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Final Examination, 2008 Fluid Mechanics Professor Joon Hyun Kim Chapter 3 FLUID-FLOW CONCEPTS AND BASIC EQUATIONS 제3장 유체유동의 개념과 기본 방정식 3.1 Flow Characteristics; Definitions 3.1 흐름의 특성 및 정의 3.1-1 유동의 종류를 설명하고, 유선방정식을 유도하라 흐름은 난류와 층류, 실제유동과 이상유동, 가역유동과 비가역유동, 정상유동과 비정상유동, 등류와 부등류, 회전유동과 비회전유동과 같이 여러 가지로 분류할 수 있다. Newton의 점성법칙과 유사하게 난류에 적용되는 방정식은 다음과 같이 나타낼 수 있다. 그러나 계수 는 유체가 갖는 고유한 물성값이 아니고, 유체의 운동상태와 밀도 에 따라 결정되는 값으로 와점성계수(eddy viscosity)라 한다. 실제의 많은 유동에서의 점성계수와 난류가 함께 전단응력에 기여하므로 마찰이 없는 유체는 점성이 없기 때문에 그 유동과정은 가역적이다. 난류운동에서는 유체입자의 불규칙한 운동 때문에 임의점에서 항상 작은 변동 을 수반한다. 이와 같은 변동을 고려하여 정상유동에 대한 정의는 다소 일반화 해야 할 것이다. 어떠한 점에서, 속도의 시간에 대한 변화가 그림 3.1과 같이 주어졌다고 하자. 만일, 시간평균속도가 시간에 따라 변하지 않고 그림과 같이 수평선으로 그려질 때, 이 유동을 정상유동으로 정의한다. 밀도, 압력, 온도 등에 대해서도 같은 방 법으로 윗 식의 대신 그들 값을 대입함으로써 정상유동의 정의를 일반화할 수 있다. 그림 3.1 정상난류 유동인 한 점에서의 속도 1차원유동(one-dimensional flow)은 유동과 수직한 모든 방향에서의 속도, 압 력 등의 변동이나 변화를 무시한다. 그리고 어느 단면에서 유동조건은 그 단면 에서의 밀도, 속도, 기타 물성값들의 평균값으로 나타내어진다. 예를 들어, 관속의 유동은 각 단면에서의 속도가 평균속도로 균일하게 분포된다 고 가정하고 흔히 1차원유동으로 취급한다. 1차원유동은 2차원이나 3차원유동의 해석보다 매우 간단하므로 많은 실제문제 들을 1차원 해석으로 다룬다. 2차원유동(two-dimensional flow)에서는 모든 유체입자들이 평행한 평면내에 서 유동하고, 이들 각 평면내에서 유체입자들은 동일한 경로를 따라 흐른다고 가정한다. 따라서 이들 평행평면과 평행한 모든 평면내에서 유동현상은 모두 같 다. 8장에서 취급하는 유동망은 2차원유동을 해석하는 가장 유용한 방법이다. 3차원유동(three-dimensional flow)은 가장 일반적인 유동으로써 서로 직교하 는 세 방향의 속도성분 u,v,w가 공간좌표 x,y,z와 시간 t의 함수인 유동이다. 3 차원유동을 수학적으로 해석하는 것은 일반적으로 복잡하여, 기하학적으로 간 단한 경계를 갖는 유동들만을 해석할 수 있을 뿐이다. 3.1-2 유선방정식을 유도하라. 유선(streamline)이란 각 점에서의 접선이 속도벡터의 방향과 일치하도록 유 체내에 그려진 연속선이다. 따라서 유선을 횡단하는 흐름은 있을 수 없다. 