Transcript პრეზენტაცია 2 - The First Scientific Conference - ENS-2013

ივანე ჯავახიშვილის სახელობის თბილისის
სახელმწიფო უნივერსიტეტის ზუსტ და
საბუნებისმეტყველო მეცნიერებათა
ფაკულტეტი
ჯგუფური პროექტი
მომხსენებლები:
ც.ტეფნაძე
თ.სოლოღაშვილი
ბ.ჩქოფოია
გ.ძამაშვილი
გ.ძოწენიძე
ნ.ჭანკვეტაძე
პროექტის ხელმძღვანელები:
სრული პროფესორი:
რამაზ ბოჭორიშვილი
ასისტენტ პროფესორი:
თინათინ დავითაშვილი
ციფრული სურათების
დამუშავება
კერძოწარმოებულიანი
დიფერენციალური
განტოლებებით
გიორგი ძამაშვილი
რატომ დიფუზიის განტოლებით?
 სიღრმისეული შედეგებია მიღწეული ამოცანის
კორექტულობისა, სტაბილურობისა და
კრებადობის სფეროში.
 განაზოგადებს სხვადასხვა კლასიკურ მეთოდს
(მაგ. ბიწრფივ ინტერპოლებას, გაუსის ფილტრს).
 დიფუზიის განტოლების ამონახსნი არის გლუვი
ფუნქცია.
დიფუზიის განტოლება
 ციფრული სურათის მათემატიკური მოდელი:
𝑓: Ω ⊂ 𝑅2 → 𝑅.
 ვაგებთ 𝑢 𝑥, 𝑦, 𝑡 : Ω × 𝑅 → 𝑅 ფუნქციას, რომელსაც
სურათის მნიშვნელობები მიენიჭება საწყის
მონაცემებად:
𝑢 𝑥, 𝑦, 0 = 𝑓 𝑥, 𝑦
და დააკმაყოფილებს ტოლობას:
𝜕𝑡 𝑢 = 𝑑𝑖𝑣(𝐷 ∙ 𝛻𝑢)
𝑡=0
𝑡=1
𝑡=4
𝑡 = 256
სქემის არჩევა
 არსებული ძირითადი ვარიანტები:
 ეილერის ცხადი სქემა (FTCS)
 ცხადი CTCS სქემა
 დუ ფორტ ფრანკელის სქემა
 ჩვეულებრივი არაცხადი
 არაცხადი ცვლადი მიმართულების მეთოდის (ADI)
 გამოყენებით არაცხადი კრანკ-ნიკოლსონი ცვლადი
მიმართულების მეთოდის გამოყენებით
ეილერის ცხადი სქემა (FTCS)
 FTCS = Forward Time, Central Space
 პირობით მდგრადი
 კრებადი დროის მიხედვით წრფივი, სივრცის
მიხედვით კვადრატული
 გამოთვლების მხრივ მსუბუქი
ცხადი CTCS სქემა
 CTCS = Central Time, Central Space
 რომ არა არამდგრადობა იქნებოდა:
 კრებადი კვადრატული რიგით დროის და სივრცის
მიხედვით
 გამოთვლების მხრივ მსუბუქი
დუ ფორტ ფრანკელის სქემა
ცხადი სქემა
უპირობოდ მდგრადი (!)
კრებაოდბის რიგია
ℎ2
+
𝑡2
+
𝑡2
ℎ2
გამოთვლების მხრივ იგივე რაც ცხადი
ეილერის სქემა
არაცხადი კრანკ-ნიკოლსონის სქემა
უპირობოდ მდგრადი
კრებადი კვადრატული რიგით დროის და
სივრცის მიხედვით
გამოთვლების მხრივ არარეალური.
არაცხადი სქემები ADI მეთოდით
უპირობოდ მდგრადი
კრებადი კვადრატული რიგით დროის და
სივრცის მიხედვით
გამოთვლების მხრივ ოპტიმალური
რისთვის გამოვიყენებთ?
ხმაურის მოსაცილებლად
ზუმირებითვის
შეკუმშვისთვის
კუთხით მობრუნებისთვის და
არამთელი კოეფიციენტით სურათის
გადიდებისთვის.
ხმაურის მოცილება
 გამოდგება როგორც Low-pass filter ანუ სურათს აცილებს
ხმაურს, თუმცა მნიშვნელოვან დეტალებსაც.
ხმაურის მოცილება
ზუმირება
Ω არის 𝐾 წერტილებზე მნიშვნელობებს
ვაფიქსირებთ.
საინტერპოლებელია Ω\K წერტილები.
ვხსნით ორგანზომილებიანი დიფუზიის
განტოლებას საკმარისად დიდი T-ისთვის
ნეიმანის საზღვრითი პირობებით.
რიცხვითი გამოთვლების წინ ვიყენებთ
ბიწრფივ ინტერპოლებას.
შედეგი
ორიგინალი
დიფუზიით
ფოტოშოფის ბიკუბური
MSE = 71
PSNR=29.6
MSE = 60
PSNR=30.4
კომპრესირება
 შემოვიღოთ ცდომილების შეფასების სტანდარტული
ფორმულები:
კომპრესირება
 ისევ ვაფიქსირებთ პიქსელებს.
 დანარჩენს ვიღებთ.
 მიღებული სურათის შენახვის ალგორითმი.
 რომელ პიქსელებს ამოვიღებთ ჩვენი ნებაა.
 არის კი?
ვიზუალური მოთხოვნა
 გლუვი შედეგი მიუხედავად პიქსელის მდებარეობისა სურათზე.
