Transcript 6 장 비점성, 비압축성 유체의 흐름

6 장 비점성, 비압축성
유체의 흐름
유체 및 해안 연구실
6.1 오일러의 연속방정식 : 질량보존법칙
6.1.1 1차원 흐름의 연속방정식
그림 6.1 1차원 연속방정식
단면➀과 ➁의 질량 차 = 단면 ➀, ➁내의 질량의 시간 변화
6.1.1 1차원 흐름의 연속방정식
 질량유량을 생각한다.
단면 ➀에서의 질량유량 :
단면 ➁에서의 질량유량 :
➀ 단면 ➀과 ➁의 질량 차
=
=
➀
➁ 단면 ➀, ➁내의 질량의 시간변화
=
➁
6.1.1 1차원 흐름의 연속방정식
➀=➁:
정상류에 대해서는
비압축성에 대해서는 (정상류)
(일차원 흐름의 연속방정식)
6.1.2 연속방정식의 일반형
 유입질량 – 유출질량 = 유체요소내의 질량의 시간변화
• 세 변이
인 미소육면체를 생각.
• 미소육면체의 중심점
• 중심점의 각방향속도
6.1.2 연속방정식의 일반형
➀ 유입질량 - 유출질량 : 먼저 단위면적당 질량유량을 생각.
•x방향 : 단위면적당 유입질량유량 :
단위면적당 유출질량유량 :
•x방향 : 유입질량 – 유출질량
=
=
➀
6.1.2 연속방정식의 일반형
동일한 방법으로
• y방향 : 유입질량 – 유출질량
=
➁
• z방향 : 유입질량 – 유출질량
=
➂
• 요소내의 질량의 시간변화
➃
6.1.2 연속방정식의 일반형
• 비압축성 유체로 가정하면
(정상, 비압축성 유체의 3차원 연속방정식)
예제 6.2 연속방정식의 일반형
• 비압축성 유체의 흐름장이 다음과 같을 때 연속방정식을 만족하는 지
검토하라.
• 이 흐름장은 연속방정식을 만족시키지 않는다.
6.2 완전유체의 운동방정식
6.2.1 1차원 흐름의 오일러 방정식 : 운동방정식
미소 원통형 유체요소에 뉴턴의 제2법칙(
)을 적용
6.2.1 1차원 흐름의 오일러 방정식 : 운동방정식
➀
(미소 유체 질량)
➁
(정상류)
➂
➀, ➁, ➂으로부터
➃
식 ➃를
로 나누고 정리하면
1차원 Euler의 운동방정식
6.2.2 오일러 운동방정식의 일반형
그림 6.4 오일러의 운동방정식

,
6.2.2 오일러의 운동방정식
• F는 체력과 압력에 의한 힘이 존재
• 마찬가지 방법으로,
6.2.2 오일러 운동방정식의 일반형
• 실질미분을 이용하면,
• 오일러 운동방정식의 일반형
6.3 오일러 운동방정식의 적분과 베르누이 방정식
• 비압축성 유체라 가정하고 적분하면,
(1차원 베르누이 방정식)
: 속도수두 (velocity head)
: 압력수두 (pressure head)
z : 위치수두 (elevation head)
H : 총수두 (total head)
• 기본가정
1.
2.
3.
4.
정상흐름
비압축성유체
비점성(마찰없음)
한 유선을 따르는 흐름
예제 6.4 노즐흐름에의 적용
•
•
•
•
노즐입구면적 = 0.1 m2
노즐출구면적 = 0.04 m2
노즐출구속도 = 10 m/sec가 될 때의
단면 1에서의 압력은?
• 단면 1과 2에 베르누이 방정식을 적용하면
• 연속방정식을 이용하면,
6.3.2 베르누이 방정식의 일반형
• 속도포텐셜 함수와 힘포텐셜 함수를 도입하면,
• 오일러의 운동방정식에 적용하면,
비회전 흐름에 대한
베르누이 방정식의 일반형
예제 6.7】 역학적 에너지 보존법칙을 이용한 베르누이 방정식의 유도
ABCD로 구성되는 검사체적이 dt시간 동안 A`B`C`D`검사체적으로 이동하였
다고 가정할 때 두 체적이 갖고 있는 총 에너지는 동일하다.