임의 순간에 한 유체입자는 유선방향으로 움직이므로 성분 를 갖는 유선상의 변위 는 x,y,z방향의 성분이 각각 u,v,w인 속도벡터 q의 방향을 갖는다. 그러므로 이다. 이는 대응하는 각 성분들이 비례하고, 따라서 와 q가 동일방향임을 의미 한다. 변위를 미분형태로 표현하면 (3.1.3) 이 된다. 이 방정식을 유선의 방정식이라 한다. 식 (3.1.3)은 두 개의 독립한 방 정식을 부여한다. 식 (3.1.3)을 만족하는 연속선은 유선이 된다. 정상유동에서는 임의점에서 속도벡터의 방향이 불변이므로, 유선은 임의 의 점에서 기울기는 고정된 값을 갖는다. 따라서 유선은 공간속에서 고정되 게 된다. 유체입자는 항상 유선에 접하여 운동하므로, 정상유동에서는 한 입자의 유동경로 유적선(path of a particle; path line)는 유선이 된다. 비정 상유동에서는 임의점에서의 속도벡터의 방향이 시간과 더불어 변하므로, 유선은 공간내에서 시시각각 위치와 방향을 바꾸게 된다. 따라서 한 유체입 자는 어느 순간 한 유선을 따라 움직이다가 다음 순간에는 다른 유선과 운 동하게 되어 결국 그 유체입자의 유동경로 유적선 주어진 순간 유선과 일치 하지 않는다. 유체의 운동을 추적하기 위하여 물감이나 연기를 유동중에 분출시키는 경 우가 있다. 이때 물감이나 연기가 흘러간 자국을 유맥선이라 한다. 정상유 동에서 유맥선이 유선 및 유적선과 일치한다. 2차원유동에서 유선은 미세하고 선명한 입자(알미늄 분말 등)를 유동중에 집어 넣고 한쪽 면을 밝게 비친 다음 짧은 시간 사이에 만들어지는 입자의 흔적을 사진으로 찍어 얻을 수 있다. 사진으로부터 각 점에서 입자의 흔적 이 만드는 방향과 일치하도록 연속선들을 그려 나가면, 그것이 바로 정상류 에서나 비정상류에서 유선이 된다. 그림 3.2와 같은 2차원 비압축성유동에서 유선은, 紙面(지면)에 수직한 방향의 단위 폭당 서로 이웃하는 유선사이를 흐르는 단위시간당의 체적유량이 같도록 그려진다. 따라서 유선 사이의 간격이 좁을수록 유속은 빠르고, 반대의 경우는 느리다. 어느 위치에서 두 인접유선 사이의 거리가 h이고 평균속도가 v이면 유 량 는 (3.1.4) 줄여 와 같다. 유선 사이의 간격이 인 다른 곳에서, 평균속도는 이다. 만일 유선의 수를 늘려 그리면, 다시 말해서 인접 유선간격을 를 감소시키면 극한의 경우로서 한 점에서의 속도를 얻을수 있다. 그림 3.2 平行壁(평행벽) 사이에 놓여 있는 원통 둘레에서 정상유동하는 流線(유선) 작은 이라 름은 없기 閉曲線(폐곡선)속을 관통하는 유선의 다발을 流管(유관)(stream tube) 한다. 정상류에서는 流管이 공간내에 고정되고, 그 벽면을 횡단하는 흐 존재할 수 없다. 왜냐하면 유관표면에 직각으로는 속도벡터의 성분이 때문이다. 3.2 系(계)(System)와 檢査體積(검사체적) (Control volume)의 개념 3.2-1 가우스정리를 그림을 이용하여 설명하라. 여기서, [그림 3.3(c)]는 유출면의 작은 면적을 나타내는 벡터이다. 의 방 향은 검사체적의 작은 면적에 수직하고 검사체적 밖을 향할 때 양의 값으로 정한다. 는 속도벡터와 작은 면적 벡터가 이루는 각이다. 