 უნდა დარჩეს წიბოების შემცველი პიქსელები.
ორიგინალი სურათი
დიფუზიის შედეგი
წიბოთა პოვნა
 თუ
სურათი
არის
RGB
ტიპის
გამოვთვალოთ
განათებულობა YUV ფერთა სივრცეში გარდაქმნის
ფორმულით.
 დავითვალოთ სურათის გრადიენტი ორივე ღერძის
მიმართულებით:
 𝐵𝑦 𝑖, 𝑗 = 𝐴 𝑖, 𝑗 + 1 – 𝐴 𝑖, 𝑗 − 1
 𝐵𝑥 𝑖, 𝑗 = 𝐴 𝑖 + 1, 𝑗 – 𝐴 𝑖 − 1, 𝑗
 დავითვალოთ გრადიენტის ნორმა.
 გრადიენტის სიდიდე იქნება მისი ევკლიდური ნორმა
 ‖𝛻𝑓‖ =
𝜕𝑓 2
𝜕𝑥
+
𝜕𝑓 2
.
𝜕𝑦
 რაიმე K სიდიდეზე დიდი გრადიენტის სიდიდის მქონე
პიქსელები ჩავთვალოთ წიბოს შემცველ პიქსელებად და
დავტოვოთ.
 <სობელის ოპერატორი>
წიბოთა პოვნა: სავარაუდო შედეგი
პრობლემა #2
 პიქსელების
არასაკმარისი
საშუალო რაოდენობა
რამე არეზე,
მოითხოვს საკმაოდ
ბევრი შრის
გამოთვლას.
არჩეული პიქსელების გავლენა მიღებულ შედეგზე
• პირველი სურათიდან ამოღებულია შემთხვევითად
• მეორე სურათი დაყოფილია კვადრატებად
• მესამე სურათზე შერჩეულია ადაპტურად
სამივე სურათი ქვემოთ მიახლოებულია წრფივი დიფუზიით
პრობლემა #2 გადაწყვეტა
 ვიყენებთ მეორე ევრისტიკას
ან
 ვიყენებთ ისევ ინტერპოლებას
ან
 ვიყენებთ დუ ფორტ ფრანკელის სქემას
ან
 სამივეს ერთად
მეორე ევრისტიკა a.k.a. dynamic augmenting
13 წამი; 918 შრე; eps=0.1
4.5 წუთი; 8600 შრე; eps=0.01
მეორე ევრისტიკა a.k.a. dynamic augmenting
ორიგინალი
2.5 წუთი; 10000 შრე; eps=0.0001
კვლავ ინტერპოლება
 <ინტერპოლების ჩვენება>
ოპტიმალურ განაწილებასთან
მიახლოების მეთოდი
 მეთოდის რამდენიმე ევრისტიკა:
 დავთვალოთ მიმდინარე განაწილების ცდომილება (სხვაობებს
ნამდვილსა და მიღებულ შედეგს ვკრიბავთ მოდულის გარეშე)
და აღარ გადავიდეთ ისეთ პიქსელზე, რომლის ინტენსივობა
მეტია (ნაკლებია) თუ ცდომილება უარყოფითია (დადებითია)
მიმდინარე განაწილების მიმდინარე პიქსელზე ინტენსივობის.
 საწყისი მიახლოება იყოს არა შემთხვევითი არამედ, ყოველი
49
წევრი განათებულობების ვარიაციულ მწკრივში. ანუ
𝑁
ყველა 49 𝑁 -ის ჯერადი პერცენტილი.
კუთხით შემობრუნება
კუთხით შემობრუნება
 <ანიმაცია>
 <მათლაბის კოდი #2: შემობრუნება>
არამთელი რიცხვით გადიდება
 <ისრები>
შედეგები: შეკუმშვა
 მარცხნივ - დატოვებულია 23%, შრეების რაოდენობა 317; N=5
MSE = 29.5405133565267
PSNR = 33.4266232263505
 მარჯვნივ - ორიგინალი
შედეგები: შეკუმშვა
მარცხნივ - JPEG 23%-შეკუმშვით
MSE = 13.74288431803
PSNR = 36.75002470069
ორიგინალი
Peaceman-Rachford; tau=10
Peaceman-Rachford; tau=1
დიფუზია წინასწარი ინტერპოლებით
მარჯვნივ: პირველი ევრისტიკის გამოყენებით:
შრეების რიცხვი=64, მუშაობის დრო = 5 წამი
მარცხნივ: ევრისტიკის გარეშე, შრეების რიცხვი=146, მუშაობის დრო = 12 წამი
დიფუზია წინასწარი ინტერპოლებით
233 შრე; 18 წამი; 𝑒𝑝𝑠 = 0.1
1260 შრე; 100 წამი; 𝑒𝑝𝑠 = 0.1
შედეგები: შეკუმშვა
მარცხნივ - დატოვებულია 23%, შრეების რაოდენობა 116 N=10; ხაზებით
მარჯვნივ - ორიგინალი
შედეგები: შეკუმშვა
მარცხნივ - დატოვებულია 10%, შრეების რაოდენობა 116; N=3;
მარჯვნივ - დატოვებულია 10%; N=10
შედეგები: შეკუმშვა
მარცხნივ - 4%; N=2
მარჯვნივ- 8%; N=1
შედეგები: ზუმირება
მარცხნივ - გადიდებულია ორჯერ
მარჯვნივ- ორჯერ დიდი ორიგინალი
გამოყენებული ლიტერატურა
 The Diffusion Equation