Transcript Chapter 9. 순열, 이산적 확률, 재귀적 관계

Chapter 9.
순열, 이산적 확률, 재귀적 관
계
개요
 순열, 이산적 확률, 재귀적 관계와 연관된 전반적인 논제들
을 고찰함
 경우의 수, 순열 및 조합과 관련된 기본적인 정의와 특징들
을 다양한 예제들을 통하여 알아봄
 이산적 확률에 대한 기본 개념과 평균, 분산, 표준 편차와
같은 통계적인 사항들을 살펴봄
 원리는 간단하지만 이산수학에서 중요하게 쓰이는 비둘기
집 원리와 재귀적 정의에 의한 재귀적 관계식을 알아봄
 재귀적 관계의 대표적인 예인 피보나치 수와 하노이 탑 문
제를 학습함
CONTENTS
9.1 경우의 수
9.2 순 열
9.3 조 합
9.4 이산적 확률과 통계
9.5 비둘기 집 원리
9.6 재귀적 정의
9.7 피보나치 수와 하노이 탑
9.1 경우의 수
•
•
어떤 사건이 일어나는 경우의 수
•
모든 경우를 일정한 기준에 따라 빠짐없이
•
중복되지 않게 해야 함
경우의 수를 구하는 방법
•
트리를 이용하는 방법과 표를 이용하는 방법이 있음
Discrete
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9.1 경우의 수
Discrete
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9.1 경우의 수
Discrete
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세기(Counting)

세기(counting) 방법
(1) 순서(order)를 고려하던지 또는 고려하지 않던지
(2) 반복(repetition)을 허락하던지 또는 허락하지 않던지
◦ 반복(X), 순서(O) 순열
◦ 반복(X), 순서(X) 조합
◦ 반복(O), 순서(O) 중복 순열
◦ 반복(O), 순서(X) 중복 조합
9.2 순 열
Discrete
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9.2 순 열
Discrete
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9.2 순 열
The number of r-permutations of a set with n=|S|
elements is (n개 중 r개를 선택하여 나열하는 방법은)
P(n, r )  n(n  1)(n  r  1) 
n!
(n  r )!
[풀이]
첫 번째 원소를 선택하는 경우의 수 : n 개
두 번째 원소를 선택하는 경우의 수 : (n-1)개
(중복이 허용되지 않으므로 첫 번째 선택된 원소 제외)
r 번째 원소를 선택하는 경우의 수 : (n-r+1)개
따라서 곱의 법칙에 의해
n!
P(n , r )  n(n  1)...(n  r  1) 
(n  r )!
가 성립한다.
Discrete
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9.2 순 열
Discrete
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9.2 순 열
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9.2 순 열
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9.2 순 열
Discrete
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중복순열(permutation with repetition)

r-중복순열
◦ 원소 n 개를 갖는 집합에서 r 개의 원소를 중복을 허용하여 순서대로 선택
하는 방법

r-중복순열의 개수
◦ 원소 n 개를 갖는 집합에서 r -중복순열의 경우의 수는
nr
이다.
 Π(n, r ) 로 표시
[증명]
r -중복순열은 n 개의 원소 중 r 개를 차례대로 나열하는 방법을 말한다.
r 개를 차례대로 나열하는 것은 1단계부터 r 단계 순으로 단계별 나열하는 것
을 의미
1 단계 올 수 있는 원소의 개수 : n 개
2 단계 올 수 있는 원소의 개수 : n 개 (중복이 허용되므로)
∴ 곱의 법칙에 의해 r 개의 원소를 나열하는 경우의 수
nr
중복 순열

예제 5
한 바이트로 만들 수 있는 이진수의 개수는 몇 개인가?
[풀이]
한 바이트는 8 비트므로 총 8 단계로 0 또는 1의 수를 나열하는
것으로 풀이할 수 있다.
비트 단계별로 가질 수 있는 수는 각각 2 가지므로
28=256
그러므로 총 256 가지의 수를 만들 수 있다.
9.3 조 합
원소 n 개를 갖는 집합에서 중복을 허용하지 않고 순서에 상관없이 r 개
의 원소를 선택하는 방법 
C (n, r ) 로 표시
P(n , r )  C ( n , r )  P( r , r )
n!
 n  P(n, r ) n !/(n  r )!
C(n, r )    


r!
r !(n  r )!
 r  P(r , r )
Discrete
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9.3 조 합
Note that C(n,r) = C(n, n−r)
•
T에서 r개의 member를 선택하는 방법은 T에서 (n-r)개의 nonmember를 선택하는 방법과 동일하다.
n!
n!

r !(n  r )! (n  r )! r !
n!

