단순군

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Transcript 단순군 

군론 (Group theory)
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군의
군의
군의
유한
예
정의
응용
단순군의 분류
http://mathworld.wolfram.com/topics/GroupTheory.html
군의 예
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대칭군
Fp={ 0, 1, 2, …, p-1}
http://mathworld.wolfram.com/
CyclicGroup.html
치환군
{1,2,…,n}에서
자신으로 가는 1대1사상의
모음
가우스, 갈로와가 시작했다고 생각할수 있다.
이등변 삼각형 대칭군
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I, r
I*r = r, r*r = 1
*
I
r
I
I
r
r
r
I
삼각형의 대칭군(Symmetry)
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I 항등변환
V 120도 회전
W 240도 회전
{I, X, Y, Z, V, W}
는 삼각형의 모든
대칭이다.
X
X
Y
Z
연산표
*
I
V
W
X
Y
Z
I
I
V
W
X
Y
Z
V
V
W
I
Z
X
Y
W
W
I
V
Y
Z
X
X
X
Y
Z
I
V
W
Y
Y
Z
X
W
I
V
Z
Z
X
Y
V
W
I
군(group)의 정의
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X 집합, *:X x X  X 연산
G1: 모든 원소 x,y,z에 대해서
(x*y)*z = x*(y*z)
G2: 원소 e가 존재해서 x*e = x = e*x
G3: 각원소 x에 대해서 y가 존재해서
x*y = y*x = e
군의 종류
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가환군 (Abelian group): 항상 a*b = b*a
유한군: 원소가 유한개
무한군: 원소가 무한개
Homomorphism: 연산을 보존하는 사상
f(a*b) = f(a)* f(b)
Isomorphism: 전단사인 homomorphism
대칭군을 만드는 방법
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(1) 모든 대칭을 찾는다.
(2) 대칭들의 모든 곱을 구한다.
20면체 군
힌트: 대칭은 어떤 선을 중심으로 한다.
오른쪽에서 각 삼각면에 중심에서 반대면의 중심으로
가는 선에 대한 120도 240도 회전은 대칭이다. 이것이 20개
이고 30개의 선분에 대한 대칭이 15개이고 12개의 꼭지점에
대한 대칭이 24개이다. 따라서 총 60개의 대칭이 있다.
http://mathworld.wolfram.com/IcosahedralGroup.html
20면체군의 연산표를 색갈로 표시
치환군 (삼원소)
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{a, b, c} 자신으로 가는 1 대1 대응들 (6개)
p=I
q=(23) r=(1,2) s=
t=
u=
(3,2,1) (1,2,3) (1,3)
a
b
b
c
c
a
a
b
b
c
a
c
a
b
c
c
b
c
a
b
a
연산표
*
p
q
r
s
t
u
p
p
q
r
s
t
u
q
q
p
t
u
r
s
r
r
s
p
q
u
t
t
t
u
q
p
s
r
u
u
t
s
r
q
p
Isomorphism 동형사상
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p  I, q  x, r  z, s v, t  w, u  y
는 삼원소 치환군  삼각형군으로의 isomorphism
F6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}를 순환군이라고 하자.
3원소 치환군과 F6 는 동형이아니다.
f(0) = I, f(1)=w, f(2)= v, f(3)= x, f(4)=y, f(5)=z라 하
면 f(1+2)= f(3)= x, f(1)*f(2) = wv = I
즉 f는 동형사상이 아니다.
알려면 6! = 720개를 다해봐야 한다.
그러나 3원소 치환군은 가환이 아니다.
군의 추상화
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일단 군이 만들어지면 군은 원소와 연산으로만
기역되는 것을 추상군이라고 한다.
추상군은 동형인 군들을 모아 놓은 것으로 이해
할수 있다.
부분군
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연산에 대해서 닫힌 부분집합
{I, v, w, x, y, z}
H={x, y, z}, xy = v 즉 닫혀 있지않다. H는 부
붑군이 아니다.
부분군들 {I, w, v}, {I, x}, {I, y}, {I, z}, {I}
뿐이다.
무한군
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무한군은 군의 원소가 무한히 많은 군이다.
군의 더많은 예
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http://mathworld.wolfram.com/DihedralGroup.html
http://mathworld.wolfram.com/GeneralLinearGroup.
html
http://mathworld.wolfram.com/SpecialLinearGroup.
html
Chevalley 군
http://mathworld.wolfram.com/ProjectiveSpecialLine
arGroup.html
http://mathworld.wolfram.com/ProjectiveSpecialLine
arGroup.html
http://mathworld.wolfram.com/ProjectiveSpecialLine
arGroup.html
단순군
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군은 많은 경우 축소 될 수 있다.
F: G  H 전사인 연산을 보존하는 사상이 있
다.
이러한 H가 G또는 원소가 1개인 trivial군이 밖
에 없는 경우 H를 단순군이라한다.
Icosaheral 군은 단순군이고 60개의 원소를 가
지고 있다.
A5 과 동치이다.
단순군의 예
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Zp
정수를 원소로 가지는 행렬식이 1인 2x2 행렬
PSL(n, Z)
여기에서 정수 Z를 Zp로 바꾸면
PSL(n, q) = PSL(n, Zp )
다른 고전군류
An : n 은 5와 같거나 이상이고 sign을 보존하
는 치환들이 만드는 치환군의 부분군이다.
단순군의 분류
http://mathworld.wolfram.com/SimpleGroup.html
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1. Cyclic groups of prime group order,
2. Alternating groups of degree at least five,
3. Lie-type Chevalley groups,
4. Lie-type twisted Chevalley groups or the Tits
group, and
5. The sporadic groups (Monster group).
http://mathworld.wolfram.com/SporadicGroup.ht
ml
http://www.ams.org/notices/199502/solomo
n.pdf
http://www.ams.org/online_bks/surv40-1/
토의 사항
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단순군의 분류에는 많은 수학자들이 많은 시간
과 노력을 들인 20세기 수학의 걸작 물이다. 이
러한 노력의 필요했던 것일까?
이외에도 Cartan 등은 연속적인 리군의 분류
를 했다. 결과적으로 이론물리학의 소립자는 리
군의 분류로 이해할수 있었다.