1-5 벡터의 스칼라곱

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Transcript 1-5 벡터의 스칼라곱 

y
벡터의 스칼라 곱
두 벡터를 곱하여 스칼라(숫
자)가 나오는 것을 스칼라 곱
또는 내적이라고 한다.

B

A
x
©2010. Prof. Byeong June MIN, Department of Physics, Daegu University
y
벡터의 스칼라 곱
두 벡터를 곱하여 스칼라(숫
자)가 나오는 것을 스칼라 곱
또는 내적이라고 한다.
내적을 표현하기 위해서는
반드시 중간에 점을 찍어야
한다.

B

A
x
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y
벡터의 스칼라 곱
두 벡터를 곱하여 스칼라(숫
자)가 나오는 것을 스칼라 곱
또는 내적이라고 한다.
내적을 표현하기 위해서는
반드시 중간에 점을 찍어야
한다.
 
A B

B
(A dot B 라고 읽는다)

A
x
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벡터의 스칼라 곱
y
두 벡터를 곱하여 스칼라(숫
자)가 나오는 것을 스칼라 곱
또는 내적이라고 한다.
내적을 표현하기 위해서는
반드시 중간에 점을 찍어야
한다.
 
A  B  AB cos 

B

A

x
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벡터의 스칼라 곱
y
두 벡터를 곱하여 스칼라(숫
자)가 나오는 것을 스칼라 곱
또는 내적이라고 한다.
내적을 표현하기 위해서는
반드시 중간에 점을 찍어야
한다.
 
A  B  AB cos 

B
 AB cos 

A

x
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벡터의 스칼라 곱
y
두 벡터를 곱하여 스칼라(숫
자)가 나오는 것을 스칼라 곱
또는 내적이라고 한다.
내적을 표현하기 위해서는
반드시 중간에 점을 찍어야
한다.
 
A  B  AB cos 

B

B
 AB cos 

A


B//
x
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벡터의 스칼라 곱
y
두 벡터를 곱하여 스칼라(숫
자)가 나오는 것을 스칼라 곱
또는 내적이라고 한다.
내적을 표현하기 위해서는
반드시 중간에 점을 찍어야
한다.
 
A  B  AB cos 

B

B
 AB cos 
 AB//

A


B//
x
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예제. 다음 그림에서 A = 1 , B = 2,  = 30 ° 이다. 내적을 구하여라.

A


B
© Prof. Byeong June MIN, Daegu University
예제. 다음 그림에서 A = 1 , B = 2,  = 30 ° 이다. 내적을 구하여라.

A

 
A  B  AB cos 

B
© Prof. Byeong June MIN, Daegu University
예제. 다음 그림에서 A = 1 , B = 2,  = 30 ° 이다. 내적을 구하여라.

A
 
A  B  AB cos 
 1 2  cos30


B
© Prof. Byeong June MIN, Daegu University
예제. 다음 그림에서 A = 1 , B = 2,  = 30 ° 이다. 내적을 구하여라.

A
 
A  B  AB cos 
 1 2  cos30


B
 3
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y
직교하는 두 벡터의 스칼라 곱
서로 직교하는 두 벡터

A

A
와
x
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y
직교하는 두 벡터의 스칼라 곱
서로 직교하는 두 벡터

A

B
와
가 있다.

B

A
x
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y
직교하는 두 벡터의 스칼라 곱
서로 직교하는 두 벡터

A 와

B 가 있다.
 
A  B 를 계산하여라.

B

A
x
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y
직교하는 두 벡터의 스칼라 곱
서로 직교하는 두 벡터

A 와

B 가 있다.
 
A  B 를 계산하여라.
   
A  B  A B cos

B

A
x
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y
직교하는 두 벡터의 스칼라 곱
서로 직교하는 두 벡터

A 와

B 가 있다.
 
A  B 를 계산하여라.
   
A  B  A B cos

B
두 벡터의 사이각은 90도이므로,

A
cos  cos90  0
x
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y
직교하는 두 벡터의 스칼라 곱
서로 직교하는 두 벡터

A 와

B 가 있다.
 
A  B 를 계산하여라.
   