 C(n , n  r )
(n  r )!(n  (n  r ))!
C (n , r ) 
Discrete
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9.3 조 합
Discrete
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9.3 조 합
Discrete
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9.3 조 합
파스칼의 삼각형은 다음과 같이 설명될 수 있는데, 이를 통하여 이
항 계수를 쉽게 계산할 수 있음
1) 각 행에 있는 첫 번째 숫자와 마지막 숫자는 1임
2) 삼각형 안의 다른 숫자들은 파스칼의 삼각형과 같이 모두 그 숫자
위로부터 연결된 두 수들을 더함으로써 얻어질 수 있음
Discrete
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9.3 조 합
파스칼의 삼각형으로부터 이항 계수를 구하는 예
Discrete
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중복조합(combination with repetition)

r-중복조합
◦ 원소 n 개를 갖는 집합에서 r 개의 원소를 중복을 허용하여
순서에 상관없이 선택하는 방법

예제 6
◦ 세개의 문자 A,B,C에서 중복을 허용하여 5개를 뽑는 경우의 수




A
A
A
A
A
A
A
B
A A A, B B B B B, C C C C C, A B B B B, A A B B B
A B B, A A A A B, A C C C C, A A C C C, A A A C C
A A C, B C C C C, B B C C C, B B B C C, B B B B C
B C C, A A B C C, A A B B C, A A A B C, A B B B C, A B C C C
H (3,5)  C (3  5  1,3  1)
 C (7,2) 
7!
 21
(7  2)!2!
H (n, r )  C (n  r  1, r )  C (n  r  1, n  1)
중복조합(combination with repetition)

r-중복조합의 개수
원소 n 개를 갖는 집합에서 r -중복조합의 경우의 수 다음과
같다.
C (n  r  1, r )  C (n  r  1, n  1)
[풀이]
n 개의 원소에서 r -중복조합을 구하는 문제는 r 개의 빈칸(V )와
n-1 개의 칸막이(/)를 r + n -1 개의 빈칸에 넣는 문제와 같다.
즉, r + n -1 개에서 r 개 또는 n-1 개를 선택하는 문제다.
그러므로
가 성립한다.
C (n  r  1, r )  C (n  r  1, n  1)
중복조합

중복조합 nHr
◦ 원소 n 개를 갖는 집합에서 r 개의 원소들을 순서에 상관없이 나열
 r 개의 빈칸에 중복을 허용하여 n개의 원소를 넣는 문제
 n-1 개의 칸막이를 두고 n 가지 경우를 임의의 순서로 배열
Ex) 예제 6 에서 칸막이 기호를 /로 나타낸다면,
 "A B B B C“  "A / B B B / C“, "A B C C C“  "A / B / C C C"
칸막이 사이에 아무 원소도 없을 수도 있음
 "A A A C C“  "A A A / / C C“, "B B C C C“  "/ B B / C C C"
◦ 문제 변형
 문자가 들어갈 r 개의 빈칸과 n-1 개의 칸막이가 들어갈 빈칸을 모두
합한 n+r-1 개의 빈칸에서, 칸막이가 들어갈 n-1개의 칸을 선택
 nHr은 n+r-1Cn-1이 된다.
 nCr = nCn-r이므로 nHr= n+r-1Cr이 된다.
H (n, r )  C (n  r  1, r )  C (n  r  1, n  1)
중복조합

[예제 7]
집합 S = {1, 2, 3, 4}에서 3 개의 원소를 선택하는 중복조합
의 수는 얼마인가?
[풀이]
n = 4, r = 3이므로
6!
C ( 4  3  1,3) 
 20
3!3!
이 된다.
9.4 이산적 확률과 통계
•
확률이란 어떤 사건 A가 일어날 가능성을 수로 나타낸 것임
•
사건 A가 일어날 경우의 수를 전체의 경우의 수로 나눈 값임
Discrete
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9.4 이산적 확률과 통계
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9.4 이산적 확률과 통계
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9.4 이산적 확률과 통계
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9.4 이산적 확률과 통계
Discrete
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9.5 비둘기 집 원리
비둘기 집 원리는 19세기 말 프랑스의 수학자인 디리클레(Dirichlet)에 의해
시작됨
Discrete
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비둘기집 원리 (pigeonhole principle)

비둘기집의 원리
◦ n은 자연수이고, 만약 (n+1) 마리의 비둘기와 n 개의 비둘기집이
있다면, 반드시 어떤 비둘기집에는 두 마리 이상의 비둘기가 있다
◦ 위의 원리를 함수의 형식으로 표현하면
 X, Y 는 공집합이 아닌 두 집합이고,
 원소의 개수가 각각 X는 (n+1) 개, Y 는 n 개
 함수 F : X →Y는 단사함수가 아니다.
비둘기집 원리

