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◈ 그래디언트 또는 기울기
그래디언트(gradient)의 정의
스칼라장의 최대 증가율을 나타내는 벡터장
화살표의 방향은 증가율이 최대가 되는 방향
화살표의 길이는 증가율이 최대일 때 증가율의 크기
벡터미분연산자(Vector differential operator) = 델(Del) = 나블라(Nabla) = 𝛻
미분 가능한 2변수 함수 𝑓 𝑥, 𝑦 또는 3변수함수 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 의 그래디언트
𝜕
𝜕
𝜕𝑓
𝜕𝑓
𝛻 =
𝑖+
𝑗
𝛻𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑓 =
𝑖+
𝑗
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕
𝜕
𝜕
𝜕𝑓
𝜕𝑓
𝜕𝑓
𝛻 =
𝑖+
𝑗 +
𝑘
𝛻𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑓 =
𝑖+
𝑗+
𝑘
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
그래디언트의 물리적 의미
어느 방안의 공간 온도 분포를 스칼라장 𝑇 𝑥, 𝑦, 𝑧
이 온도는 시간에 따라 변하지 않는다고 가정
어느 한 점 𝑃(𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 )에서의 온도 𝑇(𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 )로 표시
그 지점에서의 그래디언트 𝛻𝑇(𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 )
벡터 𝛻𝑇(𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 )의 방향은 그 지검에서 온도가 가장 빨리 증가하는 방향
벡터 𝛻𝑇(𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) 의 크기는 그 지점에서의 온도 증가율
◈ 그래디언트 또는 기울기
[예제 7-13] 다음과 같이 주어진 함수에 대해 점 (2, 1, 1)에서 𝛻𝑓를 구하라.
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥 2 𝑦 + 𝑥𝑦𝑧 − 2𝑥𝑦 2 𝑧
풀이
𝛻𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑓 =
𝜕𝑓
𝜕𝑓
𝜕𝑓
𝑖+
𝑗+
𝑘
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
= 2𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 2𝑦 2 𝑧 𝑖 + 𝑥 2 + 𝑥𝑧 + 4𝑥𝑦𝑧 𝑗 + (𝑥𝑦 − 2𝑥𝑦 2 )𝑘
𝛻𝑓 2, 1, 1 = 2 2 1 + 1 1 − 2(1)2 (1) 𝑖 + (2)2 + 2 1 − 4(2)(1)(1) 𝑗
+ 2 1 − 2(2)(1)2 𝑘
= 3𝑖 − 2𝑗 − 2𝑘
: 코딩
syms('x','y','z');
f=x^2*y+x*y*z-2*x*y^2*z;
fx=diff(f,x); fy=diff(f,y); fz=diff(f,z);
gf=[fx fy fz];
U=subs(gf,{x,y,z},{2,1,1})
: 결과
◈ 라플라시안
라플라시안(Laplacian)의 정의
n차원 실수 공간의 스칼라 함수𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑛 )의 라플라시안
𝛻 ∙ 𝛻𝑓 =
𝜕
𝜕
𝜕
𝑒1 +
𝑒2 + ⋯ +
𝑒
𝜕𝑥1
𝜕𝑥2
𝜕𝑥𝑛 𝑛
∙
𝜕𝑓
𝜕𝑓
𝜕𝑓
𝑒1 +
𝑒2 + ⋯ +
