ry 2 n
rx 2
rx 2
(1   x )(1   y )U  (1   x )(1   y )U
2
2
2
2
 ნაბიჯი I
 ნაბიჯი II
ry 2 n
rx 2 n  12
(1   x )U
 (1   y )U
2
2
1
n
r
(1   y2 )u n 1  (1  x  x2 )u 2
2
2
ry
მოცემული გამოსახულება ტოლფასია:
სადაც
𝒓 𝟐
𝜹
𝟐
არის (m-1)x(m-1) განზომილებიანი მატრიცა.
ხოლო:
𝜹𝟐𝒙 𝒖𝒊𝒋 = 𝒖𝒊+𝟏𝒋 − 𝟐𝒖𝒊𝒋 + 𝒖𝒊−𝟏𝒋 ;
𝜹𝟐𝒚 𝒖𝒊𝒋 = 𝒖𝒊𝒋+𝟏 − 𝟐𝒖𝒊𝒋 + 𝒖𝒊𝒋−𝟏;
𝒓=
𝝉
𝒉𝟐
სითბოგამტარობის ამოცანის ორგანზომილებიანი
არაცხადი სქემის ამოხსნა Peaceman-Rachford-ის
ალგორითმის მეშვეობით
ილუსტრაცია
ბიჯი I
ბიჯი II
Y-მიმართულებით ცხადი
X-მიმართულებით არაცხადი
n
n
U
n  12
i 1, j
U
n  12
i, j
U
U in, j 11
n  12
i 1, j
U in, j 1
U in, j 11
2
j=1
i=1 2
…
m
2
j=1
1
2
…
m
სქემის მდგრადობა
(ℎ = ℎ1 = ℎ2 )
სქემის მდგრადობა ვაჩვენოთ ჰარმონიკების მეთოდის გამოყენებით:
შემოვიღოთ აღნიშვნები:
𝑛
𝑢𝑚𝑙
= 𝜌𝑛 𝑒 𝑖𝛽𝑚ℎ 𝑒 𝑖𝛾𝑙ℎ ;
ჩავსვათ თავდაპირველ განტოლებაში
𝜌𝑛+1/2 𝑒 𝑖𝛽𝑚ℎ 𝑒 𝑖𝛾𝑙ℎ −𝜌𝑛 𝑒 𝑖𝛽𝑚ℎ 𝑒 𝑖𝛾𝑙ℎ
=
2𝜏
(𝜌𝑛+1/2 𝑒 𝑖𝛽(𝑚+1)ℎ 𝑒 𝑖𝛾𝑙ℎ −2𝜌𝑛+1/2 𝑒 𝑖𝛽𝑚ℎ 𝑒 𝑖𝛾𝑙ℎ +𝜌𝑛+1/2 𝑒 𝑖𝛽 𝑚−1 ℎ 𝑒 𝑖𝛾𝑙ℎ )
+
ℎ2
(𝜌𝑛 𝑒 𝑖𝛽𝑚ℎ 𝑒 𝑖𝛾(𝑙+1)ℎ −2𝜌𝑛 𝑒 𝑖𝛽𝑚ℎ 𝑒 𝑖𝛾𝑙ℎ +𝜌𝑛 𝑒 𝑖𝛽𝑚ℎ 𝑒 𝑖𝛾(𝑙−1)ℎ )
;
ℎ2
