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벡터 미적분학
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1.1 개요
개요
 벡터의 해석(Vector analysis)
 전자기학을 전개하고 응용하는 데 꼭 필요한 중요한 것
 벡터 미적분





발산(Divergence)
기울기(Gradient)
회전(Curl)
발산 정리 (Divergence Theorem)
스토크스 정리(Stokes’ Theorem)
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Vector Analysis
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1.2 벡터 대수
벡터의 기본 연산
 스칼라(scalar)
 크기(magnitude)로 규정되는 양
 이텔릭체 V 로 쓴다
온도, 전하, 전압
 벡터(vector)
 크기와 함께 방향도 갖는 양 속도(velocity), 전기장(E : electric field)
 벡터는 굵은 글자를 사용하여 나타냄
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1.2 벡터 대수
벡터의 기본 연산
 벡터 덧셈
 교환 법칙 성립
 결합법칙 성립
 A에서 B를 뺄 때
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1.2 벡터 대수
벡터의 기본 연산
 스칼라 곱셈
 분배 법칙 성립
 나눗셈
 단위벡터(a : unit vector)
 길이는 1이면서 A와 같은 방향을 가리키는 벡터
 종류와 관계없이 크기가 같고 방향만 다름
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1.2 벡터 대수
벡터의 기본 연산
 점곱(dot product)
 두 벡터의 점곱을 계산하면 스칼라가 됨
 A = IAI, B = IBI 이고, θAB 는 A와 B의 사잇각
 점곱은 A에 B의 A 방향성분(B의 A 위로의 정사영) B cosθAB 를 곱한 것
 교환 법칙 성립
 분배 법칙 성립
 특별한 경우
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1.2 벡터 대수
벡터의 기본 연산
 가위곱(cross product)
 두 벡터의 가위곱을 계산하면 벡터가 됨
 AⅹB의 크기인 AB sinθAB 는 A와 B가 만든 평행사변형의 면적(밑변ⅹ
높이)
 AⅹB는 A와 B에 각각 수직
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1.2 벡터 대수
직각 좌표계에서의 벡터 대수
 점곱
 단위벡터의 점곱
 두 벡터의 점곱
 특별한 경우
 벡터의 크기
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1.2 벡터 대수
직각 좌표계에서의 벡터 대수
 가위곱
 단위벡터끼리의 가위곱
 오른손 규칙을 적용하거나 xyzxyz의 순환방식에 따라 구할 수 있음
 행렬식(determinant)의 형식으로 간단히 쓸 수 있음
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1.4 벡터 미적분
정의
 스칼라함수의 기울기, 벡터함수의 발산, 벡터함수의 회전을 정의
 이 세가지 양은 스칼라장과 벡터장이 위치에 따라 어떤 식으로 변화하는
지 알 수 있게 해줌
 벡터 미분연산자(∇)
 ∇: 델(del) 또는 나블라(nabla)
 벡터에 대해 연산을 할 수도 있고, 스칼라에 대해 연산할 수도 있음
 스칼라함수의 기울기
 벡터함수 A의 발산
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1.4 벡터 미적분
정의
 벡터함수 A의 회전
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1.4 벡터 미적분
방향 미분(Directional Derivative) 1/2
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1.4 벡터 미적분
방향 미분(Directional Derivative) 2/2
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1.4 벡터 미적분
기울기(Gradient) 1/4
 정의(Definition)
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1.4 벡터 미적분
기울기(Gradient) 2/4
 스칼라함수의 기울기의 물리적 의미
 기울기의 방향은 그 스칼라의 거리에 대한 변환율이 최대가 되는 방향
 기울기의 크기는 최대 변화율 값
온도를 나타내는
스칼라 함수
벡터 거리는 변화
율 (벡터로 표현)
T(x,y,z)
벡터 방향은 변화
율 방향
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1.4 벡터 미적분
기울기(Gradient) 3/4
 연쇄규칙(chain rule)을 이용
 방향 도함수
 기울기와 임의의 방향 al 과의 점곱을 하면 방향 도함수, 즉 그 방향으로의
변화율이 나옴
예제 1-8
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1.4 벡터 미적분
기울기(Gradient) 4/4
풀이
(a) 직각 좌표계에서
여기서
인 관계식을 사용
(b)
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1.4 벡터 미적분
발산(Divergence)
 벡터함수 A의 발산은 주어진 한 점에서 밖으로 빠져나가는 A의 알짜 유
량(net flux)이 얼마나 되는지 나타내는 척도(기준)
 발산은 단위부피당 알짜 유출 유량(net outward flux per unit volume)
으로 정의됨
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1.4 벡터 미적분
발산(Divergence)
예제
1-9 발산이 있는 벡터장
