Transcript 셈, 수의 체계 1

셈, 수의 체계 1

그리스 (대수의 기하학적 계산)
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2
(a-b)2 = a2 –2ab + b2


음수
실수: 무리수의 발견
Hippasus (I pp. 37)
a
a
b
b
피타고라스 triple

X2 + y2 = z2
x=2st, y=s2 – t2, z=s2 + t2, s> t,
gcd(s,t)=1,
s,t중하나는 홀, 다른하나는 짝
(Euclide Elements)
소수


소수란 자기 자신과 1외에 약수가 없는 수
유클리드: (1) 소수가 mn을 나누면 그소
수는 m 또는 n을 나눈다.
(2) 모든 자연수는 소수이거나 소수들의
유일한 곱으로 나타난다.
(Euclidean Algorithm)
(3) 무한히 많은 소수가 존재한다.
(소수에 관해서는 소수암호에서 더자세히 다룸)
정수





Diophantus (200-284) Arithmetica 13 권
130여문제 및 여러 가지 다항식의 정수 또는 유
리수 해 구하는 방법
ax2 + bx = c, ax2 = bx + c and ax2 + c = bx.
y + z = 10, yz = 9.
find x to make 10x + 9 and 5x + 4 both
squares (x = 28).
10 = (1745041/505521)2+(1651225/505521)2
+(1658944/505521)2
Fibonacci (Leonardo Pisaro) 11701250;



북아프리카에서 교육; 많은 여행
Liber abaci (1202), Practica geometriae
(1220), Flos (1225), Liber quadratorum.
Fibonacci sequence 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,
34, 55,

there is no x, y such that x2 + y2 and x2 - y2 are both
squares and x4 - y4 cannot be a square.

Pythagorian triples a2+b2= c2
페르마 (Fermat) 1601-1665

Bachet's translation of Diophantus's
Arithmetica




편지 Descartes, Pascal, Mersenne, Huygens
Perfect number, amicable number
n이 소수이면 2n-1은 2n의배수
n이 소수이고 p가 2n-1를 나누는 소수이면 p-1
은 n의 배수이다
a p-1 = 1 (mod) p, 1< a < p
페르마가 다룬 문제들




N= x2 + y2
(a2 + b2)(x2 + y2)=(ax by)2 + (ay ∓ bx)2
Every prime of form 4m+1 is a sum of
two squares (2= 1+ 1)
Diophantian problems
x3+y3=z3, x2+2=y3, x2+4=y3
수학적 귀납법 (Mathematical
Induction) Method of descent




1+3+5+…+(2n-1) = n2 모든 n 증명하자.
1=12
1+3+5+…+(2n-1) = n2
1+3+5+ …+(2n-1)+(2n+1) = n2+(2n+1)
= (n+1)2
X4 + y4 = z4



x2+ y2 = z2, u2 = xy/2
X2 + Y2 = Z2, U2 = XY/2 →
X12 + Y12 = Z12, U12=X1Y1/2, Z1 < Z
z> Z > Z_1 > Z_2 ….
오일라(Euler) 1707-7183







Bernoullis Jacob, Nicholas, Daniel
Goldbach
n
2 2 -1 prime (Fermat)
Multiplicative group Fxp
4m-3 not a sum of two squares
x n+ y n = z n n=3,4
eix= cos x + i sin x.
Euler




x2= Ay3 + By2 + Cy + D elliptic function
Elliptic integral
오일러함수 (s)= (1/ns) = (1 - p-s)-1
continued fraction
다른 문제들




Goldbach 예상 2보다 큰 모든 짝수는 두개의 소
수의 합으로 쓰여질수 있다.
(10억까지 보임)
쌍둥이 소수 예상 3, 5; 11,13; 17, 19;
1,000,000,000,061, 1,000,000,000,063
다오판타인 문제는 현대수학에서 해결하지 못하
는 여러가지 문제를 주고있다. 아직도 해결하고
있는 중이다.
컴퓨터로는 모두 해결 할 수 없다 (Matijasevic
1970, Hilbert 10번문제 1900)
가우스






Disguisitiones Arithmetica (1801)
법산술 (modular arithmetic)
7+6 =1 (mod 12), 7/5 = 11 (mod 12)
소수인 경우 나눗셈은 항상 가능하다.
M= Ax2 + Bxy + Cy2 인 모든수 x,y를 찾
는 방법을 제시 (D = b2 – 4ac)
Quadratic congruences x2 mod p = q
가우스 유수문제






A + B√-d
6 = 2*3 = (1+ √-5)* (1- √-5)
D=1,2,3,7,11,19,43,67,163 유일분해존
재
Heegner 1952, Stark, Baker 1967
h(d)=k 인 최대수 d가 존재한다 (가우스)
Hecke, Heilbronn (1934)
Fermat’s Last theorem((2)10장)

Fermat's Last Theorem states that
xn + yn = zn
has no non-zero integer solutions for x,
y and z when n > 2.

I have discovered a truly remarkable
proof which this margin is too small to
contain.
History of Fermat’s last theorem





the area of a right triangle cannot be a
square. Fermat N=4
Euler n=3, 4
Sophie Germain n < 100, 197
중요 케이스
Legendre, Dirichlet, Kummer, Liouville
(2) page 371 그림
Solution


Falting
for every n > 2 there are at most a finite
number of coprime integers x, y, z with
xn + yn = zn.
Taniyama-Shimura Conjecture
x2= Ay3 + By2 + Cy + D
(f(x))2= Ag(z)3 + Bg(z)2 + Cg(z) + D
Solution


Frey, Ribet 페르마의 정리의 반예는
Taniyama-Shimura 예상에 반예를 준다.
Wiles
위 예상의 증명 (반안전 타원곡선경우)