𝜌𝑛+1 𝑒 𝑖𝛽𝑚ℎ 𝑒 𝑖𝛾𝑙ℎ −𝜌𝑛+1/2 𝑒 𝑖𝛽𝑚ℎ 𝑒 𝑖𝛾𝑙ℎ
=
2𝜏
(𝜌𝑛+1/2 𝑒 𝑖𝛽(𝑚+1)ℎ 𝑒 𝑖𝛾𝑙ℎ −2𝜌𝑛+1/2 𝑒 𝑖𝛽𝑚ℎ 𝑒 𝑖𝛾𝑙ℎ +𝜌𝑛+1/2 𝑒 𝑖𝛽 𝑚−1 ℎ 𝑒 𝑖𝛾𝑙ℎ )
+
ℎ2
(𝜌𝑛+1 𝑒 𝑖𝛽𝑚ℎ 𝑒 𝑖𝛾(𝑙+1)ℎ −2𝜌𝑛+1 𝑒 𝑖𝛽𝑚ℎ 𝑒 𝑖𝛾𝑙ℎ +𝜌𝑛+1 𝑒 𝑖𝛽𝑚ℎ 𝑒 𝑖𝛾(𝑙−1)ℎ )
;
ℎ2
(1)
(2)
შევკვეცოთ (1) განტოლება 𝜌𝑛 𝑒 𝑖𝛽𝑚ℎ 𝑒 𝑖𝛾𝑙ℎ -ზე,ხოლო მეორე
𝜌𝑛+1/2 𝑒 𝑖𝛽𝑚ℎ 𝑒 𝑖𝛾𝑙ℎ -ზე,
𝜌1/2 −1
1
= 2 𝜌1/2 𝑒 𝑖𝛽ℎ − 2𝜌1/2 + 𝜌1/2 𝑒 −𝑖𝛽ℎ + 𝑒 𝑖𝛾ℎ − 2 + 𝑒 −𝑖𝛾ℎ
2𝜏
ℎ
𝜌−1
1
= 2 𝑒 𝑖𝛽ℎ − 2 + 𝑒 −𝑖𝛽ℎ + 𝜌1/2 𝑒 𝑖𝛾ℎ − 2𝜌1/2 + 𝜌1/2 𝑒 −𝑖𝛾ℎ ;
2𝜏
ℎ
გავითვალისწინოთ,რომ
გვექნება:
𝜌1/2 −1
1
= 2 (−2𝜌1/2 (1 − cos 𝛽ℎ − 2(1 − cos(𝛾ℎ));
2𝜏
ℎ
𝜌−1
1
= 2 (−2(1 − cos 𝛽ℎ − 2𝜌1/2 (1 − cos(𝛾ℎ));
2𝜏
ℎ
𝛽ℎ
ასევე (1 − cos 𝛽ℎ = (𝑠𝑖𝑛2
;
2
მივიღებთ:
𝜌1/2 −1
1
𝛽ℎ
𝛾ℎ
= 2 (−2𝜌1/2 𝑠𝑖𝑛2
− 2(𝑠𝑖𝑛2
2𝜏
ℎ
2
2
𝜌−1
1
𝛽ℎ
𝛾ℎ
= 2 (−2𝑠𝑖𝑛2
− 2𝜌1/2 𝑠𝑖𝑛2
);
2𝜏
ℎ
2
2
);
;
(3)
(4)
𝜏
შემოვიტანოთ აღნიშვნა 𝑟 = ℎ2 და მიღებული გამოსახულებიდან
გამოვსახოთ:
𝜌1/2 =
𝛾ℎ
1−2𝑟𝑠𝑖𝑛2 ( 2 )
𝛽ℎ ,
1+2𝑟𝑠𝑖𝑛2 ( 2 )
𝛽ℎ
𝜌 = 𝜌1/2 ∗
1−2𝑟𝑠𝑖𝑛2 2
𝛾ℎ
1+2𝑟𝑠𝑖𝑛2
2
𝛾ℎ
=
1−2𝑟𝑠𝑖𝑛2 2
𝛾ℎ
1+2𝑟𝑠𝑖𝑛2
2
𝛽ℎ
∗
1−2𝑟𝑠𝑖𝑛2 2
𝛽ℎ
1+2𝑟𝑠𝑖𝑛2 2
𝛾ℎ
რადაგანაც
1−2𝑟𝑠𝑖𝑛2 2
𝛾ℎ
1+2𝑟𝑠𝑖𝑛2 2
≤ 1 სქემა იქნება უპირობოდ მდგრადი.