𝑒
𝜕𝑥1
𝜕𝑥2
𝜕𝑥𝑛 𝑛
𝜕2𝑓
𝜕2𝑓
𝜕2𝑓
2
=
2 +
2 + ⋯+
2 = 𝛻 𝑓
𝜕𝑥1
𝜕𝑥2
𝜕𝑥𝑛
일반적으로 3차원 공간 좌표에 대한 라플라시안이 자주 사용
𝛻 2 𝑓 = 0을 라플라스 방정식(Laplace equation)이라 하고,
𝛻 2 𝑓 = 0을 만족시키는 스칼라 함수 𝑓를 조화함수(Harmonic function)
라플라스 방정식의 중요성은 중력장에서 뉴턴의 법칙과 동일한 식이 물리 법칙으로도 얻어짐
◈ 방향도함수
방향도함수(Directional derivative)의 정의
임의의 방향으로의 편도함수
미분 가능한 2변수 함수 𝑓 𝑥, 𝑦 또는 3변수함수 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 의
단위벡터 𝑢 방향으로의 방향도함수
𝐷𝑢 𝑓 = 𝛻𝑓 ∙ 𝑢
𝑥 방향으로의 방향도함수
𝐷𝑖 𝑓 = 𝛻𝑓 ∙ 𝑖 =
𝑦 방향으로의 방향도함수
𝐷𝑗 𝑓 = 𝛻𝑓 ∙ 𝑗 =
𝑧 방향으로의 방향도함수
𝐷𝑘 𝑓 = 𝛻𝑓 ∙ 𝑘 =
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝑖+
𝑖+
𝑖+
𝜕𝑓
𝜕𝑦
𝜕𝑓
𝜕𝑦
𝜕𝑓
𝜕𝑦
𝑗+
𝑗+
𝑗+
𝜕𝑓
𝜕𝑧
𝜕𝑓
𝜕𝑧
𝜕𝑓
𝜕𝑧
𝑘 ∙𝑖=
𝑘 ∙𝑗=
𝑘 ∙𝑘 =
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝜕𝑓
𝜕𝑦
𝜕𝑓
𝜕𝑧
방향도함수의 기하학적 의미
𝛻𝑓의 𝑢 방향으로의 성분 = 𝛻𝑓의 𝑢 방향으로의 방향도함수
𝑐𝑜𝑚𝑝𝑢 𝛻𝑓 = 𝛻𝑓 ∙ 𝑢 =
𝛻𝑓
𝑢 cos 𝜃 = 𝛻𝑓 cos 𝜃
𝛻𝑓
함수𝑓가 가장 급격하게 증가하는 방향
𝜃 = 0일때,
𝛻𝑓 cos 0 =
𝜃 = 180일때,
𝛻𝑓 cos 180 = − 𝛻𝑓
함수𝑓가 가장 급격하게 감소하는 방향
𝜃 = 90일때,
𝛻𝑓 cos 90 = 0
함수𝑓가 증가하지도 감소하지도 않는 방향
◈ 방향도함수
[예제 7-14] 다음과 같이 주어진 함수𝑓 𝑥, 𝑦 에 대해 점 2, −1 에서 벡터 𝑎 = 𝑖 + 𝑗
방향으로의 방향 도함수를 구하라
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 2 𝑦 + 𝑥𝑦
풀이
𝑎
𝑖+ 𝑗
=
𝑎
2
𝜕𝑓
𝜕𝑓
𝛻𝑓 𝑥, 𝑦 =
𝑖+
𝑗 = 2𝑥𝑦 + 𝑦 𝑖 + (𝑥 2 + 𝑥)𝑗
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝛻𝑓 2, −1 = −5𝑖 + 6𝑗
𝐷𝑎 𝑓 = 𝛻𝑓 2, −1 ∙
𝑎
𝑖+ 𝑗
1
= −5𝑖 + 6𝑗 ∙
=
𝑎
2
2
: 코딩
: 결과
syms('x','y');
fx=diff(f,x); fy=diff(f,y);
a=[1 1];
gf=[fx fy];
a_u=a/norm(a);
gf_p=subs(gf,{x,y},{2,-1});
f=x^2*y+x*y;
D_a=dot(gf_p,a_u)
◈ 방향도함수
[예제 7-15] 다음과 같이 주어진 함수𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 에 대해 점 1, −1, −2 에서 벡터 𝑎 = −𝑖 + 2𝑗 + 2𝑘
방향으로의 방향 도함수를 구하라
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 2𝑥𝑦 2 𝑧 + 𝑧𝑒 −𝑥𝑦
풀이
𝑎
=
𝑎
−𝑖 + 2𝑗 − 2𝑘
(−1)2 + 22 + (−2)2
𝛻𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 =
=
−𝑖 + 2𝑗 − 2𝑘
3
𝜕𝑓
𝜕𝑓
𝜕𝑓
𝑖+
𝑗+
𝑘 = 2𝑦 2 𝑧 + 𝑦𝑧𝑒 −𝑥𝑦 𝑖 + 4𝑥𝑦𝑧 + 𝑥𝑧𝑒 −𝑥𝑦 𝑗 + (2𝑥𝑦 2 + 𝑒 −𝑥𝑦 )𝑘
