Transcript 제 1장 - myung.inje.ac

Chapter 1
단위, 물리량, 벡터
PowerPoint® Lectures for
University Physics, Twelfth Edition
– Hugh D. Young and Roger A. Freedman
Lectures by James Pazun
Copyright © 2008 Pearson Education Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley
1 장의 목표
• 표준단위를 이용하여 물리량 (physical quantities)
나타내기
• 올바른 유효숫자(significant figure)를 사용하여
계산하고 계산 결과를 바르게 나타내기
• 벡터의 성분 (vector component)을 사용하여 벡터
더하기
• 단위벡터 (unit vector)를 사용하여 벡터 표현하기
• 스칼라 곱 (scalar product)을 이해하고 사용하기
• 벡터 곱 (vector product)을 이해하고 사용하기
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1.1 물리학의 본질
• 물리학은 가장 근본적인 학문의
하나이다
수학을 실제 상황에 처음 적용한
학문의 하나이다
• 물리학은 “매일 매일”의 경험을
통하여 나타나고 존재하는
학문이다
물리학을 연구하는 것은
매우 중요하다
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1.2 물리학의 본질
∙ 자연현상 관측 →형식 찾음 →원리
→ 이론 →물리 법칙
※ 과학적인 방법
관측(observation) →가설(hypothesis) →
실험(experiment) →수정(modification) →
이론(theory) →법칙(law)
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1.2 물리 문제 풀기
문제풀이 요령 1.1
물리 문제 풀기
확인단계 : 관련개념의 확인
문제 풀이에 적합한 물리 개념을 찾아낸다.
계산은 없지만 보통 가장 중요한 과정이다.
문제에서 구하고자 하는 것(변수 또는 수식)이
무엇인지 확인한다.
정리단계: 문제의 정리
확인단계에서 찾은 개념에 따라서 문제 풀이를
위해 사용할 식들을 선택하고 그 식들을 어떻게
사용할 것인지 결정한다.
가능하면 문제의 상황을 그림으로 나타낸다.
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물리 문제 풀기
실행단계 : 계산과정
계산 전에, 주어진 것과 알아야 할 것의 목록을 만들고,
어느 것이 구하고자 하는 변수인지 일반 변수인지
확인한다.
그리고 나서 미지수에 관한 식들을 푼다.
점검단계: 계산 결과 점검과정
물리 문제를 푸는 목적은 단순히 답을 얻는 것이 아니라,
물리적 상황을 더 잘 이해하는 것이다.
얻은 답이 물리적으로 무엇을 의미하는지 생각한다.
얻은 결과가 비합리적이라고 생각될 때는 다시 처음으로
돌아가서 과정들을 점검하고 잘못을 수정한다.
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1.3 표준과 단위
• 길이, 시간, 질량 등의 단위를 기본 단위로 한다.
• 매우 크거나 작은 물리량을 나타내기 위해 단위에
접두사를 붙여 사용한다.
관측가능한
우주의 크기
태양까지의
거리
지구의
지름
인체의
크기
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적혈구의
반지름
원자의
반지름
원자핵의
반지름
1.4 표준과 단위
물리량 (physical quantity)의 기본단위
: International System 혹은 SI계
시간 (time) : 초 (second)
길이 (length) : 미터 (meter)
질량 (mass) : 킬로그램 (kilogram)
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1.4 단위의 일관성과 변환
• 같은 방정식에서 모든 항은 차원이 같아야 한다.
• 물리량을 나타낼 때에는 숫자만을 사용하지
않는다. (계산할 때 항상 단위를 사용)
문제풀이 요령 1.2
단위변환
예) 3분을 초로 환산
1min  60s
1 min
1
60s
 60 s 
3 min  (3 min) 
  180 s
 1 min 
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60s
1
1 min
1.5 단위의 일관성
지상에서 최고로 빠른 차 (Thrust SSC)
엔진: 롤스로이스제 제트엔진 2기
v=1,228km/h (운전자 :앤디 그린,1997)→ v=341.11m/s (마하1)
출력(power)= 100,000 hp (비공식기록)
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1.5 불확정성과 유효숫자
• 연산 후에 데이터의 정확도가
유지되어야 한다.
• 곱셈과 나눗셈에서는
유효숫자의 개수가 작은 쪽에
맞춘다.
• 덧셈과 뺄셈에서는 정확도가
낮은 쪽에 맞춘다.
• 끝자리수 처리에 주의한다.
• 보기 1.3
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정확도 : 56.47 ± 0.02mm⇒[56.45, 56.49］
상대오차 : 47 Ω ±10% ⇒ [42,52］
책 표지 두께 2.91mm →3개
유효숫자 π=3.141592654
→10개
(참값은 10자리 유효숫자)
8
지구→달거리 : 3.84  10 m →3개
정밀도와 정확도의 차이 → 중요
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1.6 어림셈과 크기의 정도
• 계산에 사용되는 데이터를 사용하여
계산결과를 어림셈 한다.
• 실제 계산결과와 어림셈을 비교하여 계산
결과가 잘못되었는지 가늠할 수 있다.
• 보기 1.4
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1.7 벡터 ( 크기와 방향을 갖는 물리량을 표현함)
• 벡터는 크기와 변위를 선으로 표시한다.
손으로 쓸 때:
끝점:
변위:
시작점:
실제
경로
변위는 실제 경로가 아닌
시작점과 끝점에만 의존