∎ აპროქსიმაციის რიგი
სქემის აპროქსიმაციის ზრდის რიგია 0(𝜏 2 , ℎ12 , ℎ22 );
∎ გადაჭრის გზა
მეთოდის ამოხსნისას ვიღებთ სამდიაგონალურ მატრიცას რომლის გადაჭრის
გზაცაა გადადენის მეთოდი ან თომასის ალგორითმი
დავსვათ ამოცანა:
𝝏𝒖
= 𝟒∆𝒖 ,
𝝏𝒕
𝟎 < 𝒙 < 𝟑 , 𝟎 < 𝒚 < 𝝅, 𝒕 > 𝟎
𝒖
𝒖
𝒖
𝒙=𝟎
𝒚=𝟎
𝒕=𝟎
=𝒖
=𝒖
𝒙=𝟑
𝒚=𝝅
=𝟎
=𝟎
𝝅𝒙
= 𝐜𝐨𝐬( ) 𝒔𝒊𝒏𝒚
𝟐
გადავჭრათ ამოცანა ADI მეთოდით,როდესაც ბადეს
წარმოადგენს:
𝑮𝜴== 𝑮𝒙,⊗𝒚 [𝟎,
; 𝟎𝑻]:
≤ 𝒙 ≤ 𝟑,
𝟎≤𝒚≤𝝅
ვიზუალიზაცია:
T=0
T=0.2
არაცხადი სქმის ამოხსნის მეთოდი (ADi)
მეთოდი მდგომარეობ შემდეგში: (1)
ფორმულიდან არაცხადი სქემით x
𝑘+1/2
ცვლადის მიმართ ვიპოვით 𝑢𝑖,𝑗 ,შემდეგ
ბიჯზე კი (2) ფორმულიდან არაცხადი
სქემით y ცვლადის მიმართ ვიპოვით
𝑘+1
𝑢𝑖,𝑗
− ს, შესაბამის შაბლონს აქვს სახე:
მისი აპროქსიმაციის ზრდის რიგი არის
0(𝜏, ℎ2 );
ვიზუალიზაცია:
ცენტრალური სხვაობები:
დიფუზიის განტოლების ამოხსნისას ცხადი სქემით,განტოლებაში
შემავალი კერძო წარმოებულები შევცვალოთ ცენტრალური
სხვაობით:ანუ სქემა მიიღებს შემდეგ სახეს:
𝒏−𝟏
𝒖𝒏+𝟏
−𝒖
𝒎,𝒍
𝒎,𝒍
=
𝒏
𝒏
𝒏
𝒏
𝒏
(𝒖𝒏
−𝟐𝒖
+𝒖
+𝒖
−𝟐𝒖
+𝒖
𝒎+𝟏,𝒍
𝒎,𝒍
𝒎−𝟏,𝒍
𝒎,𝒍+𝟏
𝒎,𝒍
𝒎,𝒍−𝟏 )
;
𝟐𝝉
𝒉𝟐
მარცხენა სხვაობების დროს სქემა აპროქსიმაციის ზრდის რიგი იყო
0(𝜏, ℎ2 ),ცენტრალური სხვაობების დროს კი 0(𝜏 2 , ℎ2 );
სქემა პირობით მდგრადია:
𝜏 1
<
2
ℎ 4
სურათზე ხელოვნურად ქმნიან ხმაურს,შეაქვთ
შეშფოთებები,რომელთა გაწმენდა შესაძლებელია
რამდენიმე მეთოდით,ისინი არ იყენებენ
კერძოწარმოებულიან დიფერენციალურ განტოლებებს
თუმცა საინტერესოა შედეგების შედარების მხრივ
ხმაურის გასაწმენდად გამოიყენება არაწრფივი
ფილტრაციის შემდეგი მეთოდები:
 არითმეტიკული საშუალო
 გეომეტრიული საშუალო
 ჰარმონიული საშუალო
 კონტრჰარმონიული საშუალო
 მედიანის ფილტრი
 Alpha trimmed საშუალო ფილტრი
მედიანის ფილტრი:
არითმეტიკული საშუალო
გეომეტრიული საშუალო
fˆ ( x, y )  median{g ( s, t )}
( s ,t )S xy
ˆf ( x, y )  1
g ( s, t )

m n ( s ,t )S xy


fˆ ( x, y )    g ( s, t ) 
 ( s ,t )S

xy


1
mn
ჰარმონიული და კონტრჰარმონიული ფილტრები
ჰარმონიული საშუალო
fˆ ( x, y ) 
mn

( s ,t )S xy
1
g ( s, t )
კონტრჰარმონიული საშუალო
fˆ ( x, y ) 
 g ( s, t )
Q 1
mn = ამოღებული ფანჯრის
ზომები
( s ,t )S xy
Q
g
(
s
,
t
)

( s ,t )S xy
Q = 0, დავდივართ არითმეტიკულ საშუალოზე
Q = -1, დავდივართ ჰარმონიულ საშუალოზე.
