Transcript 5장 검사체적을 이용한 흐름장의 해석

5장 검사체적을 이용한
흐름장의 해석
수공학연구실
5.검사체적을 이용한 흐름장의 해석
미분적 접근 방법
검사체적 방법
실험 또는 차원 해석
1. 질량보존의 법칙
계해석(강체) 2. 운동량 법칙
3. 각운동량 법칙
← 변환 (수송정리)
검사체적(유체) ⇒ 오일러적 해석
⇒ 라그랑지적해석
5.1 계(system)와 검사체적(control volume)
5.1.1 계(system) 해석
• 계 - 고정되고 동일성을 갖는 물질의 집합(경계에 의해 주위와 분리)
• 주위 - 계의 외부의 모든 부분
1. 질량보존법칙
,
(m : 질량, st : 계)
2. 뉴튼의 제 2법칙 또는 선형운동량 보존법칙
: 계에 작용하는 외력의 합
: 가속도 벡터
: 속도벡터
※뉴턴의 제2법칙은 계에 작용하는 외력의 합이 계의 운동량
의 시간변화율과 동일
5.1.1 계(system) 해석
3. 각운동량의 원리
 계에 작용하는 모멘트의 합이 각운동량의
시간변화율과 동일하다는 것을 의미
• 모멘트는 표면력(surface)과 체적력(body force)에 의해 생성
• 질량중심에 대한 각운동량 (미소질량 dm)
5.1.2. 검사체적의 개념
• 검사체적 : 한 좌표에 대하여 설정된 임의 공간영역
• 검사표면 : 검사체적의 기하학적 경계면
그림 5.1 관수로 흐름해석을 위한 검사체적
5.1.2 검사체적의 개념
그림 5.2 고정검사체적과 이동검사체적
5.2 계 해석으로부터 검사체적 해석으로의 변환
5.2.1 유량 또는 질량유량의 표현
• 체적유량, Q(flowrate discharge) : 단위시간당 흐르는 유체의 체적
단위 (
)
• 질량유량, (flowrate of mas or mas flux) : 단위 시간당 질량
• 질량플럭스(mass flux) 라고도 함.
(1) 균일한 속도로 검사표면에 수직하게 통과하는 경우
- 검사표면을 통해서 일정한 속도 Vn 으로 수직하게 통과하는 경우
5.2.1 유량 또는 질량유량의 표현
(2) 속도와 방향이 검사표면에 따라 변화하는 경우
- S면상에 미소면적 dA를 취하고, 이곳을 통과하는 미소유량 dQ를
구하여 전체유량 Q를 구한다.
그림 5.3 임의의 표면을 통과하는 유량
5.2.1 유량 또는 질량유량의 표현
• 질량유량은 체적유량에 밀도를 구하면 얻을 수 있다.
• 밀도가 일정한 비압축성 유체의 경우
• Vn이 전단면 S에 걸쳐 일정한 경우에는
【예제 5.2】 유량산정
5.2.2 임의의 형태를 가진 고정 검사체적
(1) 계와 검사체적의 선정
• 시각 t일때의 검사체적 : (Ⅰ+Ⅱ)(시각 t일 때의 계)
• 시각 t+△t일때의 검사체적 : (Ⅰ+Ⅱ)(시각 t +△t 일 때의 검사체적)
• 시각 t +△t 일때의 계 : 시각 t +△t 일때의 검사체적에서 검사표면
CS2를 통해 흘러간 양(Ⅲ)은 더한 값에 CS1 을 통해 유입한 양(Ⅰ)
을뺀값
5.2.2 임의 형태를 갖는 고정 검사체적
(2) 물리적 특성량과 단위 질량당 특성량
• X : 유체의 특성을 대표하는 양( 질량, 운동량, 에너지 등)
• dX : 질량이 dm인 미소 유체요소가 갖는 특성량
• x : 단위 질량당 특성량
• 검사체적 내의 특성량은?
• st : 계(system)
• CV : 검사체적
• CS : 검사표면
• x=1 이면, 검사체적 내 총 질량
• x= 이면, 운동량
(3) 레이놀즈 수송이론
• 계의 기본법칙(1)질량보존법칙, (2)선형운동량 보존법칙, (3)각
운동량의 원리는 유체 특성량의 시간변화율 d(Xst)/dt로 표시됨.
• Xst의 시간변화율(계)과 XCV 의 시간변화율(검사체적)의 관계를
살펴보자.
