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벡터의 정의
Metal Forming CAE Lab.
Department of Mechanical Engineering
Gyeongsang National University, Korea
Metal Forming CAE Lab., Gyeongsang National University
벡터의 정의
 벡터량과 벡터: 물리량(physical quantity)으로서 크기와 방향성을 갖는 양(quantity)을
벡터량(vector quantity)이라고 하고, 이를 수학적으로 표현한 것을 벡터(vector)라고 함
 스칼라량과 실수(또는 수): 크기만 있고 방향성이 없는 물리량을 스칼라량(scalar
quantity)이라고 하고, 스칼라량은 실수(real number)로 표현됨
 벡터의 표현
 벡터 자체:
 벡터 크기:
 벡터량의 예: 힘, 변위,
a, x, a, x, AB
a, a, a
 벡터의 구성 요소
속도, 가속도, 열유동,
z
운동량, 모멘트 등
a
 스칼라량의 예: 일,
B
AB
일률, 온도, 질량 등
A
 필수적 요소(수학적 요구조건)
 크기(Magnitude) : 점 A와 B 사이의 거리
y
 방향(Direction ) : 점 A에서 점 B로 향하는 화살표의 방향
 선택적 요소
x
 작용점(Point of action) : B
 작용선(Line of action) : 점 A와 B를 지나는 직선
<벡터의 정의와 기하학적 표현>
벡터의 종류
 미끄럼벡터(sliding vector): 필수적 요소 + 작용선
 한정벡터(bound vector): 필수적 요소 + 작용점
 자유벡터(free vector): 필수적 요소(크기와 방향)
 elasticity
 statics
 rigid-body translation
F
RB
u
P
u
RA
P
Unknowns : RA, RB
(a) sliding vector
Unknowns : deformation, etc.
(b) bound vector
<벡터의 종류>
Unknowns : displacement, etc.
(c) free vector
벡터의 표현
 수학적 표현: 성분으로 표시하기
y , y1
a y , a2
 2차원 평면
 행벡터:
a   ax , a y 
 열벡터:
 ax
a
 a y
또는
ax  a y
2
  cos 1
 ax a y 

T
   ax , a y 

a
(a) 2차원

0
2
ax
a
x, x1
a x , a1
기계공학에서 아무 언급
 3차원 공간
 행벡터:
a
a   ax , a y , az 
 ax 
T




a

a

a
,
a
,
a
 열벡터:
 y   x y z
 az 
 성분으로 표시하면, 크기와 방향, 즉 벡터의
필수적 요건(수학적 요건)을 표현할 수 있음
a
z , x3
없으면 열벡터를 의미함
az , a3
(b) 3차원
3
1
ax , a1
0
ax  a y  az
2
2
 i  cos 1
ai
a
a
2
a y , a2
y, x2
x, x1
<직각좌표계에서 벡터의 성분>
2
벡터 관련 용어 정리
 벡터 a의 크기(magnitude) : a 
ax 2  a y 2  az 2
 벡터의 방향(direction) :  i  cos 1
또는
a12  a2 2  a32
ai
(i 1, 2, 3)
a
 방향여현(directional cosine) :  cos1 , cos 2 , cos 3 
T
 단위벡터 : 크기가 1인 벡터

u  1 또는 u 
a
a
z, x3
( a  0)
k , e3
 단위기초벡터(unit basis vector) :

i  i = 1, 0, 0  e1
T
 j  j =  0, 1, 0  e 2
T

k  k =  0, 0, 1  e 3
y , x2
i , e1
j , e2
x, x1
T
<좌표계와 단위기초벡터>
벡터의 연산
2a
 벡터의 덧셈
a  b  [ a1  b1 , a2  b2 , a3  b3 ]T
b
b
 벡터와 스칼라의 곱셈
평행사변형 법칙
b
 벡터의 덧셈과 벡터-스칼라의 곱셈의 성질

abba
(a  b )  c  a  (b  c)

0+a=a
( 0 =  0 0 0 )
a + ( - a)= 0
  ( a + b ) =  a + b
 ( +  ) a = a +  a
  (  a )=(  ) a
 1a = a

a
a
 a  [ a1 ,  a2 ,  a3 ]T

a b
b
a
T
a b
<벡터의 덧셈, 벡터와 스칼라의 곱셈>
 벡터 a 의 크기, 놂(norm) : a
1
2

a  ( a a )

a  a

a b  a b

a +b  a  b
단위기초벡터를 활용한 벡터의 수학적 표현
 벡터와 스칼라곱, 벡터의 덧셈으로부터

T
a =  ax , a y , az  = ax i  a y j  az k
z
 벡터의 연산(덧셈, 뺄셈, 내적, 벡터적, 백터와 스칼라
의
az
az k
곱셈 등) 시, 단위기초벡터로 표현하는것이 원칙
a
ax i
a =  ax , a y , az 
b = bx , by , bz 
T
T
a + b = (ax  bx ) i  (a y  by ) j  (az  bz ) k
ax
x
ay j
k
i
ay
o j
ax i + a y j
y
벡터의 연산
 벡터의 내적 (inner product, dot product, scalar product)
 b1 
 
