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Probability
Prof. Seewhy Lee
경우의 수
n(A): 사건 A가 일어나는 경우의 수
n(A U B): 두 사건 A 또는 B가 일어나는 경우의 수
n(A ∩ B): 두 사건 A와 B가 동시에 일어나는 경우의 수
n( A  B)  n( A)  n( B)  n( A  B)
곱의 법칙
곱의 법칙
순열 (Permutation)
n!
n Pr 
(n  r )!
범어사
`
경마장
온천장
대공원
동서대
광안리
을숙도
자갈치
가덕도
이기대
오륙도
다대포
태종대
해운대
중복순열 (Repeated Permutation)
 상이한 n개 중 중복을 허락하여 r개를 뽑아 늘어놓는
가짓수
 예제 1.6
n
r  n
r
조합 (Combination)
 상이한 n개 중 r개를 뽑는 가짓수
 예제 1.8, 1.9
n!
n Cr 
r!(n  r )!
League | Tournament
 네 팀 1조 리그 경기 수
4!
6
4 C2 
2! 2!
 16 팀 토너먼트 경기 수
8  4  2  1  15
 우승에 필요한 경기 수
3 4  7
월드컵 경기 입장 수입
 리그 경기 수 = 6 ⅹ 9 = 54
 16 팀 토너먼트 경기 수 = 15+1 = 16
 총 수입 = (70경기) ⅹ (10만명/경기) ⅹ (10만원/명)
Save The Children!
복지 / 더불어 잘 살기
왜 안되는가?
Probability
• 도개걸윷모 확률
은?
냄새는 왜 퍼질까?
사람은 하루 평균 8번 방
귀
얘들에게선 얼마에 한번씩?
Distribution of Balls
• 수평의 방을 2ⅹ2 네 구역으로 나
눈다.
• 그 방에 네 개의 구슬을 던진다. (구
슬은 무척 작음)
• 어느 한 구역에만 네 개의 구슬이
모두 들어갈 확률은?
• 네
개의
구슬이
구역에
골고루
네 개의
구슬이
네 구역에네
골고루
퍼질 확률이
월등히 크
퍼질
확률은?
다!
 냄새 분자들이 ①처럼 한 쪽에 모여있을 확률은?
 냄새 분자들이 ②처럼 양쪽에 같은 수로 분포할 확률
은?
Here’s The Answer!!
• 냄새 분자들이 한 곳에 모여있을 확률은 실질적으
로 0.
• 널리 고루 퍼질 확률은 상대적으로 대단히 크다.
• 실질적으로 확률 1이다.
• 따라서 모두 냄새를 맡게 된다.
시행 / 사건 / 표본공간 / 확률
표본공간: 어떤 시행(Trial)에서 일어날 수 있는 모든 사건의
집합
P(E) = 사건 E가 일어날 확률
통계적 확률: 시행에서 실제 일어나는 사건의 상대
빈도
수학적 확률: 표본공간에서 특정 사건의 상대적 빈도. 경우의 수로 계
산.
합사건 / 곱사건 / 배반사건
P( E  F )  P( E)  P( F )  P( E  F )
여사건 (Complimentary Event)
P( E )  1  P( E)
C
5개의 동전을 던진다. 그림이 한 개 이상일 확률은?
예제 2.4: 두 주사위를 던진다. 합이 4 이상일 확률은?
Poker
포카드 확률?
13  4 C 4 
P 
52 C 7
48
C3
1

595
플러쉬 확률?
4  13 C 5 
P 
52 C 7
39
C2
1

35
Lotto
•
•
•
•
•
1등:
2등:
3등:
4등:
5등:
6개
5개
5개
4개
3개
숫자 일치
숫자와 보너스 숫자 일치
숫자 일치
숫자 일치
숫자 일치
Example
6개의 나사 중 2개가 불량이다.
이 중 세 개를 취할 때 불량이 1개 포함될 확률은?
조건부 확률
Bayes’ Theorem
 P(F|E) : 사건 E가 일어났다는 조건 아래 사건 F가 일어날 확률
 E가 일어난 경우만 고려함  E가 새로운 표본공간
 P(F|E) : 그 표본공간에서 E∩F가 차지하는 비율에 의해 결정됨
U
E
F
EF
P( E  F )
P( F E ) 
P( E )
Multiplication Rule
P(E  F )  P(E)P(F E)  P(F )P(E F )
Generalized Bayes’ Theorem
Ai  Aj   for i  j
n
 P(A )  1
k 1
P( Ai  B )
P( Ai B) 

P( B)
P ( Ai  B )
n
 P( A
k 1
k
 B)

k
P( Ai ) P( B Ai )
n
 P( A )P( B A )
k 1
k
k
예 1: p.374
• 뽑힌 학생이 A학과라는 조건하에 그 학생
이 남학생일 확률?
P(남학생 A학과 ) 16 / 50 8
P(남학생 A학과) 


P( A학과)
30 / 50 15
예 2: 감염과 검사
•
어느 마을 전체 주민의 10%가 어떤 질병에 감염되었다.
•
그 질병의 감염 여부를 알아내는 검사방법이 개발되어 실험을 한 결과
•
질병에 걸린 사람의 90%가 양성반응을 보였고
•
질병에 걸리지 않은 사람의 20%가 양성반응을 보였다.
•
검사에서 양성반응을 보인 사람이 실제로 감염되어 있을 확률은?
질병 감염: A,
양성반응: B,
구하려는 것: P(A|B)
P( A)  0.1
P( AC )  0.9
P( B | A)  0.9
P( BC | A)  0.1
P( B | AC )  0.2
P( BC | AC )  0.8
P( Ai  B )

P( Ai B) 
P( B)
P ( Ai  B )
n
 P( A
k 1
k
 B)

P( Ai ) P( B Ai )
n
 P( A )P( B A )
k 1
k

(0.1)(0.9)
(0.1)(0.9)  (0.9)(0.2)
k
•
어느 마을 전체 주민의 10%가 어떤 질병에 감염되었다.
•
그 질병의 감염 여부를 알아내는 검사방법이 개발되어 실험을 한 결과
•
질병에 걸린 사람의 90%가 양성반응을 보였고
•
질병에 걸리지 않은 사람의 20%가 양성반응을 보였다.
•
검사에서 양성반응을 보인 사람이 실제로 감염되어 있을 확률은?
감염 (A)
감염되지 않음 (AC)
0.1
0.9
양성반응 (B)
0.9
0.09
0.2
0.18
음성반응 (BC)
0.1
0.01
0.8
0.72
예 3: 기상예보
•
•
•
•
연중
비가
비가
비가
비가 오는 날이 40%, 비가 오지 않는 날이 60%
왔는데 오지 않을 것이라고 예보한 경우가 10%
오지 않았는데 비가 올 것이라고 예보한 경우가 30%
올 것이라고 예보하였을 때 실제로 비가 올 확률은?
비가 옴
비 오지 않음
0.4
0.6
안 온다 예보
0.1
0.04
0.7
0.42
비 온다 예보
0.9
0.36
0.3
0.18
Summary
 순열 nPr
 조합 nCr
 사건과 표본공간
 확률: 경우의 수 Counting
 Bayes의 정리:
Prof. Seewhy Lee