[예제8]
◦ 한 변의 길이가 2 인 정사각형에 5 개의 점이 있으면, 두 점 사이의
거리가 √2 보다 작은 두 점이 반드시 존재한다.
[풀이]
◦ 한 변의 길이가 1인 네 개의 작은 정사각형으로 자르면
 비둘기집 원리에 의하여 5개의 점 중에서 반드시 어떤 두 점은 같은 작
은 정사각형 안에 있게 된다.
 따라서, 그러한 두 점은 두 점 사이의 거리가 √2 보다 작게 된다.
비둘기집 원리

[예제 9] 임의의 양의 정수 열한 개 중에는 두 수의 차가 10의
배수가 되는 짝이 적어도 한 쌍이 있다.
◦ 풀이.
임의의 양의 정수의 1의 자리 수는 0부터 9까지 열까지
( 비둘기 집 의 수 ) 뿐이므로 열 한 개 (비둘기 수)의 양의 정수 중
에는 1의 자리의 수가 같은것이 적어도 한 쌍 있다. 이 때 이 두
수의 차는 10의 배수이다.

[예제 10] 8 명의 학생이 모여 있다. 그러면 생일의 요일이 같
은 학생들이 반드시 있다.
◦ 풀이. 8 명의 학생이 있고, 요일은 모두 7 개이므로, 비둘기집 원
리에 의하여 생일의 요일이 같은 학생들이 반드시 있다.
비둘기집 원리의 일반화
If N objects are assigned to k places, then at least one place must
be assigned at least N/k objects.
(N개의 객체가 k개 장소에 배정된다면, 적어도 한 곳은 N/k개 객체를 가
진다.)
E.g., there are N=280 students in this class. (학생 280명)
There are k=52 weeks in the year. (한 해는 52주)
•
Therefore, there must be at least 1 week during which at
least 280/52= 5.38=6 students in the class have a
birthday.
•
(일반화된 비둘기 집 원리에 의해서)
최소 6명의 학생은 같은 주에 생일이 들어 있게 된다.
예제 11(생일이 같은 달…):
100명 중에서 적어도 몇 명은 같은 달에 태어났다고 볼 수 있는가?
• 100/12 = 9명
• 적어도 9명은 태어난 달이 같게 된다.
9.5 비둘기 집 원리
Discrete
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재귀적 관계식(= 되부름 관계식)

재귀법(recursion)
◦ 하나의 문제를 그보다 값이 작은 동일한 문제로 계속 단순화시켜
해결하고자 하는 방법
◦ 재귀법 문제해결을 위해 규칙필요
 초기조건(initial condition)
 재귀조건(recursion condition)
9.6 재귀적 정의
(1) 재귀적 관계식
재귀적 정의의 가장 간단한 예로는 정수의 계승(factorial)을 들 수 있음
재귀적 정의를 적용하면
Discrete
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9.6 재귀적 정의
재귀적 관계를 이용하는 문제를 해결하기 위해 2단계 적용
•
주어진 문제를 원래의 문제와 같은 형태의 더 작은 문제들로 분할함
•
가장 작은 문제로 분할된 문제들의 해를 구한 후, 최종적으로 이들을
결합하여 주어진 문제의 해를 구함
Discrete
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9.6 재귀적 정의
Discrete
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9.6 재귀적 정의
•
재귀적 관계에 의해 나타나는 현상들의 예로 프랙탈(Fractals)을 들 수
있음
•
재귀적 관계는 물리학에서의 동역학계와 카오스(Chaos)를 비롯한 지
능 시스템 분야에서 많이 활용되고 있음
Discrete
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9.6 재귀적 정의
(2) Factorial
Discrete
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9.6 재귀적 정의
Discrete
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9.6 재귀적 정의
Factorial 값을 구하는 재귀 프로그램의 결과
Discrete
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9.6 재귀적 정의
Discrete
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9.7 피보나치 수와 하노이 탑
(1) 피보나치 수(Fibonacci numbers)
피보나치 수를 구하면 트리를 이용하면 보다 명확하게 이해
Discrete
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9.7 피보나치 수와 하노이 탑
따라서 Fib(0), Fib(1), Fib(2), Fib(3), Fib(4), Fib(5), Fib(6), …은
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, …
Discrete
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9.7 피보나치 수와 하노이 탑
피보나치 수를 구하는 재귀 프로그램
Discrete
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9.7 피보나치 수와 하노이 탑
Discrete
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9.7 피보나치 수와 하노이 탑
(2) 하노이 탑(Tower of Hanoi)
•
하노이 탑은 각기 다른 크기의 원반들과 판 위에 세워진 세 개의 막대
로 구성됨
•
이 원반들은 처음에 바닥에 가장 큰 원반이 있는 크기 순으로 놓임
•
하노이 탑 문제의 규칙은 원반들이 한 막대에서 다른 막대로 한 번에
하나씩 이동할 수 있으며 작은 원반 위에 큰 것이 놓일 수 없도록 하는
것임
•
중간의 막대를 임시적으로 이용할 수 있으나 위의 규칙들을 지켜야 함
Discrete
Chapter 9. 순열, 이산적 확률, 재귀적
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재귀법(계속)