변위 A 와 A ' 는


변위 B 는 A 와
길이와 방향이
같으므로
동일하다
크기는 같지만
방향이 반대이다:
물체가 되돌아 오면 이동거리와
상관없이 변위는 0이다
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

B 는 A 의 음벡터


B  A
벡터 더하기
• 그림 방법으로 벡터 더하기
처음 벡터 꼬리에서 나중
벡터 머리로 연결
순서를 바꾸어 더해도
결과는 같다
평행사변형을 만들어 더하기
할 수도 있다
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평행한 두 벡터의 합
반 평행한 두 벡터의 합
벡터 더하기 II
세 벡터의 합을 구하기 위한 여러 가지 방법
  
A
합을 구할
  B  D

DC  R
세
 벡터
  
 
  
A, B, C R  ( A  B)  C  D  C
   
A B C  R
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   
B  AC  R
  
BC  E
  
A E  R
벡터 더하기 III-보기 1.5
스키 선수가 평평한 설원에서 북쪽으로 1.00 km, 다시 동쪽으로 2.00 km를
이동하였다. 출발점으로부터 어느 방향으로 얼마나 멀리 떨어져 있는가?
최종 변위
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벡터 더하기 III-보기 1.5
확인: 여러 변위의 벡터 합 구하기
정리: 상황을 그림으로 정리, 빗면 길이에 해당
실행: 빗면 길이를 피타고라스의 정리를 이용 계산, 는
삼각함수를 이용하여 계산
d  (1.00km) 2  (2.00km) 2  2.24km
2.00km
tan  
1.00km
  63.4
점검: 그림을 축척으로 그린 후 그림에서 합 벡터의 길이를
재 봄으로서 벡터 합을 점검해 보는 것도 좋은 방법
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1.8 벡터의 성분
• 벡터를 그림으로 나타내는 것은 개념을 이해하기
쉽도록 하기 위한 것이다.
벡터를 숫자(벡터성분)로 나타내는 더 일반적인
방법이 있다.
• 임의의 2차원 벡터를 x 성분과 y 성분으로 나눌 수
있다.
 