A  B  A B cos

B
두 벡터의 사이각은 90도이므로,

A
cos  cos90  0
 
x
A B  0
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y
직교하는 두 벡터의 스칼라 곱
서로 직교하는 두 벡터

A 와

B 가 있다.
 
A  B 를 계산하여라.
   
A  B  A B cos

B
두 벡터의 사이각은 90도이므로,

A
cos  cos90  0
 
x
A B  0
직교하는 두 벡터의 스칼라 곱은 0 이다.
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단위 벡터 자신과의 스칼라 곱
y
yˆ
xˆ
x
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단위 벡터 자신과의 스칼라 곱
y
x 방향의 단위 벡터를
y 방향의 단위 벡터를
xˆ
yˆ
라 하자.
yˆ
xˆ
x
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단위 벡터 자신과의 스칼라 곱
y
x 방향의 단위 벡터를
y 방향의 단위 벡터를
xˆ
yˆ
라 하자.
이때
yˆ
xˆ
xˆ  xˆ
는 얼마인가?
x
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단위 벡터 자신과의 스칼라 곱
y
x 방향의 단위 벡터를
y 방향의 단위 벡터를
xˆ
yˆ
라 하자.
이때
xˆ  xˆ
는 얼마인가?
xˆ  xˆ  xˆ xˆ cos
yˆ
xˆ
x
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단위 벡터 자신과의 스칼라 곱
y
x 방향의 단위 벡터를
y 방향의 단위 벡터를
xˆ
yˆ
라 하자.
이때
xˆ  xˆ
는 얼마인가?
xˆ  xˆ  xˆ xˆ cos
단위 벡터의 크기는 1 이고,
단위 벡터 자신과의 사이각은
0도이므로,
xˆ  xˆ  11 cos 0
yˆ
xˆ
x
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단위 벡터 자신과의 스칼라 곱
y
x 방향의 단위 벡터를
y 방향의 단위 벡터를
xˆ
yˆ
라 하자.
이때
xˆ  xˆ
는 얼마인가?
xˆ  xˆ  xˆ xˆ cos
단위 벡터의 크기는 1 이고,
단위 벡터 자신과의 사이각은
0도이므로,
xˆ  xˆ  11 cos 0
yˆ
xˆ
x
xˆ  xˆ  1
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단위 벡터 자신과의 스칼라 곱
y
x 방향의 단위 벡터를
y 방향의 단위 벡터를
xˆ
yˆ
라 하자.
이때
xˆ  xˆ
는 얼마인가?
xˆ  xˆ  xˆ xˆ cos
단위 벡터의 크기는 1 이고,
단위 벡터 자신과의 사이각은
0도이므로,
cos   cos 0  1
yˆ
xˆ
x
xˆ  xˆ  1
단위 벡터와 자신과의 스칼라 곱은 1 이다.
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직교하는 두 단위 벡터의 스칼라 곱
y
yˆ
xˆ
x
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직교하는 두 단위 벡터의 스칼라 곱
y
xˆ  yˆ
yˆ
xˆ
를 계산하여라.
x
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직교하는 두 단위 벡터의 스칼라 곱
y
xˆ  yˆ 를 계산하여라.
   
A  B  A B cos
를 적용하면,
yˆ
xˆ
x
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직교하는 두 단위 벡터의 스칼라 곱
y
xˆ  yˆ 를 계산하여라.
   
A  B  A B cos
를 적용하면,
xˆ  yˆ  xˆ yˆ cos
yˆ
xˆ
x
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직교하는 두 단위 벡터의 스칼라 곱
y
xˆ  yˆ 를 계산하여라.
   
A  B  A B cos
를 적용하면,
xˆ  yˆ  xˆ yˆ cos
두 벡터의 사이각은 90도이므로,
cos  cos90  0
yˆ
xˆ
x
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직교하는 두 단위 벡터의 스칼라 곱
y
xˆ  yˆ 를 계산하여라.
   