하노이 탑(tower of Hanoi)
◦ 3개의 기둥 중 제일 왼쪽 기둥에 크기가 큰 것이 제일 아래에 있
게 원판들이 쌓여있을 때 제일 오른쪽 기둥으로 원판을 옮기는 데
소요되는 최소 이동 회수를 구하는 문제
◦ 추가조건
 원판은 한 번에 하나씩만 옮길 수 있다.
 원판을 기둥과 기둥으로만 옮길 수 있다.
(즉, 바닥에 내려놓을 수 없다.)
 크기가 큰 원판은 작은 원판 위에 올 수 없다.
53
재귀법(계속)

하노이 탑의 유래
◦ 동판에 다이아몬드막대가 세 개 있고, 크기가 서로 다른 64개의 황
금 원판이 한 막대에 꽂혀 있다. 이때, 다음과 같은 규칙으로 황금
원판을 다른 막대로 모두 옮기는 놀이를 신(God)이 하고 있다.
(1) 한 번에 한 개의 황금 원판만을 옮긴다.
(2) 크기가 큰 황금 원판은 반드시 크기가 작은 황금 원판 아래쪽에
있어야 한다.
그러면 신이 이 놀이를 다 마칠 때면
(즉, 황금 원판이 다른 막대로 모두 옮겨졌다면),
이 세상은 연기처럼 사라질 것이다.
만약 1번의
움직임에 1초가 걸린다고 가정하면 ??
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9.7 피보나치 수와 하노이 탑
하노이 탑의 문제 해결은 가장 큰 원반이 바닥에 있는 순서로 첫 번
째 막대 A에 쌓여 있는 세 개의 원반을 세 번째 막대 C로 옮기는 것
과 같은 과정을 거침
Discrete
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9.7 피보나치 수와 하노이 탑
Discrete
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9.7 피보나치 수와 하노이 탑
Discrete
Chapter 9. 순열, 이산적 확률, 재귀적
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9.7 피보나치 수와 하노이 탑
Discrete
Chapter 9. 순열, 이산적 확률, 재귀적
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연습 문제

Ex1. 15명의 회원을 가진 어떤 모임이 있다. 이 때, 회장, 부회장, 총
무, 감사를 각각 선출하려고 한다. 가능한 경우의 수는 모두 몇 가지인
가?

Ex2. 한신대의 교양과정에는 5 개의 과학 교과목과 4 개의 역사 교과
목이 있다. 은지는 이번 학기에 2 개의 과학 교과목과 2 개의 역사 교
과목을 선택하려고 한다. 이 때 은지가 선택할 수 있는 과목의 경우의
수는?
연습 문제

Ex3. 세 자리 영문자와 세자리 숫자로 구성된 자동차 번호판이 있
을 때, 몇 가지 다른 경우가 가능한가?

Ex4. 서로 다른 일곱 개의 공 두 개는 노란색, 나머지는 파란색을
칠하려고 한다. 몇 가지 다른 경우가 존재하는가?

Ex5. 10권의 서로 다른 책을 병희에게 5권, 현호에게 3권, 문구
에게 2권을 주는 경우의 수는?
연습 문제

Ex6. 다섯 개의 의자와 네 가지의 색이 있을 때, 이 의자들을 칠
하는 경우의 수?

Ex7. 열 개의 똑같은 사과를 다섯 명의 어린이에게 나누어주는 방법
의 수는?

Ex8. 영어 단어 MISSISSIPPI의 모든 영어 철자를 사용하여 만들 수
있는 새로운 단어의 개수를 구하여 보시오.
요약
Discrete
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요약
Discrete
Chapter 9. 순열, 이산적 확률, 재귀적
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요약
Discrete
Chapter 9. 순열, 이산적 확률, 재귀적
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요약
Discrete
Chapter 9. 순열, 이산적 확률, 재귀적
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응용
순열, 이산적 확률, 재귀적 관계의 응용
 순열과 조합을 통하여 가능한 경우의 수를 구할 수 있으며, 이를
이용하여 우리의 일상생활과 관련된 다양한 확률을 계산할 수 있
다.
 비둘기 집 원리 응용
 컴퓨터 시스템을 비롯한 여러 가지 분야
 베이즈의 정리 응용
 여론 조사
 게임의 분석 등
Discrete
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