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝛻𝑓 1, −1, −2 = −4 − 2𝑒 𝑖 + 8 + 2𝑒 𝑗 + (2 + 𝑒)𝑘
𝐷𝑎 𝑓 = 𝛻𝑓 1, −1, −2 ∙
𝑎
=
𝑎
−4 − 2𝑒 𝑖 + 8 + 2𝑒 𝑗 + (2 + 𝑒)𝑘 ∙
: 코딩
−𝑖 + 2𝑗 − 2𝑘
16 + 𝑒
=
3
3
: 결과
syms('x','y','z');
fx=diff(f,x); fy=diff(f,y); fz=diff(f,z);
a=[-1 2 -2];
gf=[fx fy fz];
a_u=a/norm(a);
gf_p=subs(gf,{x,y,z},{1,-1,-2});
f=2*x*y^2*z+z*exp(-x*y);
D_a=dot(gf_p,a_u)
◈ 방향도함수
[예제 7-16] 다음과 같이 주어진 함수𝑓 𝑥, 𝑦 에 대해 점 2, 1 − 에서 방향도함수의
최대값과 최솟값을 구하라
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 2 𝑦 + 𝑥𝑦
풀이
𝛻𝑓 𝑥, 𝑦 =
𝜕𝑓
𝜕𝑓
𝑖+
𝑗 = 2𝑥𝑦 + 𝑦 𝑖 + (𝑥 2 + 𝑥)𝑗
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝛻𝑓 2, −1 = −5𝑖 + 6𝑗
최대값 : 𝛻𝑓 =
−5𝑖 + 6𝑗 =
(−5)2 + (6)2 =
61
최솟값 : − 61
: 코딩
: 결과
syms('x','y');
gf_p=subs(gf, {x,y}, {2,-1});
f=x^2*y+x*y;
f_max=norm(gf_p)
fx=diff(f,x);
fy=diff(f,y); f_min=-f_max
gf=[fx fy];
◈ 방향도함수
[예제 7-17] 어떤 물체 표면의 온도분포 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧)가 다음과 같이 주어질 때, 점 (1,2,1)에서
온도가 가장 급격히 증가하는 방향과 가장 급격히 감소하는 방향을 구하고,
증가 또는 감소하는 크기를 구하라
𝑇 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 2𝑥 2 − 3𝑦 2 − 2𝑥𝑧 2 + 10
풀이
𝛻𝑇 𝑥, 𝑦, 𝑧 =
𝜕𝑇
𝜕𝑇
𝜕𝑇
𝑖+
𝑗+
𝑘 = 4𝑥 − 2𝑧 2 𝑖 − 6𝑦 𝑗 − 4𝑥𝑧𝑘
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝛻𝑇 1,2,1 = 2𝑖 − 12𝑗 − 4𝑘
−𝛻𝑇 1,2,1 = −2𝑖 + 12𝑗 + 4𝑘
𝛻𝑇 =
22 + (−12)2 + (−4)2 = 2 41
− 𝛻𝑇 = −2 41
: 코딩
: 결과
syms('x','y','z');
gT_p=subs(gT,{x,y,z},{1,2,1});
T=2*x^2-3*y^2-2*x*z^2+10;
T_max=norm(gT_p)
Tx=diff(T,x); Ty=diff(T,y); Tz=diff(T,z);
T_min=-T_max
gT=[Tx Ty Tz];
◈ 발산과 회전
발산(Divergence)의 정의
델 연산자가 벡터장 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)와 결합하여 스칼라 함수를 만들어내는 경우
벡터장 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑝 𝑥, 𝑦, 𝑧 + 𝑞 𝑥, 𝑦, 𝑧 + 𝑟 𝑥, 𝑦, 𝑧 의 발산
𝑑𝑖𝑣𝑓 = 𝛻 ∙ 𝑓 =
𝜕
𝜕
𝜕
𝜕𝑝 𝜕𝑞
𝜕𝑟
𝑖+
𝑗 +
𝑘 ∙ 𝑝𝑖 + 𝑞𝑗 + 𝑟𝑘 =
+
+
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑥 𝜕𝑦
𝜕𝑧
발산의 물리적 의미
세 변의 길이가 각각 ∆𝑥, ∆𝑦, ∆𝑧이고, 부피가 ∆V = ∆𝑥∆𝑦∆𝑧인 작은 직육면체의 요소로부터
유출되는 유체의 양을 고려해 보자.