같은 방법으로 식 (3.2.3)의 마지막 항은 검사체적으로 흘러 들어오는 N의 유 량의 시간비율로써 그 극한값은 (3.2.5) 로 된다. 여기서 음의 부호가 필요한 이유는 그림 3.3(d)에 보인 것처럼 (또는 )가 유입할 때에 음의 값을 갖기 때문이다. 식 (3.2.4)와 식 (3.2.5)로 주어지는 식 (3.2.3)의 마지막 두 항은 검사체적 표면(cs)전체에 걸 친 하나의 적분항으로 묶을 수 있다. 즉, 유입이나 유출이 없는 곳에서는 이다. 따라서 첫 식은 검사면 전체에 걸쳐 계산할 수 있다. 검사체적내의 특성의 시간에 대한 증가율 = = 흐름에 의한 영향 : 흐름에 따른 특 성 의 플럭스의 시간 비율 식 (3.2.3)의 각 항에 정리된 값들을 대입하면 계 해석과 검사체적 해석 사이 의 관계는 다음과 같이 주어진다. (3.2.6) 3.2-2 적분방법을 이용하여 유체 흐름에 있어서 일반적인 특성의 보전식을 유도하라. 이 보전식의 각 항이 의미하는 것을 설명하라. 식 (3.2.6)은, 계가 갖는 특성값 N의 시간증가율은 검사체적(xyz에 대하여 고 정)내에서의 특성값 N의 시간증가율과 검사체적 경계면을 관류하는 단위시간 당 N의 正味流出量(정미유출양)과의 합과 같다는 것을 의미한다. 이 장에서 앞으로 계에 적용되는 법칙과 원리들을 검사체적의 형태로 바꿀 때 식(3.2.6)을 사용할 것이다. 系 해석은 입자들의 운동을 추적하면서 관측하는 방법으로서 Lagrangian 해석법이라 한다. 반면에 검사체적 해석은 Eulerian 해석법이라 하는 방법으로서 검사체적에 고정된 좌표계에서 공간점 을 주시하면서 유동을 관측하는 방법이다. xyz좌표계(검사체적)가 운동하는 경우, 만일 등속도운동을 하는 경우에는 계 나 그의 외계에 아무런 역학적 영향을 미치지 못하므로, 검사체적이 크기와 형태가 고정된 상태에서 등속도 병진운동을 하는 경우에도 식 (3.2.6)을 그대 로 적용할 수가 있다. 3.3 連續方程式(연속방정식), 에너지方程式(방정식) 및 運動量方程式(운동량방정식)에 대한 檢査體積 (검사체적) 의 적용 3.3-1 일반적인 특성의 보전식을 질량에 대하여 적용하고, 적용된 식의 각 항을 설명하라. 연속방정식은, 계가 갖는 질량은 시간과 더불어 일정하게 유지되는 질량보존 법칙, 식(3.2.1)로부터 유도된다. 즉 식 (3.2.6)에서 N을 계의 질량 m으로 놓으면, n는 단위질량당의 질량이므로, n=1이 된다. 따라서 (3.3.1) 검사체적에 대한 연속 방정식을 말로 표현하면 검사체적내에서 질량의 시간 증가율은 단위시간당 검사면을 통하여 검사체적으로 들어오는 正味質量 流 入量(정미질량 유입량)과 같다는 것을 나타내고 있다. 3.4 連續方程式(Continuity equation) 3.4-1 1) 미분적인 해석방법을 이용하여 3차원 연속방정식을 유도하라. 2) 미분적인 해석방법을 이용하여 3차원 물질이동식을 유도하라. 2차원 및 3차원유동을 공부하기 위하여 미분형의 연속방정식을 이용하여야 한 다. 3차원 직교좌표계에 대하여, 점 (x.y.z)를 중심으로 하는 그림 3.7의 검사체 적요소 를 검사체적으로 택하고, 이에 식 (3.3.1)을 적용하여 본다. 여기서 중심점의 유체입자가 갖는 x,y,z의 속도성분을 각각 u.v.w 그리고 밀도 를 p라고 가정한다. 