(5.13)
(5.14), (5.15)
(5.14)
• 시각 t일 때 계와 검사체적이 일치하므로
(5.15)
(3)레이놀즈 수송이론
①
• 검사체적 내에 포함된 X의 시간변화율
②
③
(3)레이놀즈 수송이론
Δt 시간 동안 면적 dA를 가로질러
떠나는 유체의 체적
(3)레이놀즈 수송이론
(미소 면요소 dA를 통과하는 X의 미소량)
(유출)
(유입)
(3)레이놀즈 수송이론
• 식( 5, 17), (5.21), (5.22)를 식 (5.16)에 대입하면
(5.23)
(레이놀즈의 수송정리)
(3)레이놀즈 수송이론
(5.25,레이놀즈 수송정리)
• 어떤 특성량 X의 계에 대한 도함수가 검사체적에 대한 식으로
변환될 수 있다.
• 기본법칙(질량, 운동량, 에너지 보존법칙)에 레이놀즈
수송정리를 적용하면, 기본법칙에 대한 검사체적식을 구할 수
있다.
5.3 질량 보존 법칙
• 레이놀즈 수송정리(5.23, 5.25)을 질량보존법칙에 적용
• 질량보존법칙
• 식(5.25)에 x=1을 대입하면
(적분형 연속방정식)
8.3 질량보존법칙
(정상흐름 이라면)
유입 = 유출
• 유·출입구가 다수 존재하고, 그 곳에서의 속도와 밀도가 각
단면에서 균일하다면
여기서, N : 유입구의 수, M : 유출구의 수
5.3 질량보존 법칙
예)유입구 2개, 유출구 3개인 경우
5.3 질량보존법칙
• 비압축성 유체로 가정하면
(체적유량, Q), 통상 유량이라고 함
(1차원 연속방정식)
•
유입구와 유출구가 하나씩만 존재한다면
•
비압축성 유체라면,
【예제 5.4】 연속방정식의 적용
【예제 5.4】 연속방정식의 적용
5.4 운동량 방정식
• Newton의 제2법칙에 식(5.25)를 적용하면, 검사체적에 대한
운동량방정식을 구할 수 있음.
(5.25)
(5.35)
• 검사체적 내의 물질에 작용하는 모든 힘(
)
= 검사체적 내의 질량에 작용하는 체력(body force)
+ 검사표면에 작용하는 모든 표면력(surface force)
5.3 질량보존법칙
[벡터 형태의 식]
(운동량 플럭스)
[스칼라 형태의 식]
검사체적 내의
단위시간 동안에 검사표면을
운동량의 시간변화율 통해서 유·입하는 운동량의 차
• 다수의 유출입구가 있고, 유출입구 각 단면에서 속도와 밀도가
균일하다고 가정하면
5.5 정상류에 대한 운동량 방정식의 적용
• 정상류 흐름인 경우에는
(벡터 식)
(스칼라 식)
• 입구와 출구가 각각 하나씩 존재한다면
5.5 정상류에 대한 운동량 방정식의 적용
5.5.1 운동량방정식을 이용한 베르누이 방정식의 유도
•
마찰이 없는 정상흐름에 대한 에너지식은 베루누이
방정식이라 하며, 압력, 속도, 및 위치와 관계가 있음.
• 기본가정
• 흐름은 정상류
• 속도 및 압력은 유선에
대해서만 변화
• 비압축성 유체
5.5.1 베르누이 방정식의 유도
• 유선 S방향으로 운동량방정식 적용
• 완전유체로 가정(마찰력무시), 압력과 중력에 의한 힘만 작용.
(미분형태의 1차원 오일러 운동방정식)
5.5.1 베르누이 방정식의 유도
• 두 점 1과 2 사이에서 적분하면,
• 각 항은 길이 [L]의
차원으로, 단위중량당
에너지를 의미한다.
【예제 5.6】 베르누이 방정식의 적용
• 축소부에서의 유속(V2)과 압력(p2 ) = ?
【예제 5.6】 베르누이 방정식의 적용
5.5.2 분류가 고정된 연직평판에 작용하는 경우
비압축성 유체 ⇒
예제 5.7 고정된 수직평판에 작용하는 힘
• 고정된 수직평판에 직경 3cm의 분류가 V=30m/sec으로 충돌할 때
수직평판에 작용하는 힘.
