Transcript 집합과 자연수

김 송수와 함께하는
집합과 자연수
1.집
합
2.기 수 법
3.자 연 수
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집 합
집합의 포함관계
집합의 연산
1. 집 합
집 합
: 주어진 조건이 그 대상을 분명히 알 수 있는
것들의 모임
원 소
: 집합을 이루고 있는 대상 하나하나
기 호
a A
a가 집합 A의 원소이다.
b B
b가 집합B의 원소가 아니다
집합의 표현
원소나열법
: 그 집합에 속하는 모든 원소를 { }속에
일일이 나열하는 방법
조건제시법
: {x | x 의 조건 } 의 꼴로 나타내는 방법
집합의 종류
유한집합
: 원소의 개수가
n( A)
유한 개인 집합
집합 A 의
원소의 개수
무한집합
: 원소가 개수가 무한히 많은 집합
공집합
: 원소가 하나도 없는 집합
기호로
 ,{ }
원소의 개수
Number(수)의
첫 글자
(1) 집합 A의 원소의 개수를 기호로
n( A)
로 나타낸다.
(2) A=
 이면 n(A)
=0
(3) 원소의 개수는 유한집합에 한하여 생각한다.
벤 다이어그램
집합을 그림으로 나타내는 방법으로는 벤 다이어그램이
있다.
A= { a ,b } B = {c ,d }
A
B
ab cd
C = { a,b,c }, D = { c,d }
D
C
ab
c
d
부분집합
(1) 집합 A의 모든 원소가 집합 B에 속할 때,
A를 B의 부분집합이라고 한다.
(2) A가 B의 부분 집합인 것을 기호로 A ⊂ B
또는 A ⊃ B로 나타낸다.
(3) 공집합은 모든 집합의 부분집합 이다.
A
B
A ⊃ B
부분집합의 개수
(1) 부분집합의 개수 :
2
n
(단, n은 원소의 개수)
(2) A={1, 2, 3, …, n}에서 특정한 원소 m개를 포함
하는 부분집합의 개수
2
n- m
Þ 2
(전체원소의개수 ) - (포함하는특정한원소의 개수 )
서로 같다
두 집합 A와 B에 대하여 A  B이고 B  A일 때
집합 A와 집합 B는 서로 같다 라고 한다
A ,B
기호로
A = B
교집합
두 집합 A, B가 있을 때 A에도 속하고 B에도 속하는
모든 원소로 이루어진 집합,
기호 : A ∩B
A ∩B = {x│x∈ A 그리고 x∈ B}
A
B
서로소
두 집합 A, B에 대하여 A와 B에
공통으로 속하는 원소가 하나도 없을 때
즉, A ∩B = 일 때
“A와 B는 서로소”
A ∩B
합 집 합
두 집합 A, B가 있을 때 A에 속하거나
B에 속하는 모든 원소로 이루어진 집합
기호 : A∪B
A
B
A∪B = {x│x∈A 또는 x∈B}
합집합의 원소의 개수
n(A∪B) = n(A) + n(B) - n(A ∩B)
A∪B
전체집합
어떤 주어진 집합에 대하여 그것의 부분집합을
생각할 때, 처음 주어진 집합을 전체집합이라
하고, 보통 U로 표시한다.
여집합
A가 전체집합 U의 부분집합 일 때,
U
U의 원소 중에서 A에 속하지
A
않는 모든 원소로 이루어진 집합
을 A의 여집합이라고 하고
A
C
A
C
로 나타낸다.
C
A = {x│x∈U 그리고 x ∈ A}
여집합의 성질
C
C C