먼저 x방향에 수직한 한 쌍의 면을 통하여 관류하는 유출 유량을 생각하여 보자. p와 v가 유체 내에서 연속적으로 변하는 것으로 가정해 야 하므로 오른쪽 면으로 유출되는 질량유량은 다음과 같다. 그림 3.7 직각좌표계에서 3차원 연속방정식 유도를 위한 검사체적 여기서 는 x축에 수직한 을 통하여 관류하는 질량유량이다. 그리고 둘 째 항은 x에 관한 의 증가율에 오른쪽 면까지의 거리 를 곱한 것으로써 유체가 만큼 이동하면서 증가된 질량유속이다. 같은 방법으로 왼쪽 면 을 통하여 검사체적에 유입되는 질량유량은 간격이 라는 것을 고려하면 이다. 따라서 이들 두 면을 통하여 흘러나가는 유출량은 이다. 다른 두 방향에 대하여도 똑같은 방법으로 생각할 수 있다. 따라서 전체 검사체적을 유출하는 량은 을 얻는다. 이것은 식(3.3.1)의 우변의 둘째 항에 해당된다. 또 식 (3.3.1)의 우변 첫째항은 에 대하여 다음 식으로 대응시킬 수 있다. 이 두 개의 식을 식 (3.3.1)에 대입하고 로 나눈 다음, 근할 때의 극한값을 취하면, 한 점에서의 연속방정식 가 0에 접 (3.4.8) 을 얻는다. 이 식은 정상 또는 비정상유동 압축성 또는 비압축성유동 등에 대하여 모든 점에서 적용된다. 그러나, 비압축성유동에서는 다음과 같이 간 단하게 된다. (3.4.9) 식 (3.4.8)과 식 (3.4.9)는 벡터기호를 사용하여 간결하게 나타낼 수 있다. 방 향의 단위벡터를 각각 I, j, k로 쓰고, 를 다음과 같이 정의한다(2.2절 참 조). (3.4.10) 속도벡터 는 (3.4.11) 로 주어지므로 왜냐하면 i·i=1, i·j=0 등이기 때문이다. 따라서 식 (3.4.8)은 (3.4.12) 그리고 식 (3.4.9)는 (3.4.13) 이 된다. dot 곱 를 속도벡터 q의 다이버전스(divergence)라 말한다. 다시 말해서, 는 한 점에서 단위체적당 을 의미하며, 비압축성유동에 서는 0이 되어야 한다. 2차원유동에서는 일반적으로 xy평면에 평행한 평면 내에서 유동한다고 가정 한다. 그러므로 w =0 이고, z 방향에 관한 변화가 없기 때문에 항을 없애고 그대로 사용할 수 있다. 3.5 流線(유선)을 따르는 運動(운동)의 Euler 方 程式 3.5-1 1) 유선을 따르는 운동방정식(오일러 방정식)을 유선에 대한 힘 과 운동의 평형 관계로부터 유도하라. 2) 유선을 따르는 운동방정식을 3차원 오일러 방정식으로부터 유 도하고 이로부터 유도하라. 3) 자세히 (Step by step : 단계별로) 이식을 적분하여 베르누이 식(에너지방정식)을 유도하라. 연속방정식 이외에 일반적으로 유동을 지배하는 방정식에는 Bernoulli 방정 식, 운동량방정식 및 열역학 제 1 및 제2법칙을 근거로 하는 에너지방정식들 이 있다. 이 절에서는 Euler방정식을 미분형으로 유도하겠다. 3.6절에서는 Euler방정식을 적분하여 Bernouilli 방정식을 얻는다. 그 다음 정상유동에 대 한 열역학 제 1법칙 이론을 전개하고, 방정식간의 몇 가지 상호관계를 열역 학 제 2법칙을 포함해서 究明(구명)하여 보기로 한다. 8장에서는 일반적인 3 차원유동에 대한 Euler 방정식을 유도하겠다. 