【예제 5.8】 수평평판에 작용하는 힘
A=0.09m2, W=2.5kg중(비어있을때), 높이 0.57m, V1=1.5m/sec 일 때
단면 ②, ③을 통해 유출할 때 저울의 눈금을 구하여라.
(1, 2, 3점의 단면적은 0.009m2, 정상류)
【예제 5.8】 수평평판에 작용하는 힘
5.5.3 고정되어 있는 곡관의 경우
• 기본가정
1. 속도 V1은 수평방향과 일치
2. W는 물의 자중
3. Fp1, Fp2는 단면 1,2 에서의 압력에 의한 힘
5.5.3 고정되어 있는 곡관의 경우
• 입구와 출구가 한 개 씩인 경우의 운동량 방정식은,
• x 방향의 운동량방정식
• 유량(Q)과 단면 1, 2에서의 압력 p1, p2가 주어지면
검사체적에 적용하는 수평반력 Rx를 구할 수 있음.
5.5.3 고정되어 있는 곡관의 경우
• y 방향의 운동량방정식
• 관에 미치는 반력 R
【예제 5.9】 고정된 곡관의 경우
곡관에 작용하는 힘?
【예제 5.9】 고정된 곡관의 경우
【예제 5.9】 고정된 곡관의 경우
【예제 5.9】 고정된 곡관의 경우
5.5.4 고정 날개에 작용하는 힘
• 분류의 두께가 얇은 경우 단면 1,2에서의 압력에 의한 힘과 검사체적
내의 물의 중량 무시
예제 5.10 고정날개
• 고정날개에 충돌할 때 날개가 받는 힘
5.5.5 월류수류에 의해 댐이 받는 힘
• 입출구가 1개 씩
• 수평흐름이므로 반력은
x방향 1개만 존재
【예제 5.11】 댐 위를 월류하는 흐름
그림 5.12와 같이 댐 여수로 위를 물의 월류하고 있다. 물이 댐에 가하는
수평력(Rx)을 구하라. 단 여수로의 폭은 10m이고, y1=10m, y2=2m이다.
➀
연속방정식으로 부터
➁
➁
➀식과 ➁식을 연립해서 풀면
,
,
【예제 5.11】 댐 위를 월류하는 흐름
입구와 출구가 하나씩이므로
= 480000-26681.43 = 213028.57 kg 중
【예제 5.12】 수문 밑을 지나는 흐름
수문아래로 물이 흐르고 있다.
일 때 수문에 작용하는 단위폭당 힘?
【예제 5.12】 수문 밑을 지나는 흐름
• 연속방정식과 베르누이 방정식을 적용하면
5.5.6 일정속도로 이동하는 검사체적
• 수평에 대해 각 Θ로 구부러진 날개가 노즐의 분사에 의해 수평방향으로
일정속도 U로 마찰 없이 이동하는 경우.
그림 5.13 이동검사 체적
5.5.6 일정속도로 이동하는 검사체적
• 검사체적에 올라타서 함께
이동한다고 가정
• 관찰자에 대해서 검사체적이
고정됨.
• 유속에 대해서 관찰자에 대한
식으로 표현함. (V-U)
• 각 속도 성분들은
【예제 5.14】 이동하는 날개에 작용하는
일 때 날개에 작용하는 힘은?
힘
【예제 5.14】 이동하는 날개에 작용하는 힘
5.6 각 운동량 방정식
5.6 각운동량 방정식
• 정상류이며, 입구와 출구의 각 단면에서 유속과 밀도가 균일한 경우
(5.62, 스칼라형태)
(5.61, 벡터형태)
• 벡터형태식 사용시 주의사항
1. 벡터식이므로 3개의 스칼라량을 갖는다.
2.
는 검사체적 내의 1점(또는 1축)에 관해서
검사체적에 작용하는 모든 모멘트를 합한 양이다.
5.6 각 운동량 방정식
• 각운동량 방정식을 이용하여, 고정점
A에 걸리는 모멘트 TA를 구해보자.
예제 5.15 원심펌프에 작용하는 토크(회전모멘트)
1. 날개에 작용하는 토크식 T0를 구하라.
• 각속도 ω로 회전하는 펌프
• 속도는 V1에서 V2로 변함.
• 압력은 p1에서 p2로 변함.
예제 5.15 원심펌프에 작용하는 토크(회전모멘트)
2. 토크와 공급된 동력을 계산하라.
(수직속도)
(선단속도)