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제2장 집합 (Sets)
집합의 표현 (Representation of Sets)
집합의 연산 (Operations on Sets)
집합류와 멱집합 (Class and Power sets)
집합의 분할 (Partitions of a Set)
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2.1 집합의 표현 (Representation of Sets)
<정의2.1>
정의 2.1 집합의 정의
 수학적 성질을 가지는 객체들(objects)의 모임
 자세하고 정확하게 정의되어야 하며, 어떤 객체가 그 집합에
속했는지 아닌지를 분명히 구분할 수 있어야 한다.
 집합(set)이란 순서를 고려하지 않고 중복을 고려하지 않는
객체(object)들의 모임이다.
 집합의 표시 : 알파벳 대문자
집합의 원소 : 알파벳 소문자
A, B, C, , Z
a, b, c, ..., z
 aS : a가 집합 S의 원소임
aS : a가 집합 S의 원소가 아님
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Sets are inherently unordered: (순서가 중요치 않다!)
• No matter what objects a, b, and c denote,
{a, b, c} = {a, c, b} = {b, a, c} = {b, c, a} = {c, a, b} = {c, b, a}.
All elements are distinct (unequal); multiple listings make no
difference! (중복은 의미가 없다!)
• If a=b, then {a, b, c} = {a, c} = {b, c} = {a, a, b, a, b, c, c, c, c}.
• This set contains at most two elements!
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 집합의 표현
 원소 나열법 : 집합의 원소들을 하나하나 나열하는 방법
S = {1, 2, 3, 4, 5}
 조건 제시법 : 집합의 원소들이 가지고 있는 특정한 성질을
기술하여 나타내는 방법
S = {x | p(x) }로 표현
S = {x | x는 자연수이고 1 x  5}
 집합의 카디낼리티 (cardinality)
 집합 내에 있는 서로 다른 원소들의 개수
 |S|로 표기
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 예제 2.1, 2.2 풀이
 [Ex01]
집합 A가 원소 2, 4, 6, 8, 10을 갖도록 집합 A를 원소나열법
과 조건제시법으로 나타내어라.
[풀이]
원소나열법: 집합 A={2, 4, 6, 8, 10}
조건제시법: 집합 A={a| 2≤a≤10, a는 짝수}
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 유한 집합과 무한 집합
 유한 집합 (finite set)
원소의 개수가 0 또는 양의 정수 값을 갖는 집합
 무한 집합 (infinite set)
유한 집합이 아닌 집합
 전체 집합과 공집합
 전체 집합 (universal set)
 집합론의 응용에서 관심을 두는 모든 원소의 집합
 U로 표기
 공집합 (empty set)
 어떤 원소도 갖지 않는 집합
  또는 { }로 표기
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수학적인 원소의 전체 집합
 Z : 정수의 집합
Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}
 N : 자연수의 집합
N = {x | xZ, x > 0} = {1, 2, 3, ...}
 R : 실수의 집합
 Q : 유리수의 집합
Q = {x/ y | x, y Z, y  0}
 Sn : 1부터 n까지의 자연수의 집합
Sn = {x | x N, x  n} = {1, 2, ..., n}
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부분 집합과 진부분 집합
 부분 집합 (subset)
두 집합 A, B에서 집합 A의 모든 원소가 집합 B 의 원소이면 “집합 A는
집합 B에 포함된다” 라고 하고 A  B로 표기한다. 이 때 집합 A는 집합 B의
부분 집합 이라 한다. 집합 A가 집합 B의 부분 집합이 아니면A 
B로
표기한다.
 진부분 집합 (proper subset)
A  B 이고 A  B 인 경우에는 A를 B의 진부분 집합 이라 하고,
A  B 로 표기한다.
A가 B의 진부분 집합이 아니면 A  B 로 표기한다
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 예제 2.3 ~ 2.5 풀이
<예제2.6>
집합 S = {1, 2, 3} 의 부분 집합과 진부분 집합을 구하라.
예제 2.6
 원소의 개수가 n개인 집합의 부분 집합의 개수
: 2n
원소의 개수가 n개인 집합의 진부분 집합의 개수 : 2n - 1
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동일 집합과 여집합
 동일 집합 (equal sets) (정의 2.5) 예제 2.8
집합 A, B는 다음과 같을 때 동일 집합이라 하고, A = B로 표기한다.
A  BB  A
집합 A와 B가 동일하지 않으면 A  B 로 표기한다.
 여집합 (complement) (정의 2.6)  예제 2.9
집합 A의 여집합은 전체 집합 U에 속하나 A에 속하지 않는 원소들의
집합을 나타내며 A로 표기한다.
A = {x | xU, x A }
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정리2.1
정리 2.1
임의의 집합 A, B, C와 전체 집합 U에 대하여 다음이 성립한다.
(1)   A  U
(2) A  A
(3) A  B  B  C  A  C
(4) A  B  B  A  A = B
(5)   {},   {}
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2.2 집합의 연산 (Operations on Sets)
 합집합 (union) : A∪ B  예제 2.10
 A∪ B = {x | x  A  x  B}
 그림 2.2
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 교집합 (intersection) : A ∩ B  예제 2.11
 A ∩ B = {x | x A  x  B}
 A ∩ B =   A, B는 서로 소 (disjoint)
 그림 2.3
U
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 차집합 (difference) : A – B  예제 2.12
 A - B = { x | x  A  x  B}
 그림 2.4
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 대칭 차집합 (symmetric difference) : A  B  예제 2.13
 A  B = { x | x  A ∪ B  x  A∩ B}
= { x | x  A – B  x  B – A}
= { x | (x  A  x  B)  (x  A  x  B)}
= { x | x  ((A ∪ B) – (A∩ B))}
 그림 2.5
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 곱집합 (cartesian product) : A  B  예제 2.15
 순서쌍 (ordered pair) :순서로 구분되는 원소들의 쌍
예제 2.14>
2.14
(1) {a, b} = {b, a}
(2) {a} = {a, a} = {a, a, a}
(3) (a, b)  (b, a)
(4) (a, a)  (a)
(Cartesian product는 교환법칙이 성립하지 않는다.)