a  b =  ai bi  a1 b1  a2 b2  a3 b3  a T b =  a1 , a2 , a3   b2 
i 1
b 
 3
3

b
 내적의 기하학적 의미

a  b  a b cos

a  b  0 이면 두 벡터는 직교함
a
 내적의 성질
ab ba
a  (b  c )  a  b  a  c
( a ) b   ( a  b )
aa0
a  a  0 implies a = 0
<벡터의 내적>
 기타


i  j = j k = k  i = 0
i  i = j j = k  k = 1
예제
 a 와 b 가 아래와 같을 때 b 를 a 위로 정사영 내린 후 교점과 b의 끝을 연결
하는 x 를 구하라 .
a  12i  3 j  4k
x
b
b  2i  3 j  5k

a
☞ u a는 a의 단위벡터
12i  3 j  4k 12
3
4
ua 
 i  j k
122  32  42 13 13 13
B
x
b
x  BX  OX  b
OX  OX u a  OXu a
ua
24 9 20
O
OX  u a  b  b cos    
 1
13 13 13
12
3
4
14 36 69
x  1 ( i  j  k )  (2i  3 j  5k )  i  j  k
13 13 13
13 13 13
A

X
a
예제
 다음의 평면에서 OB 를 구하시오.
t
(n )
(n)

  20i  40 j
n
B
2
2
i+
j
2
2
n
A
O
OB  ?
(n )
☞ OA  OB  
(n )
OB    OA
(n )
OA  OA n  (  n)n  (10 2  20 2)  (
OA  10i  10 j
OB  (20i  40 j)  (10i  10 j)  30i  30 j
2
2
i
j)
2
2
예제
 다음의 3차원 공간에서  T 를 구하시오.
t
(n )
(n )

  27i  18 j  36k
T
n
T
n
O
N
N
3
3
3
i
j
k
3
3
3
T  ?
(n )
☞ ON  OT  
(n )
 T  OT    ON
(n )
3
3
3
i
j
k )  15i  15 j  15k
3
3
3
 T  (27i  18 j  36k )  (15i  15 j  15k )  12i  33 j  21k
ON  ON n  (  n)n  (9 3  6 3  12 3)  (
 T  40.915
벡터의 연산
 벡터적 (vector product, cross product)
i
 c = a  b = a1
b1
j
a2
b2
k
a3  (a2 b3  a3 b2 )i  (a3 b1  a1 b3 ) j  (a1 b2  a2 b1 )k
b3
c =ab
 벡터적의 기하학적 의미
c = a b sin  (0     )
 크기 : 두 백터 a, b 가 이루는 평행사변형의 면적
 방향 : 벡터 a, b 에 수직하면서 a, b, c 가 오른손법칙을 따
 크기 :
b

a  b  b  a
a  (b  c)  a  b  a  c
(a  b)  c  ( a  c) b  (a  b) c
a  ( b  c)  (a  b)  c  a  b  c
a  b  0  a // b
a
a
름
 벡터적의 성질
b sin 
a
c
a
<벡터적의 정의>
 기타

b
<오른손법칙>

i  j  k, j  k  i, k  i  j
i  i = j j = k  k = 0
예제
 다음의 삼각형면적을 구하여라.
C(1,2,0)
A(2,3,5)
B(0,2,6)
C
☞ AC  i  j  5k
AB  2i  j  k
1
A
AC  AB
2
i
j k
AC  AB  1 1 5  (1  5)i  (10  1) j  (1  2)k  6i  11j  k
ABC 
2 1
1
1
ABC   62  112  12  6.285
2
B
예제
 벡터 a   2,  5, 3 와 b   6, 2,  1 에 대한 다음 물음에 답하라
T
T
a) a  2b
b) 2a  b
c) a  b
f) ab
g) b  a
h) b  a =  a  b
☞ a) a  2b  14,  1, 1
T
c) a  b  2  6  (5)  2  3  (1)   1
d) b  a
e) 벡터 a와 b의 사이각 
b) 2a  b   2,  12, 7 
T
d) b  a  6  2  2  (5)  (1)  3   1
e) a  b  a b cos  22  52  32 62  22  12 cos  1558 cos
문제 c) 로부터 a  b =  1이므로   cos 1 (1/ 1588)  91.45 이다.
f ) a  b  (2i  5 j  3k )  (6i  2 j  k )  4k  2 j  30k  5i  18 j  6i   i  20 j  34k
g) b  a  (6i  2 j  k )  (2i  5 j  3k )   30k  18 j  4k  6i  2 j  5i  i  20 j  34k
h) 문제 a)와 b)로부터 b  a =  a  b 이다.
n 차원으로의 벡터의 확장
 Rk 유클리디안 벡터장
 벡터의 차원 : 2(3)차원 평면에서 벡터량은 2(3)차원 벡터
 k-차원 벡터 : 성분이 k개인 벡터
 Rk : k-차원 유클리디안 벡터, k-차원 유한차원 실수벡터장
a   a1 a2
ak 
T

