Transcript ch02

2주차 – 수학적 배경
주교재 2장
목차

정수론

법연산

유한체

NP 문제
정수론

R : 실수 집합

Z : 정수 집합

N : 자연수 집합

Zm : { 0, 1, 2, … , m-1}



m : 소수, 합성수
소수(prime number)

1과 자신으로만 나누어지는 수

약수가 1과 자신밖에 없는 수
서로소

두 정수 a와 b의 공약수가 1밖에 없는 경우, 서로소라고 한다.
정수 연산

덧셈


곱셈



a, b ∈ Z → a + b ∈ Z
a, b ∈ Z → a ⅹ b ∈ Z
항등원

a + b = a ∈ Z , b는 덧셈 항등원

a ⅹ b = a ∈ Z , b는 곱셈 항등원
역원

a + c = 0 ∈ Z , c는 a의 덧셈에 대한 역원

a ⅹ c = 1 ∈ Z , c는 a의 곱셈에 대한 역원
공약수와 공배수

약수와 배수


b = a ∙c → a|b , c|b : 약수는 왼쪽에 배수는 오른쪽에
공배수

a|b , c|b → b는 a와 c의 공배수

최소공배수


lcm : least common multiple
공약수

a|b , a|c → a는 b와 c의 공약수

최대공약수

gcd : greatest common divisor
법 연산

합동식



a-b = mk
완전 잉여계 (complete residue system)

법 m에 대한 완전 잉여계

Zm = {0, 1, 2, … , m-1}
기약 잉여계 (reduced residue system)


a ≡ b mod m → m|(a-b) ,
Zm* = {a ∈ Zm | gcd(a, m) = 1}
오일러(Euler) 함수

Φ(m) = | Zm* |
잉여계 예

완전 잉여계


기약 잉여계


Z9 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }
Z9* = {1, 2, 4, 5, 7, 8 }
Question : Φ(97) = | Z97* | = ?

힌트 : 97은 소수이다

정답 : 96

그렇다면, p가 소수일 때, Φ(p) = | Zp* | = p-1
Euler 함수 Φ(m)의 계산

Φ(m) = Φ(ps ⅹ qt ⅹ ru )
= (ps – ps-1 ) (qt – qt-1 ) (ru – ru-1 )
= m (1-p -1) (1-q -1) (1-r -1)
단, p, q, r 은 소수.

예

Φ(7) = (71-70) = 6

Φ(15) = Φ(3 ⅹ5) = (3 – 1)(5 – 1) = 8

Φ(9) = Φ(32) = (32 – 31) = 6
Euler의 정리와 Fermat의 정리

기약 잉여계



오일러의 정리
m은 소수 또는 합성수

페르마의 정리
p는 소수
유클리드(Euclid) 호제법

직접 계산하는 방법
일반적인 표기법
(판서)

1차 결합 만들기
역원 계산

원시근

위수

기약 잉여계에서

→ 이 식을 만족하는
가장 작은 양의 정수

원시근


위수가 Φ(m)인 원소 a를 원시근(원시원소, 생성자)이라고 한다.

m값에 따라서 원시근이 없는 기약 잉여계도 있다.

m이 소수이면 반드시 1개 이상의 원시근이 있다
이산 대수 (discrete logarithm)

이산 대수
이차 잉여

이차 잉여

이차 비잉여

이차 잉여 예 (Z13)

이차 잉여 :

이차 비잉여 :
유한체(Finite Field)


유한체의 조건

가감승제 정의

유한 집합

대소관계 무

연속성 무
갈로아체(Galois field)




법 p가 소수인 기약 잉여계
유한체 예


가산
유한체 예(계속)

승산

누승
유한체 예(계속)



원시근


위수


3, 5
2, 3, 6 | 6
이산 대수

- NP 문제
유한체와 확대체

유한체




확대체




확대체 연산




확대체 예






원소들
문제와 계산 복잡도 이론


계산 복잡도 이론

문제를 해결하는 알고리즘의 복잡도(시간, 공간)를 분류하기 위한
이론

O notation, Ω notation, Θ notation
문제(Problem)의 분류

풀 수 없는 문제

풀 수 있는 문제

쉬운 문제 (feasible)


P문제 (다항식 시간 문제) : 문제 해결을 위한 다항식 복잡도의 결정적 알고
리즘이 존재하는 경우
어려운 문제 (infeasible)

NP문제 (지수식 시간 문제) : 문제 해결을 위한 다항식 복잡도의 비결정적
알고리즘이 존재하는 경우