유체의 속도장 (velocity field) [𝑚/𝑠] 𝑣 = 𝑣1 𝑖 + 𝑣2 𝑗 + 𝑣3 𝑘
밀도 (density) 𝜌 [kg/𝑚3 ] → 단위체적당 질량
벡터장 𝑢 = 𝜌𝑣 = 𝑢1 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑖 + 𝑢2 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑗 + 𝑢3 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑘 → 단위 체적당 유량
◈ 발산과 회전
발산의 물리적 의미
[그림 7-8] 유체의 3차원 운동
◈ 발산과 회전
압축성 유체 (compressible fluid) 일때,
𝑦축 방향으로 직육면체에서 흘러나간 유량
= 면 B를 통과하여 ∆𝑡시간 동안 직육면체 밖으로 흘러나가는 유체의 양
- 면 A를 통과하여 ∆𝑡시간 동안 직육면체 안으로 들어오는 유체의 양
𝑢2 𝑥, 𝑦 + ∆𝑦, 𝑧 ∆𝑥∆𝑧∆𝑡 − 𝑢2 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∆𝑥∆𝑧∆𝑡
𝑦축 방향으로 흘러간 유량 ∆𝑦 → 0
𝑢2 𝑥, 𝑦 + ∆𝑦, 𝑧 ∆𝑥∆𝑧∆𝑦∆𝑡 − 𝑢2 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∆𝑥∆𝑧∆𝑦∆𝑡
∆𝑦 →0
∆𝑦
lim
𝑢2 𝑥, 𝑦 + ∆𝑦, 𝑧 − 𝑢2 𝑥, 𝑦, 𝑧
𝜕𝑢2
∆V∆𝑡 =
∆V∆𝑡
∆𝑦 →0
∆𝑦
𝜕𝑦
= lim
총 유출량 = 𝑥축, 𝑦축, 𝑧축의 유출량 = 직육면체 안의 질량의 손실(밀도의 시간에 대한 변화율)
𝜕𝑢12
𝜕𝑢2
𝜕𝑢3
𝜕𝑢1 𝜕𝑢2 𝜕𝑢3
𝜕𝑝
∆V∆𝑡 +
∆V∆𝑡 +
∆V∆𝑡 =
+
+
∆V∆𝑡 = − ∆V∆𝑡
𝜕𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑡
𝜕𝑢1 𝜕𝑢2 𝜕𝑢3
𝜕𝑝
𝜕𝑝
𝜕𝑝
+
+
+
= 𝑑𝑖𝑣𝑢 +
= 𝑑𝑖𝑣(𝜌𝑣) +
=0
𝜕𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑡
𝜕𝑡
𝜕𝑡
압축성 유체의 연속방정식(continuous equation)
◈ 발산과 회전
정상유동(steady flow) 일때,
밀도가 시간에 따라 변하지 않는다
𝑑𝑖𝑣(𝜌𝑣) +
𝜕𝑝
=0
𝜕𝑡
𝜕𝑝
= 𝑑𝑖𝑣(𝜌𝑣) = 0
𝜕𝑡
비압축성유체(incompressible) 일때,
밀도가 상수이다 𝜌 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡
𝑑𝑖𝑣(𝜌𝑣) = 𝑑𝑖𝑣𝑣 = 0
유동하는 유체가 비압축성이기 위한 필요충분조건
◈ 발산과 회전
[예제 7-18] 다음 벡터장 𝐹에 대해 𝑑𝑖𝑣𝐹를 구하라
𝐹 = (𝑥 − 𝑦)2 𝑖 − 𝑥𝑦𝑧 𝑗 + 𝑦𝑧𝑒 2𝑥 𝑘
풀이
𝑑𝑖𝑣 𝐹 =
𝜕
𝜕
𝜕
(𝑥 − 𝑦)2 +
−𝑥𝑦𝑧 +
𝑦𝑧𝑒 2𝑥 = 2 𝑥 − 𝑦 − 𝑥𝑧 + 𝑦𝑒 2𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
: 코딩
syms('x','y','z');
F1=(x-y)^2; F2=-x*y*z; F3=y*z*exp(2*x);
divF=diff(F1,x)+diff(F2,y)+diff(F3,z)
: 결과
◈ 발산과 회전
[예제 7-19] 다음과 같이 주어진 속도 벡터장 𝐹 에 대해 유동이 비압축성임을 보여라.