그러나 여기서는 유선을 따르 는 유동문제에만 국한하기로 한다. 두 가지 방법으로 Euler 방정식을 유도하 려한다. 첫째 방법은 流線(유선)을 중심축으로 하는 작은 원통형 體積素(체적소)를 검사체적으로 택하여 해석하는 것이다. 이 경우에는 선형운동량방정식과 연 속방정식을 적용하여 미분방정식을 얻게 된다. 둘째 방법은 식 (2.2.5)를 사 용하는 것이다. 이는 힘을 질량과 가속도를 곱한 것과 같다는 Newton의 운 동 제2법칙을 사용하는 것이다. 단면적이 길이 인 매우 작은 육면체 검사체적을 택하여 그림 3.8에 표시하였다. 유체속도는 流線(유선) s를 따르고 있다. 점성계수가 0, 다시 말 해서 유동을 마찰이 없는 유동이라고 가정하면, s방향으로 검사체적에 작용 한 힘은 원통 兩端(양단)에 작용하는 힘과 自重(자중)뿐이다. s방향에 대하여 운동량 방정식[식 (3.3.8)]을 검사체적에 적용하면 다음과 같다. (3.5.1) 그림 3.8 검사체적에 s방향에 관한 연속법칙과 운동량법칙의 적용 를 얻는다. 여기서 δs, s δA는 시간의 함수가 아니다. s가 증가할 때 연직좌표 값도 cosθ=∂z/∂s의 비율로 증가하므로 검사체적에 작용하는 힘의 s성분은 (3.5.2) 이다. s운동량(운동량의 s성분)의 순수유출속도를 구하려면 원통 兩端面(양단면) 을 통하여 흐르는 유량은 물론 원통벽면을 통하여 흐르는 유량 까지도 고려해야 한다 [그림3.8(c)]. 따라서 의 값은 검사체적 그림 3.8(d)]에 연속방정식, 식(3.3.1)을 적용하면 구할 수 있다. (3.5.4) 식(3.5.3)과 식(3.5.4)에서 를 소거하고 정리하면 (3.5.5) 로 주어진다. 다음에 식 (3.5.2)와 식 (3.5.5)를 (3.5.1)에 대입하면 로 양변을 나눈 다음 δA와 δs를 0으로 접근할 때의 극한값을 취하면, 방정 식은 다음과 같이 된다. (3.5.6) 여기서 2개의 가정이 전개되었다. (1) 유동은 流線(유선)을 따른다. (2) 유동은 마찰이 없는 유동이다. 만일 유동이 정류라면, 식(3.5.6)은 다음과 같이 된다. (3.5.7) 이 식에서 독립변수는 s뿐이므로 편미분은 전미분으로 바꿀 수 있다. (3.5.8) 3.5-2 위의 s 방향에 대한 오일러식을 일반적인 다차원 오일러식으로부터 수학 적으로 자세히 유도하라. ( ) 입자의 가속도성분 는 유선을 따르는 거리 s와 시간의 함수이므로, ds/dt가 粒子變位(입자변위)의 시간변화율, 즉 속도 v를 나타낸다는 것을 고 려하면 이다. 를 식 (3.5.9)에 대입하고 정리하면 식 (3.5.6)을 얻게 된다. 식 (2.2.5)의 유도과정에서 마찰이 없는 유체로 가정하였고, 식 (3.5.9)에서는 유선 s를 따르는 성분을 고려하였으므로, 결과적으로 식 (3.5.6)을 구할 때와 같은 가정을 한 것이 된다. 식 (3.5.8)도 일종의 Euler방정식이다. 여기서도 (1) 非摩擦(비마찰) (2)유 선을 따른다, 그리고 (3) 정상유동이라는 세 가지 가정을 필요로 한다. 가 p의 함수이거나 또는 상수일 때는 적분이 가능하다. 가 상수일 때 비압축성유동에 대한 Bernoulli방정식을 얻게 된다. Bernoulli방정식의 유 도와 응용은 다음 절로 미루겠다.