Transcript 대칭성, 대칭군
대칭성, 대칭군
타일 붙이기
타일 붙이기 와 대칭군
펜로즈 타일링
오비폴드
3-차원 크리스탈 군
구 쌓기
오류정정부호(Error correcting code)
타일 붙이기
Escher
http://www.mcescher.com/
Regular tiling
Edge to edge tilings:
Regular polygons 3, 4, 6
Semi-regular tilings: two or more
regular polygons so that the vertex
figures are same size and shape.
Miscellaneous tiling
3-gons
4-gons (quadilateral)
pentagon tiling (최소 14개)
hexagons
Irregular tilings of
three types
tilings
3-gons all are possible
4-gons all are possible
5 Unknown 14 or more
6-gons 3
7- 8-… gons None
삼각형의 대칭군(Symmetry)
I 항등변환
V 120도 회전
W 240도 회전
{I, X, Y, Z, V, W}
는 삼각형의 모든
대칭이다.
X
Y
Z
연산표
*
I
V
W
X
Y
Z
I
I
V
W
X
Y
Z
V
V
W
I
Z
X
Y
W
W
I
V
Y
Z
X
X
X
Y
Z
I
V
W
Y
Y
Z
X
W
I
V
Z
Z
X
Y
V
W
I
군(group)의 정의
X 집합, *:X x X X 연산
G1: 모든 원소 x,y,z에 대해서
(x*y)*z = x*(y*z)
G2: 원소 e가 존재해서 x*e = x = e*x
G3: 각원소 x에 대해서 y가 존재해서
x*y = y*x = e
Strip patterns and symmetry
Translation symmetry
reflection symmetry, glide reflection
All symmetries are of this form.
이것들은 군을 이룬다.
Rigid Motions
각과 거리를 보존하는 움직임
2-차원에는
translation
rotation
reflection (about a line)
glide reflection
어떻게 이들을 분류하는가?
2차원에는 17개의 벽지 (wallpaper) 군이 존
재함 (html파일들)
http://www.clarku.edu/%7Edjoyce/wallpap
er/seventeen.html
Aperiodic tiling
(Penrose tiling)
오비폴드
2차원 벽지모양 군의 분류는 오비폴드
라는 곡면의 일반화를 이용한다.
이 것들은 점에 군의 작용을 주고 오일
라 표수를 이용한다.
종이 접기와 관계
Crystallographic groups
결정군
3-차원 등 일반 차원인경우
(Hilbert 18번 문제)
Bieberbach는 군들은 translation군과 유한군
으로 만들어 진다는 것을 알 수 있다. 유한군
의 작용에는 많은 제한이 있다. 그리고 군에
의해서 결정됨을 보였다.
Fedorov, Schoenflies는 3-차원 결정군이
219가지로 분류했다.
모든 차원에서 가능하다.
http://whisky.ill.fr/dif/3Dcrystals/minerals.html
quasicrystals
http://www.lassp.cornell.edu/lifshitz/
quasicrystals.html
공쌓기
n차원 공간에 단위공을 가장 효율적(밀
도가 높게)배열하는 방법은 무엇인가?
이때 밀도는? 공들은 접할수는 있으나
겹칠수는 없다.
2차원에서는 육각형 격자
h1=(2,0), h2=(1, √3)이 만드는 격장의
중심에 단위원을 배열하면 된다.
이때 밀도는 = /(2√3)=0.9068…
3차원 공쌓기
quartz
케플러 문제
3-차원 유클리드 공간의 격자
f1=(2,0,0), f2=(1, √3, 0),
f3=(1, √3/3, (2√6)/3)
가 최적이다.
이때 밀도는 /(3√2)= 0.7404….
Hales이 1998년에 증명함
비선형 최적화 이론 이용 컴퓨터 계산등
….
http://mathworld.wolfram.com/KeplerConjecture.html
http://mathworld.wolfram.com/CubicClosePacking.html
http://mathworld.wolfram.com/HexagonalClosePacking.html
오류 정정 부호
통신(휴대폰, 인터넷), CD, DVD 플레이
어등등 많은 응용--- 소음 등을 극복하
는 방법
Hamming code만 설명
http://www.eccpage.com/
http://mathworld.wolfram.com/ErrorCorrectingCode.html
F2n= (Z/2Z)n = {0,1}n
F2n 의 부분집합을 2-진부호 (binary code)라
고 한다. 원소를 부호단어라고 한다.
u=(u1, u2, …., un)∊ F2n 에 대하여 1의 개수
를 무게 wt(u)라고 한다. d(u, v) := wt(u-v)
를 거리라고 한다.
d(C ) := min{d(u,v)| u ≠ v}
를 최소거리라고 한다.
(n, M, d)-code
n차원 부호 C가 M개의 원소를 가지고 d가
최소거리인경우
선형부호(linear code): C가 F2n 의 부분군인
경우 [n, k, d]-부호라고한다. 이것은 (n, 2k,
d)-부호이다.
오류는 만약 코드가 부분집합에서 벋어나면
알수 있다. UV, d(U, V) < d/2이면 가장
가까운 거리에 있는 코드가 맞는 단어이다.
좋은 (n, M, d)-부호는 n이 작되(경제성)
M은 크고(실용성), d가 클수록 오류기
능이 좋다.
주어진 n, d에 대해서 가장 큰 M을 구하
는 문제는 어려운 문제이고 Kepler 문제
와 비슷하다.
알려진것으로는 M(8, 4)=16,
144 ≼ M(12,4) ≼ 158, M(16, 4)= 2048
등이 있다.
Hamming code [7, 4, 3]-부호
H 는 다음 기저를 가지는 벡터공간이다.
H1=(1,0,0,0,1,1,0)
H2=(0,1,0,0,1,0,1)
H3=(0,0,1,0,1,1,1)
H4=(0,0,0,1,0,1,1)
S={(0,0,0,0), (1,0,0,0), (0,1,0,0),
(0,0,1,0),(0,0,0,1), (1,1,0,0), (1,0,1,0),
(1,0,0,1), (0,1,1,0), (0,1,0,1), (0,0,1,1),
(1,1,1,0),(1,1,0,1),(1,0,1,1),(0,1,1,1),
(1,1,1,1)}
X=(x1,x2,x3,x4)∈S
u=x1H1+ x2H2+ x3H3+ x4H4
u v = (v1, v2, v3, v4, v5, v6)
v1+v2+v3+v5=0, v1+v3+v4+v6=0,
v2+v3+v4+v7=0
d(u, v) = 1, 2인 경우 수정가능하다.
오류가 2개이상 생길 확률은
P = 1 - (1-p)5(15p2 + 5p +1)으로 매
우작다.
Parity check등을 이런 방법으로 한다.