격자구조: 금속과 반도체에서의 원자배치
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Transcript 격자구조: 금속과 반도체에서의 원자배치
Lattice and basis
(Solid state physics)
1. 벡터(vector)표시법과 벡터 연산
2. 격자(lattice)와 basis
3. 역격자(reciprocal lattice)
4. Bloch vector, Bloch function :
강의자료에 나오는 그림들은 Halliday & Resnick& Walker와
Aschroft & Mermin, 그리고 Kittel책에서 scan한것이 있습니다.
Vector: length(magnitude) and direction
•
(예) 어떤 사람이 기점(원점)을
출발하여 동쪽으로 10m 간 후
북쪽으로 10m갔다면 이 사람은
어디에 가 있는가 ?
1.
기점으로 부터 20 m 떨어진 어딘가에 있
다 (X).
기점으로 부터 약 14.12m 떨어져 있으며,
동북 방향에 있다 (O).
2.
r OA OB
B
O
A
r r 10 2 14.12m
20m = 10m + 10m (크기만 고려된 연산, 스칼라량)
벡터의 더하기 와 빼기
c a b
c a b
c b a
벡터의 내적(inner product), 스칼라곱(scalar product)
a b a b cos( )
a a a a cos(0) a 2
단위 벡터:
(예) 크기가 1이고 서로 수직인 고정된 벡터
Z축
iˆ ˆj kˆ 1
Y축
iˆ, ˆj, kˆ
X축
r OA OB 10iˆ 10 ˆj (10,10)
서로 수직
(예) 3차원의 경우도 마찬가지……
r Xiˆ Yjˆ Zkˆ
r 3iˆ 2 ˆj 5kˆ
r Xiˆ Yjˆ Zkˆ
r r X Y Z
2
r Xiˆ Yjˆ Zkˆ
2
2
벡터곱(vector product), 외적(outer product)
c a b
방향은
의 크기는
a와 b
a b sin( )
가 만드는 평면에 수직 ?????
역격자를 공부하는데 필수적인 지식이므로 아주 익숙해 지
도록 연습하세요.
숙제:
a, b , c
세 벡터로 이루어진 평행육면체
의 부피는 다음과 같이 표현됨을
설명하라.
c a b
V a (b c ) b (c a ) c (a b )
역격자를 공부하는데 필수적인 지식이므로 아주 익숙해 지도록 연습하세요.
숙제:
V c (a b )
세 벡터로 이루어진 평행육면체
의 부피는 다음과 같이 표현됨을
설명하라.
c a b
격자 (Lattice) : An infinite repeation
배치 간격 및 배치 각도에 따라
무수히 많은 Lattice 를 만들
수 있다.
격자 (Lattice) : 어떤 물체를 일정한 방향 일정한 간격으로
무한히 반복시켜서 배치 해 둔 것
primitive lattice vector와 Lattice Translation vector
Lattice point에 사과 1개가
심겨져 있는 lattice
a2
a1
R na1 ma2 la3
모든 Lattice point (또는 lattice vector)가 세 개의 벡터의 선형결합으
로 표시가 될 때, 그 세 개의 벡터를 primitive vector라 한다.
R na1 ma2 la3
Primitive unit cell : 모든 lattice translation에 의해서 전공간을 빈틈없
이, 중복 없이 채울 수 있는 단위 부피.
Figure 4.10 scan.
V a (b c )
Unit cell의 부피는 결정되어 있지
만 모양은 결정되어 있지 않다.
Lattice 와 기저(basis)
Lattice point에 사과 1개가
심겨져 있는 lattice
사과 1개가 기저를 형성하는
R na1 ma2
a2
a1
Lattice 와 기저(basis)
R na1 ma2
a2
a1
기저벡터(primitive lattice vector)와
Lattice Translation vector
R na1 ma2
a2
a1
기저구조(basis): Lattice point에 심어지는 것
• Basis 가 사과 1개 인 경우
• Basis 가 사과 1개와 포도 1송이 인 경우
• Basis 가 사과 2개,포도1송이, 바나나 1개
인 경우
• Basis 가 원자 1개인 경우
• Basis 가 원자 몇 개인 경우
위의 Lattice에 사과가 아니라 특정 원자 1개를 심었다면 …!!!