Alpha-Trimmed საშუალო
ფილტრო
fˆ ( x, y ) 
1
mn  d
 g ( s, t )
( s ,t )S xy
r
 შეგვიძლია წავშალოთ ყველაზე დაბალი და ყველაზე
მაღალი d/2 სიმაღლის პიქსელი
 ასე რომ gr(s, t) წარმოადგენს დარჩენილ mn – d პიქსელს
როგორ მუშაობს მედიანის ფილტრი
მედიანის ფილტრი კარგია იმპულსის გასაქრობად,ხმაურის იზოლაციისათვის
მედიანა
დალაგებული
მაგალითად:
ზრდის მიხედვით:
37, 38, 38, 39, 40, 41, 42, 44, 234
საზღვრებზე პიქსელები
0 0 0 ……………………….0
0 0 0 ……………………….0
ან
ორიგინალ სურათზე ვამატებთ ეგრეთწოდებულ ხმაურს,კერძოდ
გაუსის ხმაურს.გაუსის ფილტრი მოიცემა ფორმულით:
G ( x, y ) 
1
2
2
e
 ( x 2  y 2 ) / 2 2
ფანჯრის გადატანის მაგალითი
ორიგინალი
3x3
ფანჯრის გადატანის მაგალითი
ორიგინალი
3x3
ფანჯრის გადატანის მაგალითი
ორიგინალი
3x3
ფანჯრის გადატანის მაგალითი
ორიგინალი
3x3
ფანჯრის გადატანის მაგალითი
ორიგინალი
3x3
ფანჯრის გადატანის მაგალითი
ორიგინალი
3x3
ფანჯრის გადატანის მაგალითი
ორიგინალი
3x3
ორიგინალი სურათიდან
აღებულია 25 %
ორიგინალი სურათიდან
აღებულია 60 %
მედიანის ფილტრით
დამუშავებული:აღებულია 25%
მედიანის ფილტრით
დამუშავებული:აღებულია 60%
არითმეტიკული საშუალოთი
დამუშავებული,აღებულია 25%
არითმეტიკული საშუალოთი
დამუშავებული,აღებულია 60%
ჰარმონიული საშუალოთი
დამუშავებული:აღებულია 25%
ჰარმონიული საშუალოთი
დამუშავებული:აღებულია 60%
კონტრჰარმონიული საშუალოთი
დამუშავებული:აღებულია 25%
კონტრჰარმონიული საშუალოთი
დამუშავებული:აღებულია 60%
Alpha trimmed საშუალოთი
დამუშავებული:აღებულია 25%
Alpha trimmed საშუალოთი
დამუშავებული:აღებულია 60%
გეომეტრიული საშუალოთი
დამუშავებული:აღებულია 25%
გეომეტრიულისაშუალოთი
დამუშავებული:აღებულია 60%
გამოყენებული ლიტერატურა:
 http://pauli.unimuenster.de/tp/fileadmin/lehre/NumMethoden/WS0910/Script
PDE/Heat.pdf
 http://www.cems.uvm.edu/~tlakoba/math337/notes_15.pdf
 http://en.wikipedia.org/wiki/Crank%E2%80%93Nicolson_met
hod
 http://www.youtube.com/watch?v=iUs5znCjcqs
 http://en.wikipedia.org/wiki/Alternating_direction_implicit_met
hod
 http://en.wikipedia.org/wiki/Nonlinear_filter
 http://pluto.huji.ac.il/~pchiga/teaching/Filtering/filteringv0.1.pdf
 http://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_noise