A  B  A B cos
를 적용하면,
xˆ  yˆ  xˆ yˆ cos
두 벡터의 사이각은 90도이므로,
cos  cos90  0
xˆ  yˆ  0
yˆ
xˆ
x
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y
벡터의 크기

A
또는 A

A
x
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y
벡터의 크기

A

A  Ax , Ay 
또는 A

A
Ay
Ax
x
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y
벡터의 크기

A

A  Ax , Ay 
또는 A
A
A A
2
x
2
y

A
Ay
Ax
x
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y
벡터의 크기

A

A  Ax , Ay 
또는 A
A
A A
2
x
2
y
벡터 A 와 자기자신과의
스칼라 곱은 얼마인가?

A
Ay
Ax
x
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y
벡터의 크기

A

A  Ax , Ay 
또는 A
A
A A
2
x
2
y
벡터 A 와 자기자신과의
스칼라 곱은 얼마인가?
   
A  A  A A cos0

A
Ay
Ax
x
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y
벡터의 크기

A

A  Ax , Ay 
또는 A
A
A A
2
x
2
y
벡터 A 와 자기자신과의
스칼라 곱은 얼마인가?
   
A  A  A A cos0
 
 AA

A
Ay
Ax
x
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y
벡터의 크기

A

A  Ax , Ay 
또는 A
A
A A
2
x
2
y
벡터 A 와 자기자신과의
스칼라 곱은 얼마인가?
   
A  A  A A cos0
 
 AA

A
 A2
Ay
Ax
x
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y
벡터의 크기

A

A  Ax , Ay 
또는 A
A
A A
2
x
2
y
벡터 A 와 자기자신과의
스칼라 곱은 얼마인가?
   
A  A  A A cos0
 
 AA

A
 A2
Ay
Ax
x
벡터와 자신과의 스칼라 곱은 벡터의 크기의 제곱과 같다.
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단위 벡터로 표현된 두 벡터의 스칼라 곱

A  Ax xˆ  Ay yˆ

B  Bx xˆ  By yˆ
두 벡터의 스칼라 곱을 구해보
자.
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단위 벡터로 표현된 두 벡터의 스칼라 곱

A  Ax xˆ  Ay yˆ
두 벡터의 스칼라 곱을 구해보자.

B  Bx xˆ  By yˆ
 
A  B  Ax xˆ  Ay yˆ  Bx xˆ  By yˆ 
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단위 벡터로 표현된 두 벡터의 스칼라 곱

A  Ax xˆ  Ay yˆ
두 벡터의 스칼라 곱을 구해보자.

B  Bx xˆ  By yˆ
 
A  B  Ax xˆ  Ay yˆ  Bx xˆ  By yˆ 
 Ax xˆ  Bx xˆ  Ax xˆ  By yˆ  Ay yˆ  Bx xˆ  Ay yˆ  By yˆ
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단위 벡터로 표현된 두 벡터의 스칼라 곱

A  Ax xˆ  Ay yˆ
두 벡터의 스칼라 곱을 구해보자.

B  Bx xˆ  By yˆ
 
A  B  Ax xˆ  Ay yˆ  Bx xˆ  By yˆ 
 Ax xˆ  Bx xˆ  Ax xˆ  By yˆ  Ay yˆ  Bx xˆ  Ay yˆ  By yˆ
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단위 벡터로 표현된 두 벡터의 스칼라 곱

A  Ax xˆ  Ay yˆ
두 벡터의 스칼라 곱을 구해보자.

B  Bx xˆ  By yˆ
 
A  B  Ax xˆ  Ay yˆ  Bx xˆ  By yˆ 
 Ax xˆ  Bx xˆ  Ax xˆ  By yˆ  Ay yˆ  Bx xˆ  Ay yˆ  By yˆ
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단위 벡터로 표현된 두 벡터의 스칼라 곱

A  Ax xˆ  Ay yˆ
두 벡터의 스칼라 곱을 구해보자.

B  Bx xˆ  By yˆ
 
A  B  Ax xˆ  Ay yˆ  Bx xˆ  By yˆ 
 Ax xˆ  Bx xˆ  Ax xˆ  By yˆ  Ay yˆ  Bx xˆ  Ay yˆ  By yˆ
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단위 벡터로 표현된 두 벡터의 스칼라 곱

A  Ax xˆ  Ay yˆ
두 벡터의 스칼라 곱을 구해보자.

