Transcript ლექცია 9 - nikoloz ostapenko

ნიკოლოზ ოსტაპენკო
დროითი მწკრივი – Time series
დროითი მწკრივი - შინაარსი.
დროითი მწკრივის
იდენტიფიკაცია.
კომპონენტები და მათი
ავტოკორელაციის აღმოჩენა.
ავტოკორელაციის კორექცია.
დროითი მწკრივი – Time series
დროითი მწკრივი – ეს არის მიმდევრული შემთხვევითი სიდიდის
მნიშვნელობათა დაკვირვება, რომელიც წარმოებულია დროის
თანაბარი ინტერვალებით.
დროითი მწკრივების ანალიზის ძირითადი თავისებურება არის ის, რომ
დროითი
მწკრივის
ელემენტები
არიან
სტატისტიკურად
დამოკიდებული შემთხვევითი წევრები, რომელთაც გააჩნიათ საერთო
განაწილების ფუნქცია.
დროითი მწკრივი:
 ერთ განზომილებიანი და მრავალგანზომილებიანი
დისკრეტული და უწყვეტი
დეტერმინირებული და შემთხევითი.
სტაციონალური და არასტაციონალური
დროითი მწკრივი – Time series
დროითი მწკრივი
მონაცემებისაგან:
თვისობრივად
დაკვირვებების
თვისებები
მიმდევრობა
სტატისტიკური
დამოუკიდებლობა
განაწილების ფუნქცია
დაკვირვებების
რაოდენობა
ავტოკორელაციის
არსებობა
განსხვავდება
სივრცობრივი
მონაცემთა ტიპი
სივრცითი
მონაცემები
დროითი
მწკრიცები
არა მნიშვნელოვანი
მნიშვნელოვანი
დამოუკიდებელი
არ არის
დამოუკიდებელი
ერთნაირი
არ არის ერთნაირი
როგორც წესი
მეტია
როგორც წესი
მცირეა
გვხვდება
იშვიათად
გვხვდება
ხშირად
დროითი მწკრივი – Time series
დროითი
მწკრივის
ელემენტების
მნიშვნელობა
ყალიბდება რიგი ფაქტორების ზეგავლებით, რომელთა
შორისაც გამოყოფენ:
 გრძელვადიანი – რომელიც აყალიბებს გრძელვადიან
პერიოდში დროითი მწკრივის ტენდენციას. ეს ტენდენცია
აღიწერება ე.წ. ტრენდის ფუნქციით (T).
 სეზონური – დროითი მწკრივის წელიწადის გარკვეულ
დროში წარმოქმნილი რყევები, რომელიც აღიწერება
სეზონურობის ფუნქციით (S).
 ციკლური – ეკონომიკური და სხვა ციკლებით
წარმოქმნილი რყევების მახასითებელი ფუნქცია (C ).
 შემთხვევითი – რომელიც არ ექვემდებარება აღრიცხვას
წარმოადგენს
შემთხვევითი
გარე
ფაქტორების
მოქმედების შედეგს (U)
y t  f (t , s , c )  u t
მარტივიმცურავისაშუალო(SMA –simple moving average)
sma t 
x t  k  x t  k 1    x t  k
k
სადაც k გამასაშუალოებელი პერიოდია (k- point moving
average). თვის და კვარტლის მიხედვით მონაცმეთა ანალიზის
დორს k=12 და k=4.
ცენტრირებული მცურავი საშუალო (centered moving average)
cma t 
cma t  0 . 5  cma t  0 .5

2
1  x t  2  x t 1  x t  x t  1 x t 1  x t  x t  1  x t  2 
 


2
4
4

k 4
მარტივიმცურავისაშუალო(SMA –simple moving average)
sma t
cma t
ტრენდის ფუნქციის იდენტიფიკაციაT(t)
y1 ( t )  a 0  a1  t ,
y 2 ( t )  a 0  a1  t  a 2  t
y 3 (t )  a 0  e
a1 t
y 4 (t )  a 0  t
a1
y 5 (t )  a 0 
2
 ...  a k  t ,
k
 a 0  exp( a 1  t ),
,
a1
t
y 6 ( t )  a 0  a 1  ln t ,
y 7 (t ) 
a0
1  a 1  exp(  a 2  t )
.
ხიდრიკ–პრესკოტის ფილტრი
ეს ინსტრუმენტი გამოიყენება გრძელვადიანი ტრენდის
მისაღებად. შესაბამისი ალგორითმი არჩევს s t მწკრივს,
რომლისთვისაც მინიმიზირდება ჯამი:
T
 (x
t 1
T
 s t )    (( s t  1  s t )  ( s t  s t 1 ))  min
2
t
2
t 1
პარამეტრი  არეგულირებს მწკრივის სიგლუვეს, თუ 
მაშინ s t უახლოვდება წრფივ ტრენდს.
•
  100
•
  1600
კვარტალური
•
  14400
თვის მონაცემებისათვის
წლიური
 