A  A   , A U A U , (A )  A
C
U   ,   U, A  B이면 B  A
C
C
C
(A  B)  A U B ,
C
C
C
(A U B)  A  B ,
C
C
C
C
(드 모르간의 법칙)
A에 대한 B의 차집합
두 집합 A, B에 대하여 A에는 속하고 B에는 속하지
않는 원소로 이루어진 집합을 A - B 로 나타낸다.
즉, A-B={x│x∈A 이고 xB}
A
A - B
B
B - A
차집합의 성질
1
2
A U  A
C
A  B  A  B  A  ( A  B)
C
B  A  B  AC  B  ( A  B)
3
n( A )  n(U )  n( A)  n(U  A)
4
n( A  B)  n( A)  n( A  B)
5
A B  
C
이면
A B
2. 기수법
수를 숫자로 나타내는 방법
거 듭 제 곱
십 진 법
오 진 법
이 진 법
거듭제곱
같은 수나 문자가 반복해서 곱해져 있을 때
거듭제곱을 이용해 나타낼 수 있다.
즉,
5 5  5 , 5 5 5  5
2
a
3
3
지수
밑
십 진 법
 수의 자리가 하나씩 올라감에 따라
자리의 값이 10배씩 커지도록 나타내는 방법
 십진법의 전개식
십진법의 수를 10의 거듭제곱을 써서 나타낸 식
예를 들면
2437  2 10  4 10  3 10  7 1
3
2
오진법
수의 자리가 하나씩 올라감에 따라 자리의
값이 5배씩 커지는 수의 표시법.
 오진법의 전개식
5의 거듭제곱을 써서 전개한 식
243( 5)
2
5 의자리
5의자리
1의자리
오진법의 수 ⇔ 십진법의 수
(1) 오진법의 수를 십진법의 수로 나타내는 방법
오진법의 수 ⇒ 오진법의 전개식 ⇒ 계산
(2) 십진법의 수를 오진법의 수로 나타내는 방법
십진법의 수를 몫이 0이 될 때 까지 5로 계속 나눈다.
⇒ 각 나눗셈의 나머지를 역순으로 쓴다.
오진법의 덧셈과 뺄셈
덧셈에서는 각 자리에서 합이 5가 되면
그 윗자리로 1을 받아 올리고,
뺄셈에서는 윗자리의 1이 아랫자리의
5가 되어 내려온다.
이 진 법
수의 자리가 하나씩 올라감에 따라 자리의 값이 2배씩
커지는 수의 표시법
13  1 8  4 1 2  0 11
3
2
 1 2  1 2  11
 1101(2)
“이진법의 수 일일영일” 이라 읽는다
이진법의 전개식
2의 거듭제곱을 써서 수를 나타내는 식
1101(2)  1 2  1 2  0  2  11
3
2
1101(2)
2 3 자리
2 2 자리
2자리
1자리
이진법의 수
십진법의 수
(1) 이진법의 수를 십진법의 수로 나타내는 방법
이진법의 수 ⇒ 이진법의 전개식 ⇒ 계산
(2) 십진법의 수를 이진법의 수로 나타내는 방법
십진법의 수를 몫이 0이 될 때 까지 2로 계속
나눈다.
⇒ 각 나눗셈의 나머지를 역으로 쓴다.
이진법의 덧셈과 뺄셈
덧셈에서는 각 자리에서 합이 2가 되면
그 윗자리로 1을 받아 올리고, 뺄셈에서는
윗자리의 1이 아랫자리의 2가 되어 내려온다.
3. 자 연 수
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약수와 배수
소인수분해
공약수와 공배수
자 연 수
 몫과
나머지
자연수 a를 자연수 b로 나눌 때 몫을 q,
나머지를 r이라 하면
a  b q  r ( 0  r  b )
약수와 배수
자연수 a가 자연수 b로 나누어 떨어질 때
즉, a = bc 일 때
b를 a의 약수
a를 b의 배수 라 한다.
a=b c
b, c의 배수
특히 1은 모든 자연수의 약수
a는 자기자신 a의 약수이고 배수이다.
a 의 약수
특별한 수의 배수 찾기
 2의 배수
일의 자리의 수가 0 또는 2의 배수인 수
 5의 배수
일의 자리의 수가 0 또는 5인 수
 4의 배수
끝의 두 자리의 수가 00 또는 4의 배수인 수
 3의 배수
각 자리의 수의 합이 3의 배수인 수
 9의 배수
각 자리의 수의 합이 9의 배수인 수
소 수
 1이 아닌 자연수중 1과 그 자신 만을 약수로
가지는 자연수
 약수가 2개뿐인 자연수
예) 2, 3, 5, 7, 11, 13, …
합성수
1과 그 자신 외에 다른 약수를 가지는 자연수
1이 아닌 자연수 중에서 소수가 아닌 수
약수가 3개 이상인 자연수
 1은 소수도 합성수도 아닌 수이다 
소인수 분해
 인수
자연수 a가 자연수 b 와 c의 곱으로 나타내어질 때,
즉 a=b c일 때 b, c를 a의 인수라고 한다.
 소인수 : 소수인 인수
 소인수 분해 :자연수를 소수만의 곱으로 나타내는 것
 소인수 분해하는 방법
나누어 떨어지는 소수로 차례로 나누어 간다.
몫이 소수가 되면 그친다.
나눈 소수들과 마지막 몫을 곱셈부호 로 연결한다
소인수분해를 이용한 약수 구하기
2
3
A =a ×b (a ,b 는소수)의약수

1
1
1
a a
a
2
a
2
b
2
3
b
3
b
b
3
2
ab ab ab
2
2 2
a b a b a 2b 3
b
2
b
약수의 개수
자연수 N을 소인수분해하여
l
a ×b
m
×c
n
이면
(a, b, c는 서로 다른 소수)
(l  1)  (m  1)  (n  1)
공약수
두 개 이상의 자연수의 공통인 약수
예) 12의 약수 : ①, ②, ③, 4, ⑥, 12
18의 약수 : ①, ②, ③, ⑥, 9, 18
12의 약수
18의 약수
4
1
2
9
12
3
⑥
18
12와 18의 공약수
최대공약수
 공약수중에서 가장 큰 수
최대공약수의 성질
두 개 이상의 자연수의 공약수는
그들의 최대공약수의 약수이다.
 최대공 약수는 간 단히 G . C . D(G re ate s
Common Divisor)로 나타내기도 한다.
 서로소 : 1이외의 공약수가 없는 두 자연수
최대공약수를 구하는 방법
1) 소인수 분해를 이용하는 방법
24 = 2  2  2  3
60 = 2  2  3  5
2  2  3 = 12
공통인 소인수를
모두 곱한다.
2) 두 수의 공통인 소인수로 나누는 방법
2
3
3
36
18
6
2
54
27
9
3
최대공약수는
2  3  3
= 2  9
= 18
공배수
두 개 이상의 자연수의 공통인 배수
최소공배수 : 공배수 중에서 가장 작은 수
최소공배수의 성질
두 개 이상의 자연수의 공배수는
그들의 최소공배수의 배수이다.
 최소공배수는 간단히 L. C. M으로 나타내기도 한다.
 서로소인 두 자연수의 최소공배수는 두 자연수를 곱한
다.
최소공배수를 구하는 방법
1) 소인수 분해를 이용하는 방법
12 = 2  2  3
30 = 2  3  5
2  2  3  5 = 60
모든 인수를
곱한다.
2) 각 수의 공통인 소인수로 나누는 방법
2
3
12
6
2
30
15
5
최소공배수는
2325
=60