𝐹 = 2(𝑥 − 𝑦)2 𝑖 − 4𝑥𝑦 𝑗 + 2𝑦(𝑥 + 2𝑧)𝑘
풀이
𝑑𝑖𝑣 𝐹 =
𝜕
𝜕
𝜕
2(𝑥 − 𝑦)2 +
−4𝑥𝑦 +
2𝑦(𝑥 + 2𝑧) = 4 𝑥 − 𝑦 − 4𝑥 + 4𝑦 = 0
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
: 코딩
syms('x','y','z');
F1=2*(x-y)^2; F2=-4*x*y; F3=2*y*(x+2*z);
divF=diff(F1,x)+diff(F2,y)+diff(F3,z)
: 결과
◈ 발산과 회전
회전(curl)의 정의
델 연산자가 벡터장 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)와 결합하여 벡터 함수를 만들어내는 경우
벡터장 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑝 𝑥, 𝑦, 𝑧 + 𝑞 𝑥, 𝑦, 𝑧 + 𝑟 𝑥, 𝑦, 𝑧 의 회전
𝑖
curl 𝑓 = 𝛻 × 𝑓 = 𝜕
𝜕𝑥
𝑝
𝑗
𝜕
𝜕𝑦
𝑞
𝑘
𝜕 = 𝜕𝑟 − 𝜕𝑞 𝑖 + 𝜕𝑝 − 𝜕𝑟 𝑗 + 𝜕𝑞 − 𝜕𝑝 𝑘
𝜕𝑦 𝜕𝑧
𝜕𝑧 𝜕𝑥
𝜕𝑥 𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝑟
회전의 물리적인 의미
유체의 흐름에서 회전하려는 경향의 척도로 사용
벡터장 𝑓가 유체의 유동장일때,
𝑐𝑢𝑟𝑙 𝑓 ≠ 0이면 회전적 유동(Rotational flow)
𝑐𝑢𝑟𝑙 𝑓 = 0 이면 비회전적 유동(Irrotational flow)
비회전적 유동은 흐름에 있어서 소용돌이(whirlpool)가 없다는 뜻
◈ 발산과 회전
[예제 7-20] 다음과 같이 주어진 벡터장 𝑓의 회전을 구하라
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥 2 + 2𝑦𝑧 𝑖 + 𝑥𝑦𝑧 + 𝑧 2 𝑗 + 𝑥𝑦𝑧𝑘
풀이
curl 𝑓 = 𝛻 × 𝑓 =
𝑖
𝜕
𝜕𝑥
2
𝑥 + 2𝑦𝑧
𝑗
𝜕
𝜕𝑦
𝑥𝑦𝑧 + 𝑧 2
𝑘
𝜕
𝜕𝑧
(𝑥𝑦𝑧)
𝜕(𝑥𝑦𝑧) 𝜕(𝑥𝑦𝑧 + 𝑧 2 )
𝜕(𝑥 2 +2𝑦𝑧) 𝜕(𝑥𝑦𝑧)
=
−
𝑖+
−
𝑗
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑧
𝜕𝑥
𝜕(𝑥𝑦𝑧 + 𝑧 2 ) 𝜕(𝑥 2 + 2𝑦𝑧)
+
−
𝑘
𝜕𝑥
𝜕𝑦
= 𝑥𝑧 − 𝑥𝑦 + 2𝑧 𝑖 + 2𝑦 − 𝑦𝑧 𝑗 + (𝑦𝑧 − 2𝑧)𝑘
: 코딩
: 결과
syms('x','y','z');
p=x^2+2*y*z; q=x*y*z+z^2; r=x*y*z;
fx=diff(r,y)-diff(q,z); fy=diff(p,z)-diff(r,x); fz=diff(q,x)-diff(p,y);
curl_f=[fx fy fz]
◈ 발산과 회전
[예제 7-21] 다음과 같이 주어진 물의 흐름 속도장 𝑣가 비회전적임을 보여라
2𝑥
2𝑦
𝑣 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 2
𝑖
+
𝑗 (𝑥 ≠ 0, 𝑦 ≠ 0)
𝑥 + 𝑦2
𝑥2 + 𝑦2
풀이
𝑣𝑥 =
2𝑥
,
𝑥2 + 𝑦2
𝑖
𝜕
curl 𝑓 =
𝜕𝑥
𝑣𝑥
=
𝑣𝑦 =
𝑗
𝜕
𝜕𝑦
𝑣𝑦
2𝑦
,
𝑥2 + 𝑦2
𝑣𝑧 = 0
𝑘
𝜕𝑣𝑦 𝜕𝑣𝑥
𝜕𝑣𝑦 𝜕𝑣𝑥
𝜕𝑣𝑧 𝜕𝑣𝑦
𝜕𝑣𝑥 𝜕𝑣𝑧
𝜕
=
−
𝑖+
−
𝑗+
−
𝑘=
−
𝑘
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑧
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝑣𝑧
𝜕
2𝑦
𝜕
2𝑥
+
2
2
2
𝜕𝑥 𝑥 + 𝑦
𝜕𝑦 𝑥 + 𝑦 2
𝑘=
: 코딩
−4𝑥𝑦
+ 𝑦2
𝑥2
2
−
(−4𝑥𝑦)
𝑘= 0
𝑥2 + 𝑦2 2
: 결과
syms('x','y','z');
vx=2*x/(x^2+y^2); vy=2*y/(x^2+y^2); vz=0;
cx=diff(vz,y)-diff(vy,z); cy=diff(vx,z)-diff(vz,x); cz=diff(vy,x)-diff(vx,y);
curl_v=[cx cy cz]