ხიდრიკ–პრესკოტის ფილტრი
HPTREND
  1600
ხიდრიკ–პრესკოტის ფილტრი
ფილტრი საშუალებას იძლევა გამოვყოთ როგორც ტრენდი,
ისე ციკლური კომპონენტი და შემთხვევითი კომპონენტი :
Hodrick-Prescott Filter (lambda=1600)
1200
1100
200
1000
100
900
0
800
-100
-200
2000
2001
CR
2002
Trend
2003
Cycle
2004
პროგრამა EViews
პროგრამა სხვადასხვა ფილტრის საშუალებას
იძლევა როგორც ტრენდის, ისე სეზონური,
ციკლური
და
შემთხვევითი
კომპონენტის
გამოსაყოფად (ჰენდერსონის, ჰოლდ–ვინტერსის,
მცურავი საშუალოს, ჰიდრიკ–პრესკოტის და სხვა
ფილტრების გამოყენებით):
ტრენდს და ციკლი
Hodrick-Prescott Filter (lambda=1600)
5000
4000
3000
500
2000
0
-500
2002
2003
2004
Y
2005
Trend
2006
2007
Cycle
2008
ტრენდს-ციკლი და სეზონური
კომპონენტით კორექტირებული
4000
3500
3000
2500
2000
2002
2003
2004
2005
2006
2007
Final seasonally adjusted series
Final trend-cycle
2008
სეზონური და შემთხვეითი კომპონენტი
112
108
104
100
96
92
88
2002
2003
2004
2005
2006
2007
Final irregular component/factor
Final seasonal component/factor
2008
მწკრივის სტაციონალურობა
მწკრივს ეწოდება სტაციონალური
თუ მისი საშუალო
მნიშვნელობა,
დისპერსია
და
კოვარიაცია
არ
არსი
დამოკიდებული t –ზე. მისი მნიშვნელობები დამოკიდებულია
მწკრივის ელემენტებს შორის დაშორებაზე
–ზე.

სტაციონალურობის პირობები:
E ( X t )  

D( X t )  
 Cov ( X , X
t

2
t 
)   ( )
ავტოკორელაციური ფუნქცია
ACF ( ) 
Cov (Y t , Y t   )

D (Y t )
 ( )
 (0)
  ( ),
 (0)  1
დროითი მწკრივის შერჩევით ავტოკორელაციურ
ფუნქციას ეწოდება კორელოგრამა და შემდეგ ნაირად
განისაზღვრება:
 (Y  Y )( Y   Y )
T
t
t
 ( ) 
t   1
T
 (Y
t 1
t
Y )
2
განასხვავებენ კერძო ავტოკორელაციურ ფუნქციას (PACF).
იგი წარმოადგენს “წმინდა კორეალციას” Yt და Yt+L შორის
შუალედური მნიშვნელობების Yt+1,…,Yt+L1 გაუთვალის–
წინებლად.
კორელოგრამა 12 ლაგისათვის
თეთრი ხმაურის პროცესი
«თეთრი ხმაური» – «წმინდა შემთხვევითი» სტაციონალური
დროითი მწკრივი რომლისთვისაც:
Yt   t

2

~
iid
(
0
,

)
 t
E ( X )  0
t


2
D
(
X
)


 0

t

  ( )  1,   0 ;


0,  0



თეთრი ხმაურის პროცესი
ავტორეგრესიის პროცესი (AR)
ρ რიგის ავტორეგრესიული მწკრივი (AR(ρ))
2
 t ~ iid ( 0 ,  )
X t   X t 1   t
X t   ( X t  2   t 1 )   t   X t  2   t 1   t     X 0  
2
X t 1   X t  2   t 1  
X t 2   X t 3   t 2  
t 1
X0 
t2
t
t2
X0 
1  
t 3
t 3
1  
t 1
1  
t2
2   t
 2     t 1
t4
 2     t2