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1.4 벡터 미적분
회전(Curl)
 벡터함수의 회전은 한 점 주위의 순환(circulation)이 얼마나 되는지를 나
타내는 척도
 회전은 단위면적당 순환량(circulation per unit area)으로 정의
예제 1-10 회전이 있는 벡터장
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1.4 벡터 미적분
회전(Curl)
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1.4 벡터 미적분
회전(Curl)
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1.3 좌표계
벡터함수의 적분
 선적분(line integral)
 ∫c F ∙ d l 을 경로 C 에 대한 벡터 F의 선적분이라 함
 F 와 d l 의 점곱을 취해 적분
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1.3 좌표계
벡터함수의 적분
예제 1-5
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1.3 좌표계
벡터함수의 적분
풀이
경로 C 를 나타내는 직선의 방정식을 구한다
변수에 대한 제약조건
이므로 이를 정리하면
이를 미분하면
미분에 대한 제약조건
변수 제약조건 사용
미분 제약조건 사용
C𝒂 = C𝒙 + C𝒚 + C𝒛 인 경로 C𝒂 에 대한 선적분을 계산
일반적으로, 두 점 사이의 선적분
은 적분경로에 따라 달라짐
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1.3 좌표계
벡터함수의 적분
 경로 비의존성
 벡터장 F가 다음 조건을 만족하는 특수한 종류의 벡터이면, 이 벡터는 보
존적(conservative)이라 함
 식(1.28a)의 좌변에 있는 선적분을 닫힌 경로 C 에 대한 벡터 F의 순환
(circulation)이라 함
 보존장인 경우, 선적분은 경로에 무관
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1.3 좌표계
벡터함수의 적분
 면적분(유량)
 ∬s F ∙ d s 는 표면 S 를 통한 벡터 F의 유량(flux)이라 함
 [그림 1-15(a)]와 같이 닫힌표면인 경우 수직방향을 표면 바깥쪽 방향으로 정
의
 열린표면의 경우 표면의 둘레를 따라가는 경로 C 에 대해 오른손 규칙을 적용
하여 수직방향을 정의
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1.4 벡터 미적분
발산 정리와 스토크스 정리(Divergence Theorem and Stokes’ Theorem)
 발산정리(Divergence Theorem)
 닫힌표면 S 는 부피 V 의 경계를 이루는 표면
 벡터 A가 모든 곳(점)에서 발산이 없는 벡터, 즉 ∇∙A가 0인 벡터인 경우
 A를 비발산장(divergenceless field) 또는 솔레노이드장(solenoidal field)이
라함
 스토크스 정리(Stokes’ Theorem)
 닫힌경로 C 는 열린표면 S 의 경계가 됨
 벡터 A가 모든 곳에서 회전이 없는 벡터, 즉 ∇ⅹ A 가 0인 벡터인 경우
 비회전장(curl-free field) 또는 보존장(conservative field)이라 함
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1.4 벡터 미적분
발산 정리와 스토크스 정리(Divergence Theorem and Stokes’ Theorem)
예제 1-11 발산 정리
풀이
(a) 표면 S1에서는
F가 직각좌표로 주어졌으므로, 적분을 하려면 이를 구좌표로 변환
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1.4 벡터 미적분
발산 정리와 스토크스 정리(Divergence Theorem and Stokes’ Theorem)
표면 S2에서 z = 0 이므로 F = azz2 = 0
(b)
가 성립하므로 발산 정리가 증명된다
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1.4 벡터 미적분
발산 정리와 스토크스 정리(Divergence Theorem and Stokes’ Theorem)
예제 1-12 스토크스 정리
풀이
(a) 직선경로를 C1, 반원경로를 C2로 정한다
경로 C1에서는
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이다
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1.4 벡터 미적분
발산 정리와 스토크스 정리(Divergence Theorem and Stokes’ Theorem)
경로 C2에서는
이다
C2를 따라 선적분을 하기 위해서는 F를 원통 좌표계로 변환해야 한다
(b)
C로 둘러싸인 표면 S에 대해,
이므로
이 성립하므로 스토크스 정리가 증명된다
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1.4 벡터 미적분
발산 정리와 스토크스 정리(Divergence Theorem and Stokes’ Theorem)
예제 1-13 점전하의 전기장
예제
1-14 선전류의 자기장
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1.4 벡터 미적분
벡터 항등식
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1.4 벡터 미적분
고차 벡터 미분 함수
 델(∇) 연산자 두 개를 연속해서 사용하는 양 5가지

와
두 가지 양은 어떤 스칼라함수 V 와 어떤 벡터
함수 A에 대해서도 항상 0
를 줄여서

로 쓰는데, 이것을 스칼라 V 의 라플라시안이
라고 함
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Q&A
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