• 기저(basis)가 spherical symmetric object
일 때 Bravais Lattice
• 7개의 point group 으로 분류(대략, unit cell
모양)
• 14개의 space group 으로 분류Crystallography
• (Ashcroft & Mermin, Ch.7, Kittel, Ch.2)
Cubic Lattice
(a)
(a)는 unit cell 이
(b)
a1 ai
a2 a j
a3 ak
(c)
인 Simple Cubic Bravais lattice 이다.
Unit cell 속에 격자점 몇 개 ?
(a)
(b)
(c)
(c)는 unit cell을 a1 ai , a2 a j , a3 ak 인 Simple Cubic Lattice 로 보면,
unit cell안에 원자가 4개 포함된 것이다. (Bravais lattice 가 아님)
즉 FCC로 simple cubic lattice 로 보자면….basis ( ?) 개를 어디에…???
Face-Centered Cubic
a
a1 (i j )
2
a
a2 ( j k )
2
a
a3 (k i )
2
(a):
Unit cell 속에 원자 1개 있음.
⇒ FCC Bravais lattice
Face-Centered Cubic
a1 ai , a2 a j , a3 ak
Unit cell 속에 ( )가 ( )개 있음.
⇒ SC with ( ? ) basis
(a):
좌표계
• 좌표계(x,y,z축) 은 정하기 나름
• 원점도 정하기 나름
• Lattice vector와 basis 는 같은 좌표계에
서 표시 해 줘야 됨 (…당근…)
• 원점은 정하기 나름. 어디에 원점을 두어
도 상관없음.
• 무한히 반복되는 구조 이므로….
Body-Centered Cubic
a
a1 ( y z x)
2
a
a2 ( z x y )
2
a
a3 ( x y z )
2
Triangular Lattice
Honey Comb 구조
Aschcroft Figure 4.17
Honeycomb 그림
Honey Comb 구조
Graphene, Graphite,Carbon Nanotube
Lattice Vector 는 ?
Basis 몇개?
IV족 순수반도체 & III-V족 화합물 반도체
주기율표 스켄
Diamond 구조
FCC & Two basis
a
a1 (i j )
2
a
a2 ( j k )
2
a
a3 (k i )
2
(a):
좌표축을 그림과 같이 잡을 때,
Basis atom을 어디에 몇 개 넣어야
다이아몬드구조가 되는가?
FCC 구조 안에서….
숙제:
Diamond 구조를 아래와 같이 simple cubic conventional cell 로 기술 할 때, 이
conventional cell안에는 몇 개의 탄소원자가 basis 를 형성 하는가 ?
또한 적절한 좌표 계에 대해서 이 basis atom의 위치벡터를 구하라
a1 ax
a2 a y
a3 az
또한 적절한 좌표 계에 대해서 이 basis atom의 위치벡터를 구하라
a1 ax
a2 a y
a3 az
Tetrahedral bond 길이와 각도
a
(i j )
2
a
a2 ( j k )
2
a
a3 (k i )
2
a1
Simple Hexagonal Lattice
Figure 4.19, Figure 4.21, Figure 4.20
a1 a x
1
3
a2 a ( x
y)
2
2
a3 cz
빽빽하게 구슬 쌓기
Hexagonal Closed Pack(HCP)
숙제:
정4면체 그림
∙
고등학교 수학 시간에 정사면체의 높이와 한 변의 비를 구한 적이 있을 것입니다.
한변(모서리)의 길이를 a 라 할 때 높이 h 는 다음과 같습니다.
2
ha
HCP 구조에서
ca 8
3
임을 설명 하시요?
또한 c 와 a를 bond length 로 표시하시요?
3
Hexagonal Closed Pack(HCP)
1 0
1
3
2 (a1 a2 )
1
a3
2
FCC구조를 Hexagonal lattice 로 보면
(111)면이 Z 축에 수직이 되게….
1 0
1
3
1
2
2 (a1 a2 ) a3
1
1
3 2 (a1 a2 ) a3 2 2
3
2