B  Bx xˆ  By yˆ
 
A  B  Ax xˆ  Ay yˆ  Bx xˆ  By yˆ 
 Ax xˆ  Bx xˆ  Ax xˆ  By yˆ  Ay yˆ  Bx xˆ  Ay yˆ  By yˆ
 xˆ  yˆ  0
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단위 벡터로 표현된 두 벡터의 스칼라 곱

A  Ax xˆ  Ay yˆ
두 벡터의 스칼라 곱을 구해보

자.
B  Bx xˆ  By yˆ
 
A  B  Ax xˆ  Ay yˆ  Bx xˆ  By yˆ 
 Ax xˆ  Bx xˆ  Ax xˆ  By yˆ  Ay yˆ  Bx xˆ  Ay yˆ  By yˆ
xˆ  xˆ  1
yˆ  yˆ  1
 xˆ  yˆ  0
이므로
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단위 벡터로 표현된 두 벡터의 스칼라 곱

A  Ax xˆ  Ay yˆ
두 벡터의 스칼라 곱을 구해보자.

B  Bx xˆ  By yˆ
 
A  B  Ax xˆ  Ay yˆ  Bx xˆ  By yˆ 
 Ax xˆ  Bx xˆ  Ax xˆ  By yˆ  Ay yˆ  Bx xˆ  Ay yˆ  By yˆ
xˆ  xˆ  1
yˆ  yˆ  1
 xˆ  yˆ  0
이므로
 
A  B  Ax Bx  Ay By
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단위 벡터로 표현된 두 벡터의 스칼라 곱
y
그림에서 한 칸이 1 이라
면, A . B 는 얼마인가?

B

A
x
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단위 벡터로 표현된 두 벡터의 스칼라 곱
y
그림에서 한 칸이 1 이라
면, A . B 는 얼마인가?

A  6xˆ  1yˆ

B  3xˆ  5 yˆ

B

A
x
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단위 벡터로 표현된 두 벡터의 스칼라 곱
y
그림에서 한 칸이 1 이라면,
A . B 는 얼마인가?

A  6xˆ  1yˆ

B  3xˆ  5 yˆ
 
A  B  Ax Bx  Ay By

B

A
x
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단위 벡터로 표현된 두 벡터의 스칼라 곱
y
그림에서 한 칸이 1 이라면,
A . B 는 얼마인가?

A  6xˆ  1yˆ

B  3xˆ  5 yˆ
 
A  B  Ax Bx  Ay By

B
 6  3  1 5

A
x
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단위 벡터로 표현된 두 벡터의 스칼라 곱
y
그림에서 한 칸이 1 이라면,
A . B 는 얼마인가?

A  6xˆ  1yˆ

B  3xˆ  5 yˆ
 
A  B  Ax Bx  Ay By

B
 6  3  1 5
 23

A
x
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예제. 다음 두 벡터의 내적을 구하여라.

A  (2,3,5)

B  (1,1,2)
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예제. 다음 두 벡터의 내적을 구하여라.

A  (2,3,5)
 
A B

B  (1,1,2)
 Ax Bx  Ay By  Az Bz
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예제. 다음 두 벡터의 내적을 구하여라.

A  (2,3,5)
 
A B

B  (1,1,2)
 Ax Bx  Ay By  Az Bz
 2  1  3 1  5  2
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예제. 다음 두 벡터의 내적을 구하여라.

A  (2,3,5)
 
A B

B  (1,1,2)
 Ax Bx  Ay By  Az Bz
 2  1  3 1  5  2
 11
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단위 벡터로 표현된 두 벡터의 사잇각 구하기
y
그림에서 A 와 B 의 사잇각
은 얼마인가?

B


A
x
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단위 벡터로 표현된 두 벡터의 사잇각 구하기
y
그림에서 A 와 B 의 사잇각
은 얼마인가?

A  6xˆ  1yˆ

B  3xˆ  5 yˆ

B


A
x
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단위 벡터로 표현된 두 벡터의 사잇각 구하기
y
그림에서 A 와 B 의 사잇각
은 얼마인가?

