Transcript Exponential함수

최소 자승 오차법
(Least Squares Method)
7조
홍윤호(2003200449)-1등
이건우(2005200431)-2등
조영선(2004200744)-3등
정진웅(2005200444)-4등
정다운(2007102858)-5등
주어진 데이터 점(independent variables)들을 이용하여
두 점들 사이의 값(dependent variable)을 추정하는 방법
Example) 디지털 온도계
전자
회로
온도
전압
관계식?
화면 출력
가장 정확한 방법은
모든 온도에서의 전압을 측정
현실적으로 불가
전압(Y)
30mA
10mA
0
100
온도(X)
두 온도에서의 전압을 토대로 구한 함수식을 통하여
0도와 100도 사이의 값을 추측할 수 있을까?
0도와 100도 사이에 몇 개의 온도를 측정해
그래프에 나타내었다.
최적의 그래프?
?
?
어떠한 그래프가 결과조건을
최대한으로 만족할까?
오차율이 제일 작은 그래프는?
?
최적의 그래프가 선형적(linear)이라고 가정하자.
일차 함수
(xi, yi)
ei
Data가 i개 있다고 가정하면
ei 값들의 표준편차를 최소로 만드는 값에 해당
되는 함수가 최적의 그래프이다.
계산 방법
(xi, yi)
en
ei
(x1, y1)
(xn, yn)
e1
e2
(x2, y2)
Data
Residual
x
y
e
x1
y1
y1-(ax1+b)
x2
y2
y2-(ax2+b)
…
…
…
xn
yn
yn-(axn+b)
미분을 이용해 a,b값 구하기
=
두 일차 연립 방정식을 계산하면
a 와 b의 값을 구할수 있다.
행렬을 이용한 풀이 방법
측정한 모든 점과
기준점을 연결하여
점의 개수만큼의
그래프를 그렸다고 하자.
y1=a x1 +b
y2=a x2 +b
…
yn=a xn +b
행렬식으로 위의 함수들을 나타내면
x₁
1
x₂
1
·· ·· xn
·· ·· 1
2xn
x₁
x₂
··
··
xn
1
1
··
··
1
n×2
a
b
2×1
=
x₁
y₁
1
y₂
··
··
yn
x₂
1
·· ·· xn
·· ·· 1
n×11xn
a,b값을 구하기 위해 양 변에 A행렬의
트랜스 포즈 AT 를 곱해준다
Exponential, 고차원함수
「Exponential함수」
「 고차원함수 」
Exponential 함수 또는 고차 함수에서도 최소오차법을
적용 할 수 있다.
위와 같은 행렬식을 이용하면 비선형성을 가진
다른 함수들에도 적용하여 문제가 해결 가능하다.
추정함수
추정함수 예
1차식
지수식
고차 다항식
다변수 함수
타원
방정식
컴퓨터 프로그램인 MATLAB을 이용하면
답을 보다 쉽게 계산할수 있다.
<기 본 y=a*t+b 그 래 프 >
<난 수 발 생 함 수 >
3000
400
200
2000
0
1000
0
-200
0
20
40
60
80
100
-400
<기 본 함 수 +난 수 함 수 >
3000
2000
2000
1000
1000
0
20
40
60
80
20
40
60
80
100
<최 소 자 승 오 차 법 을 이 용 한 그 래 프 >
3000
0
0
100
0
0
20
40
60
80
100
입력값 : a=20, b=200
최소자승오차법을 이용하였을때 얻은 값 : a=19.93, b=204.49
<기 본 y=a*t. 2+b*t+c 그 래 프 >
<난 수 발 생 함 수 >
100
10
5
0
0
-100
-200
-5
0
20
40
60
80
100
-10
<기 본 함 수 +난 수 발 생 함 수 >
100
0
0
-100
-100
0
20
40
60
80
20
40
60
80
100
<최 소 자 승 오 차 법 을 이 용 한 그 래 프 >
100
-200
0
100
-200
0
20
40
60
80
100
입력값 : a=-2, b=3, c=4
최소자승오차법을 이용하였을때 얻은 값 : a=-2.11, b=2.54, c=4.14