X 1  X 0  1
X0
თუ შემთხევითი წევრი არ რაის კორელაცისში  1 ,  2 ,   t მაშინ

2
D(X t ) 
თუ
1
 1
COV ( X t , X t  ) 

L
1

2
2
Corr ( X t , X t   )  
მწკრივი სტაციონალურია.
L
ავტორეგრესიის პროცესი
თუ რიგს არანულოვანი მათემატიკური მოლოდინები გააჩნია მაშინ
X t     ( X t 1   )   t
X t   X t 1     t 1 )
   (1   )
თუ არ დავაკონკრეტებთ მოდელს t=1 მომენტამდე არსებული
მონაცემების მიხედვით ( ანუ თუ X 0 შემთხევითი წევრი არის  1 ,  2 ,   t
კორელაცისში) მაშინ

2
E ( X t )   x0
t
D(X t ) 
1


2

1

2t
COV ( X t , X t  ) 
 (1   )
2t
1
2
თუ t   სტაბილურობის პირობა.

2
ავტორეგრესიის პროცესი
ავტორეგრესიის პროცესი
ჩამორჩენის (დაგვიანების) ოპერატორი
L X t  X t p
p
Xt 
X t  a 1 X t 1  a 2 X t  2    a p X t  p   t
1
a(L)
t
X t  a 1 LX t  a 2 L X t    a p L X t   t
a(L) X t     t  X t   
(1  ( a 1 L  a 2 L    a p L ) ) X t   t
       

 
2
2
a(L)
p
p
1
a(L)

1  a1  a 2    a p
ავტორეგრესიული
პროცესის
უკეთ
შემოვიღოთ L (lag operator) “ლაგ ოპერატორი”
დასახასიტებლად
t
იულა–ოკერის განტოლრბათა სისტემა
 ( k )  a1 ( k  1)  a 2  ( k  2 )    a p  ( k  p ), k  0
მაგალითად:
X t  4 . 375  0 . 25 X t 1  0 . 125 X t  2   t
   /( 1  a 1  a 2 )  4 . 375 /( 1  0 . 25  0 . 125 )  5
 2
 ( k )  0 . 25  ( k  1)  0 . 125  ( k  2 ),
 (0)  1
 (1)  0 . 25 /( 1  0 . 125 )  0 . 222
 ( 2 )  0 . 25  (1)  0 . 125  ( 0 )   0 . 069
 ( 3 )   0 . 045 ,  ( 4 )   0 . 003 
იულა–ოკერის განტოლრბათა სისტემა
ახლოსაა თეთრი ხმაურის პროცესთან
X t  4 . 375  0 . 25 X t 1  0 . 125 X t  2   t
 5
 ( k )  0 . 25  ( k  1)  0 . 125  ( k  2 ),
AR(1)
AR(2)
მცოცავი საშუალოს პროცესი (MR)
q რიგის მცოცავი საშუალოს პროცესი (MR(q))
X t   t  b1 t 1  b 2  t  2    b q  t  q
თუ
2
 t ~ iid ( 0 ,  )



(
)
,   0 , 1,

2
 xx ( )   1  
 0 ,   2 , 3 ,...

X t     t  b1 t 1  b 2  t  2    b q  t  q
X t     t  b1 t 1  b 2  t  2    b q  t  q
Z  t   tq
q
X t   t  b1 t 1  b 2  t  2    b q  t  q
X t  Z  t  Z b1 t  Z b 2  t    Z b q  t
0
1
2
q
(1  b1 Z  b 2 Z    b q Z )  t  X t
        
2
b(Z )
q
კორელოგრამა - MA



(
)
,   0 , 1,

2
 xx ( )   1  
 0 ,   2 , 3 ,...

მაგალითად:
X t  6   t  0 . 8  t 1 ,
  6,
  1,
MA(1)
 (1)   0 . 8 /( 1  0 . 8 )  0 . 488
2
MA (1)
MA(2)
MA დაAR პროცესებს შორის კავშირი
MA ( )
  b1 , 
q
 bq
(1  b1 Z  b 2 Z    b q Z )  t  X t
2
q
(1   Z   Z     Z )  t  X t
2
1
1  Z
2
q
q
t  X t
 t  X t   ZX t   t  X t   X t 1
X t  b1 X t 1   t  AR (1)
MA (  )  AR (1)
b1  a 1
AR (  )  MA (1)
ARMA(p,q)
X t    a1 X t 1  ...  a p X t  p   t  b1 1  ...  b q  t  q
2
 t ~ iid ( 0 ,  )
p-რიგის ავტორეგრესიული პროცესი და q –
რიგის მცოცავი საშუალოს პროცესიARMA(p,q)
p
 a Y
t 
-p რიგის ავტორეგრესიული წევრი
 1
q
 b 
 1
t 
-q რიგის მცოცავი საშუალო წევრი