A  6xˆ  1yˆ

B  3xˆ  5 yˆ
 
A  B  Ax Bx  Ay By  23

B


A
x
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단위 벡터로 표현된 두 벡터의 사잇각 구하기
y
그림에서 A 와 B 의 사잇각
은 얼마인가?

A  6xˆ  1yˆ

B  3xˆ  5 yˆ
 
A  B  Ax Bx  Ay By  23
 
 A B cos

B


A
x
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단위 벡터로 표현된 두 벡터의 사잇각 구하기
y
그림에서 A 와 B 의 사잇각
은 얼마인가?

B


A

A  6xˆ  1yˆ

B  3xˆ  5 yˆ
 
A  B  Ax Bx  Ay By  23
 
 A B cos

A  62  12

B  32  52
x
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단위 벡터로 표현된 두 벡터의 사잇각 구하기
y
그림에서 A 와 B 의 사잇각
은 얼마인가?

B


A

A  6xˆ  1yˆ

B  3xˆ  5 yˆ
 
A  B  Ax Bx  Ay By  23
 
 A B cos

A  62  12

B  32  52
23
x cos 
37 34
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단위 벡터로 표현된 두 벡터의 사잇각 구하기
y
그림에서 A 와 B 의 사잇각
은 얼마인가?

B


A

A  6xˆ  1yˆ

B  3xˆ  5 yˆ
 
A  B  Ax Bx  Ay By  23
 
 A B cos

A  62  12

B  32  52
23
x cos 
37 34
  49.57
©2010. Prof. Byeong June MIN, Department of Physics, Daegu University
(예제) 정육면체의 체대각선 두 개 사이의 각을 구하라.
z
y
x
© Prof. Byeong June MIN, Daegu University
(예제) 정육면체의 체대각선 두 개 사이의 각을 구하라.
z
0,0,1
y

A
x
1,1,0
© Prof. Byeong June MIN, Daegu University
(예제) 정육면체의 체대각선 두 개 사이의 각을 구하라.
z

A  1,1,1
0,0,1
y

A
x
1,1,0
© Prof. Byeong June MIN, Daegu University
A 3
(예제) 정육면체의 체대각선 두 개 사이의 각을 구하라.
z

A  1,1,1
0,0,1

B
y

A
x
1,1,0
© Prof. Byeong June MIN, Daegu University
A 3
(예제) 정육면체의 체대각선 두 개 사이의 각을 구하라.
z

A  1,1,1

B  1,1,1
0,0,1

B
y

A
x
1,1,0
© Prof. Byeong June MIN, Daegu University
A 3
B 3
(예제) 정육면체의 체대각선 두 개 사이의 각을 구하라.
z

A  1,1,1

B  1,1,1
0,0,1
A 3
B 3

B
y

A
x
1,1,0
 
A  B  11 11 1 1  1
© Prof. Byeong June MIN, Daegu University
(예제) 정육면체의 체대각선 두 개 사이의 각을 구하라.
z

A  1,1,1

B  1,1,1
0,0,1

B

A
x
1,1,0
A 3
B 3
y
 
A  B  11 11 1 1  1
 AB cos 
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(예제) 정육면체의 체대각선 두 개 사이의 각을 구하라.
z

A  1,1,1

B  1,1,1
0,0,1

B

A
x
1,1,0
A 3
B 3
y
 
A  B  11 11 1 1  1
 AB cos   3 cos 
© Prof. Byeong June MIN, Daegu University
(예제) 정육면체의 체대각선 두 개 사이의 각을 구하라.
z

A  1,1,1

B  1,1,1
0,0,1

B

A
x
1,1,0
A 3
B 3
y
 
A  B  11 11 1 1  1
 AB cos   3 cos 
1
cos  
3
© Prof. Byeong June MIN, Daegu University
(예제) 정육면체의 체대각선 두 개 사이의 각을 구하라.
z

A  1,1,1

B  1,1,1
0,0,1

B

A
x
1,1,0
A 3
B 3
y
 
A  B  11 11 1 1  1
 AB cos   3 cos 
1
cos  
3
  70.52
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