Transcript 9번째강의.
제 9강 벡터, 방정식 sin, cos, tan 이외의 삼각함수와 역함수 1 1 1 sec , csc , cot cos sin tan sin x, sin 1 x (arcsin x) cos x, cos 1 x (arccos x) tan x, tan 1 x (arctan x) 1 cos 1 ? cos 0 1, cos 11 0, cos 1 0 그러나, cos 2 cos 4 ... 1 cos( 2 ) cos( 4 ) ... cos( 2n ) 1 cos 11 2n , n 0,1,2,... 로그(logarithm)의 응용 1. pH (산성도) : 용액속에 녹아있는 수소이온의 농도 농도를 n 이라 하면, pH는 –log n 으로 정의됨. 농도가 10배가 되면 pH는 1만큼 감소. pH는 0-14의 범위이므로 양 극단의 농도차는 (10의 14승) 100조배이다. 2. 소음의 정도(데시벨, dB) : 소리의 세기차이로 10배차이마다 1씩 증가 3. 지진의 강도 리히터(Richter) : 지진의 최대진폭이 10배 커질 때마다 리히터 규모 1씩 증가 4. 별의 밝기 등급 : 히파르코스 1등성 : 가장 밝은 별 6등성 : 육안으로 겨우 볼 수 있는 별 1등성이 6등성 밝기의 100배 무한수열 Quiz 물리학자 폰 노이만(von Neumann): 암산의 천재 “100m 떨어져있는 두 사람이 서로를 향해 초속 5 m로 동시에 뛰어가기 시작했다. 출발하는 순간 왼쪽 사람의 코에 앉아있던 파리가 초속 10m로 날기 시작하여 오른쪽 사람에 코를 터치하고 다시 같은 속력으로 왼쪽으로 날아가 다가오는 왼쪽 사람의 코를 터치하는 비행을 두 사람이 만날 때까지 계속 반복한다. 파리가 비행한 총 거리는 얼마인가?” 약 2초후 폰 노이만의 답 : 100m 출제자의 예상과 달리 실제로 무한수열의 합을 계산 물리학자 리처드 파인만(R. Feynman)이 이용 풀이: 파리의 속도 10m/s 곱하기 비행시간 10초 = 100m 두 원의 교점 -1 1 3 cos 60 , sin 60 P 2 2 1 O 60 2 x y 1 2 60 1 2 -1 y 2 1 x2 , ( x 1) y 1 2 Q 2 y 2 1 ( x 1)2 1 x 2 1 ( x 1) 2 1 x2 1 x2 2 x 1 1 x 2 1 y 2 1 x 2 1 1/ 4 3 / 4 3 y 2 3 ( P, Q ) , 2 2 벡터(vector) 크기와 방향을 갖는 양 그 성분을 쌍 (a,b)로 나타낼 수 있는 수… y P r x r ( r , ) ( x , y ) x r cos , y r sin r x y , tan 2 2 1 y x 벡터의 합 두 벡터 B A (ax , a y ), B (bx , by ) 의 합? (2,5) A B (a x , a y ) (bx , by ) (a x bx , a y by ) A 예) A (3,2), B (1,3) A B (3 1, 2 3) (2,5) x축으로 3, y축으로 2만큼 이동 (-1,3) A (2,5) B (3,2) A (3,2) (1 3, 3 2) (2,5) A B 벡터 사용의 예 : 힘의 평형 A (-7,-1) B C (7,1) 물체 A (3,3), B (4,4) A B (7,1) 힘의 평형을 위해 가해져야 하는 힘 A B C 0 C (7,1) 방정식 방정식(方程式)의 어원 중국의 수학 고전 “구장산술(九章算術)”에서 유래 9개 장중 8장 “방정장(方程章)”- 좌우 대소를 비교한다 미지수(未知數) x 의 유래 : 프랑스 데카르트(Descartes) 프랑스 인쇄소에 x 란 활자를 많이 갖춤 X-file, x 세대등 방정식의 형태(미지수 1개) 1차: a x b 0, a, b는 상수 2차: a x 2 b x c 0, a, b, c는 상수 일반적으로 1개의 미지수에 대해 f ( x) 0 1차 방정식의 풀이 axb 0 b a x b, x ? a if a 0 ? 단, a 0 b 0이면, 불능 ( x ) b 0이면, 부정 (모든 x에 대해 성립) a가 0 이 아니라면, 미지수가 1개인 경우 1개의 식에 의해 단 1개의 x 값이 정해진다. 미지수가 2개 이상인 경우는? N개의 미지수가 있는 경우, 적어도 N개의 독립적인 식이 있어야 N개의 미지수 각각의 유일한 값을 정할 수 있다. (연립방정식) 만일 2개의 미지수 x, y 에 대해 단 1개의 식이 주어져 있다면, 무한히 많은 (x,y)쌍이 방정식을 만족시킨다. 고스톱과 부정(不定)방정식 3명의 사람이 고스톱을 칠 때, 각자가 갖는 화투의 장수를 x, 처음에 까는 화투의 장수를 y 라 하면, 6 x y 48 :부정방정식 ( x, y ) (5,18), (6,12), (7,6)... 4명이 칠 경우는? 8 x y 48 ( x, y ) (4,16), (5,8), (6,0)... 연립방정식 (2개의 식과 2개의 미지수) ax by c dx ey f 단, ae bd 0 WHY? 연립방정식의 예: 조선시대 수학책 “算法統宗”) “술집에서 말하기를 호주와 박주가 있다고 한다. 호주는 1병 마시면 3명이 취하고, 박주는 3병 마셔야 1명이 취한다. 호주와 박주를 합해 19병이 있는데 모두 33명이 마시고 취했다면 호주와 박주는 각각 몇병이 있었는가?” x y 19 1 3x y 33 3 x 10, y 9 2차 방정식의 풀이 ax bx c 0, (a 0) 2 b c c 2 b x x 0 x x a a a a 2 2 b c b 2 b x x 2 2 a a 4a 4a 2 2 2 2 x b c b b 4ac 2a a 4a 2 4a 2 b b 2 4ac x 2a 2a b b2 4ac x 2a 3차 방정식의 풀이 :카르다노(1501-1576), <Ars Magna>(1545) 타르탈리아(1499-1557) ax3 bx 2 cx d 0, (a 0) a로 나눈다 p x y 3 x3 px 2 qx r 0 로 놓는다 y 3 qy r 0 결국, 이것은 처음부터 x3 mx n 0 로 놓아도 된다. 근의 공식이 유도됨 4차 방정식 4 ax bx3 cx 2 dx e 0, (a 0) 역시 유사한 과정으로 복잡한 근의 공식 유도됨 : 카르다노 최고의 수학자 가우스(Gauss) : “3차 방정식은 3개의 근, 4차 방정식은 4개, 그리고 5차 방정식은 정확히 5개의 근을 알려줄 것이다” 1824년 22세의 수학자 아벨 (Niels Henrik Abel, 1802-1829) “5차 방정식의 근의 공식이 존재하지 않는다 “ - 대응하는 치환군(permutation group)을 만들어 증명 가난으로 인한 폐결핵으로 27세에 사망 : 베를린대 교수채용 통보받기 2일전 노르웨이 정부 : 아벨상(Abel prize) 제정 수학계의 노벨상 불꽃의 영혼 갈루아(Galois, 1811-1832) 군이론(group theory)고안, 방정식 해법에 적용 양자물리학, 고체결정등 현대물리학에 결정적 기여! “나는 시간이 없다”