A  Ax  Ay



A 의 y 성분
A 의 x 성분
A 의 성분벡터
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벡터의 성분 II
B y 가 양:
성분벡터가  y
방향을 가리킨다
Bx 가 음:
성분벡터가  x
방향을 가리킨다
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
C
의 두 성분
모두 음이다
성분 구하기-보기 1.6

그림 (a) 에 표시된 벡터 D 의 x성분과 y성분은 얼마인가?
벡터의 크기는 D=3.00m 이며 각도 a=45 도 이다.
확인: 성분 구하기
정리: 식 1.6 사용, 각도의 부호 주의
실행:   a  45
Dx  D cos   (3.00m)(cos( 45))  2.1m
Dy  D sin   (3.00m)(sin( 45))  2.1m
점검: 그림으로 보면 Dx는 양, Dy는
음이어야 함. 유효숫자는 두 자리
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성분을 이용한 벡터의 계산
• 벡터의 합: 각 벡터의 성분을 구한 뒤 성분 별로
더한다
  
tan  
Ay
Ax
R  A B
 1
  arctan
Ay
Ax
A  Ax2  Ay2
벡터의 크기
Rx  Ax  Bx
Ry  Ay  By
  
R  A  B 의 성분
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성분을 이용한 벡터의 계산 II-보기 1.7
72.4m, 북동으로 32.0도
57.3m, 서남으로 36.0도
17.8m, 정남 방향
위와 같이 이동한 후 최종 위치는?
(북)
확인: 벡터합 구하기, 성분별로
구하기
정리: 그림으로 정리
R  (7.99m) 2  (9.92m) 2  12.7m
9.92m
  arctan
 7.99m
 129  남서방향 39
점검: 그림과 비교
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(동)
1.9 단위벡터
• 크기가 1인 벡터 (단위 없음)
• x 방향 단위벡터: iˆ
y 방향 단위벡터:
3차원 벡터
2차원 벡터
ĵ
z 방향 단위벡터: k̂
• 단위벡터를 이용해서
벡터를 성분으로 표시

A  Axiˆ  Ay ˆj  Az kˆ

B  Bxiˆ  By ˆj  Bz kˆ
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2차원 벡터
1.10 벡터의 곱셈-스칼라곱
• “점곱”이라고도 함
• 정의
 
A  B  A( B cos )

( A의크기)  ( A에나란한 B의성분)
 
A  B  AB cos 
 
 A B cos 
 
A  B  B( A cos  )
벡터의 시작점을
일치시킨다
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


( B의크기)  ( B에나란한 A의성분)
벡터의 곱셈-스칼라곱
0    90
 
A B  0
B cos   0
  90
 
A B  0
B cos   0
90    180
 
A B  0
B cos   0
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벡터의 곱셈-스칼라곱 II
성분으로 계산하기
 
A  B  Ax Bx  Ay By  Az Bz
성분을 이용한 스칼라곱
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벡터의 곱셈-스칼라곱 II -보기 1.10
 
아래에 주어진 두 벡터 A, B 의 스칼라 곱을 구하기. 벡터들의
크기는 각각 A=4.00, B=5.00 이다.
확인: 스칼라곱 구하기
정리: 크기-방향 이용 방법과 성분 이용 방법 중
편리한 것으로 선택
실행: 크기-방향 이용 방법 사용
  130.0  53.0  77.0
 
A  B  AB cos 
 (4.00)(5.00) cos 77.0  4.50
점검: 크기는 각 벡터보다 작아야 하고 두 가지
방법을 이용해서 구했다면 결과는 동일해야
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벡터의 곱셈-벡터곱
 
A, B 가 이루는 면에
• “가위곱”이라고도 함
수직이다
• 정의
방향은 오른손규칙에
의해 결정된다
  
C  A B
C  AB sin 
C 의 방향: 오른손법칙
두 벡터의 시작점을 일치시킨다
(같은 크기이지만
방향은 반대이다)
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벡터의 곱셈-벡터곱 II
 
A  B의 크기  A( B sin  )



( A의 크기)곱하기( A에 수직인 B의 성분)
 
A  B의 크기  B( A sin  )



( B의 크기)곱하기( B에 수직인 A의 성분)
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벡터의 곱셈-벡터곱 III
성분으로 계산하기
Cx  Ay Bz  Az By ,

C
C y  Az Bx  Ax Bz ,
  
C  A  B 의 성분
Cz  Ax By  Ay Bx
• 보기1.12
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