정의 2.7
임의의 두 집합 A, B의 곱집합은 aA이고 bB인 모든 순서쌍의 집합
(a, b)를 말하며 A  B로 표기한다.
A  B = {(a, b) | a A, b B}
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집합 연산의 카디낼리티
 |A ∪ B| = |A| + |B| – |A ∩ B|
 |A ∩ B| = |A| + |B| – |A ∪ B|
 |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| – |A ∩ B| – |A ∩ C| – |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|
 |A – B| = |A∩ B| = |A| – |A∩ B|
 |A  B| = |A| · |B|
<예제2.16> 집합 A, B, C가 유한 집합이고 |A| = 8, |B| = 7, |C| = 10,
|A2.16
∩ B| = 3, |A ∩ C| = 4, |B ∩ C| = 5, |A ∩ B ∩ C| = 2일 때
예제
|A ∪ B ∪ C|와 | A  B|를 구하여라.
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집합의 대수 법칙
 표 2.1
멱등 법칙(idempotent law)
1. A ∪ A = A
A∩A=A
2. A ∪  = A ,
A∩=
A∪U=U ,
A∩ U=A
3. A ∪ B = B ∪ A
항등 법칙 (identity law)
교환 법칙(commutative law)
A∩B=B∩ A
4. (A ∪ B) ∪ C= A ∪ (B ∪ C)
결합 법칙(associative law)
(A ∩ B) ∩ C= A ∩ (B ∩ C)
(A  B)  C= A  (B  C)
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5. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
분배 법칙 (distributive law)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
6. (A ∩ B) ∪ A = A
흡수 법칙 (absorption law)
(A ∪ B) ∩ A = A
보 법칙 (complement law)
7. A = A
8. A ∪ A = U ,
A∩A= 
역 법칙 (inverse law)
U=, =U
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9. (A ∪ B) = A ∩ B
드 모르간 법칙(DeMorgan’s law)
(A ∩ B) = A ∪ B
10. A – B = A ∩ B
기타 법칙
A–A=
A– =A
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 쌍대 (duality)
집합에 관한 명제에서 그 명제 안에 있는 교집합과 합집합을,
전체 집합과 공집합을 서로 바꾸어서 만들어진 새로운 명제를
원래 명제의 쌍대라고 한다.
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2.3 집합류와 멱집합 (Class and Power sets)
 집합류(class)
임의의 집합 X에 대한 부분집합들의 모임
 멱집합 (Power Sets)
임의의 집합 S에 대하여 S의 모든 집합을 원소로 갖는 집합을 집합 S의
멱집합이라 하고, P(S)로 표시한다.
P(S) = {A | A  S}
|P(S)| = 2|S|
예제 2.20
<예제2.20>
(1) P() = {}
(2) P({1}) = { , {1}}
(3) P({1, 2}) = {, {1}, {2}, {1,2}}
예제 2.21 집합 A = {a, b, {a}}라고 할 때 집합 A의 멱집합 P(A)를
<예제2.21>
구하여라.
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Generalized Union (합집합의 일반화)
Binary union operator: AB
n-ary union:
A1A2…An = ((…((A1 A2) …) An)
(grouping & order is irrelevant)
n
“Big U” notation:
A
i
i 1
Or for infinite sets of sets:
A
A X
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Generalized Intersection (교집합의 일반화)
Binary intersection operator: AB
n-ary intersection:
A1A2…An((…((A1A2)…)An)
(grouping & order is irrelevant)
n
“Big Arch” notation:
A
i
i 1
Or for infinite sets of sets:
A
A X
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2.4 집합의 분할 (Partitions of a Set)
 집합 S의 분할
 = {A1, A2, A3, ..., Ai , ..., Ak }
 i = 1, 2, ..., k에 대하여 Ai  S,
Ai  
 S = A1 ∪ A2 ∪... ∪ Ak
 i  j 이면, Ai ∩ Aj = 
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집합의 분할(계속)
 [예제 2.23]
자연수의 집합을 짝수와 홀수로 분할하여라.
[풀이]
자연수 전체의 집합을 N이라고 하고, 홀수의 집합을 A1, 짝
수의 집합을 A2라고 하면
A1={x|n∈N, x=2n-1}
A2={x|n∈N, x=2n}
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컴퓨터에서 집합의 표현
표현 방법
•
전체 집합 U가 유한집합이라 가정하고, U의 원소들을 a1, a2, …, an과 같이 순서를 매
긴다.
•
U의 부분집합 A를 길이 n의 비트열(bit string)로 표현한다.
− ith bit = 1 if aiA, 0 otherwise
예제:
•
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10}
•
홀수 정수를 포함하는 부분집합을 표현하는 비트열 = 1010101010
•
짝수 정수를 포함하는 부분집합을 나타내는 비트열 = 0101010101
집합 연산과 컴퓨터 연산의 관계
•
합집합(union) = Bitwise OR
•
교집합(intersection) = Bitwise AND
•
여집합(complement) = Bitwise NOT
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