에너지 손실이 없다고 가정하면 A`B`CD부분의 에너지는 공통이므로
예제 6.7】 역학적 에너지 보존법칙을 이용한 베르누이 방정식의 유도
 Ⅰ부분의 역학적 에너지 = Ⅱ부분의 역학적 에너지
그런데,
또,
①
①
6.3.3 동수경사선과 에너지경사선
그림 6.5 동수경사선과 에너지경사선
6.4 베르누이 방정식의 응용
➀ 오리피스
작은 오리피스
큰 오리피스
➁ 피토관 : 유속측정 (점유속)
➂ 벤추리미터 (관흐름) : 유량측정장치
➃ 비정상 유출
➄ 베르누이 방정식의 확장
예) 펌프와 터빈 (에너지를 고려한 경우)
6.4.1 정상류 흐름의 응용
1. 소오리피스로부터의 유출
대기압
무시 (수조의 단면적이 오리피스의
단면적에 비해서 상당히 크기 때문)
(이론 유속)
그림 6.6 오리피스에 의한 유출
6.4.1 정상류 흐름의 응용
(유속계수 ⅹ이론유속)
실제 분류는 분류지름의 몇 배 되는 거리에서 최소 단면을 갖는데 이
최소 수축 단면을 축류 (vena contracta)라 부름
(수축계수)=
(최소단면의 단면적) /
(오리피스 단면적)
【예제 6.8】 소오리피스
➀
1
2
3
그림 E6.8
【예제 6.9】 소오리피스
 분류의 직경 d를 수두 H와 수조로부터 수축단면까지의 거리 y로 표시하여라.
단면 ➀에서의 속도
오리피스로부터 만큼 떨어진 곳에서의
분류의 속도
【예제 6.9】 소오리피스
이 지점에서의 유량은
연속방정식으로 부터
⇒
d에 대해서 풀면
6.4.1 정상류 흐름의 응용
2. 피토관(pitot tube)
(양변에 물의 단위중량 를 곱하면 압력을 나타내는 항으로 표시할 수 있음.)
동압력 정압력 위치압력
6.4.1 정상류 흐름의 응용
그림에서 점 O와 S에 베르누이정리를 적용
⇒ 정체점에서의 압력 = 정압력 + 동압력 ⇒ 총 압력
• 총압력과 정압력을 구하고
이것으로부터 점유속을
측정하는 장치를 피토관(Pitot
tube)라 한다.
6.4.1 정상류 흐름의 응용
∆h
∆h
하천
h
①
②
①
②
【예제 6.12】 피토관
관속에 유속은?
………… ➀
⇒
그림 E6.12
⇒
【예제 6.12】 피토관
……………………….➁
➁식을 ➀에 대입
6.4.1 정상류 흐름의 응용 (벤추리미터)
• 베르누이방정식을 적용하면
• 실제유량
6.4.2 비정상류에의 응용
탱크의 수면이 임의 높이로 감소 시간
그림 6.12 수조로부터의 비정상 유출
6.4.2 비정상류에의 응용
수면의 강하속도
➀
줄어드는 유량
➁
오리피스를 통해 유출하는 유량
➂
➁=➂
➃
6.4.2 비정상류에의 응용
➃식을 적분하면
6.5 확장형 베르누이 방정식
→
→
: 유체의 단위 무게당에 대해서 펌프가 해준 일
: 단위무게의 유체가 터빈에 작용한 일
• 펌프에 의한 동력
(동력 :
) ),
• 펌프의 효율
→ 이론동력
→ 실제동력
의 차원⇒
6.5 확장형 베르누이 방정식
• 펌프의 실제 소요동력
• 터빈에 의한 동력
• 터빈의 효율
• 터빈으로부터 출력되는 실제동력
【예제 6.16】 베르누이 방정식의 확장
 펌프를 구동하는데 필요한 마력을 계산하여라. (펌프의 효율은 80%)
그림 E6.16
(탱크와 수조의 단면이 관의 단면보다 휠씬 크기 때문)
【예제 6.16】 베르누이 방정식의 확장