 a1 
a 
  2
 
 
 ak 
R k  a | a   a1 , a2 ,
, ak  ; a i 's are real
T
a  b   a1  b1 , a2  b2 ,
 a   a1 ,  a2 ,
k
a  b   ( a  b)
l 1
a  ( a  a)
1
2
1
2
, ak  bk 
T
, an 
T

선형종속과 선형독립
 선형조합 (linear combination)
n

c a
i 1
i i
 c1a1  c2a 2 
 cna n
 선형독립 (linearly independent)
 모든
ci 가 0일 때만 선형조합이 0이 되는 경우, 벡터 a i
는 선형독립이라고 함
 선형종속 (linearly dependent)
 어떤
ci 가 0이 아닌데도 선형조합이 0이 되는 경우, 벡터 a i
는 선형종속이라고 함
 예제
•Linearly independent
C1 1, 0  C2 0, 1  0  C1  C2  0
T
T
•Linearly dependent
1,
2, 3  2 1, 0, 1  3, 2, 5  0
T
T
1 2 3
1 0 1 0
3 2 5
T
1,
1,
3,
2, 3
T
0, 1
T
2, 5
T
좌표계와 좌표
 좌표
z, x3
 어떤 점의 위치를 기준좌표계에 대한 상대적 위치로 표현한 것
 벡터량임
 기준좌표계와 지방(국부)좌표계
i
 직교좌표계(orthogonal coordinate system)
local coordinate
i
system
i
x, x1
 직각좌표계(rectangular coordinate system)
y, x2
reference coordinate system
 원통좌표계(cylindrical coordinate system)
<좌표계와 좌표>
 구좌표계(spherical coordinate system)
z
z
z
x  r cos
y  r sin 
zz
y
x
x  r sin  cos 
θ
r
y  r sin  sin 
z  r cos
y
y
x
a) 직각좌표계
z
θ
r
b) 원통좌표계
<주요 직교좌표계>
x

c) 구좌표계
행렬의 정의
 행렬: 수의 규칙적인 배열
 m  n 행렬 :
 a11
A  [aij ]   a21

 am1
a12
a22

am 2




 상삼각행렬(upper triangular matrix)
 a1n 
 a2 n 
  
 amn 
 a11
U   0

 0
a12
a22

0








a1n 
a2 n 
 
ann 
 용어 정의 :
 하삼각행렬(lower triangular matrix)
 행벡터(row vector) : 1 n 행렬
 a11
L   a21

 an 2
 열벡터(column vector) : m  1 행렬
 정방행렬(square matrix) : n  n 행렬
 비대각항(off-diagonal term) :
0
a22

an 2




 0
 0
  
 ann 
aij (i  j )
 대각항(diagonal term) : n  n 정방행렬에서 aii (i  1,2, , n)
 영행렬(zero matrix)
0
0  0

0
0
0
 
0
 0
 0
 
 0 
 대각행렬(diagonal matrix)
 a11
D   0

 0
0
a22

0








0
0
 
ann 
 단위행렬(unit matrix)
1
I  [ ij ]  0

0
Kronecker delta 
0
1
 
0
 0
 0
 
 1 
행렬의 정의
 용어 정의(계속)
 부분행렬(submatrix) : 원래의 행렬에서 일부의 행과 열을 제거한 행렬
 주부분행렬(principal submatrix) : 정방행렬에서 동일번호의 행과 열을 동시에 제거하여
만든 부분행렬
 전치행렬(transpose of a matrix), A T : 행렬 A의 (i,j)-요소aij 와 (j,i)-요소a ji 의 자리를
바꾸어 만든 행렬
 대칭행렬(symmetric matrix) : AT  A , aij  a ji
 의대칭행렬(skew-symmetric matrix) : AT  A , aij  a ji
 랭크 (rank) : 선형독립적인 행의 수(= 선형독립적인 열의 수)
 특이행렬(singular matrix) : nⅹn 정방행렬에서 랭크가 n - 1 이하일 경우
행렬과 벡터의 관계
 mⅹn 행렬의 벡터 표현
 1ⅹn 행벡터의 mⅹ1 열벡터
 mⅹ1 열벡터의 nⅹ1 행벡터
 a11 a12 a1n

a21 a22 a2 n

A   aij  


 am1 am 2 amn

T


a
1

   a T   b , b ,
1
2
  2 
  a mT 

 ai1 
 
ai 2 

ai 
 
 
 ain 
 a1 j 
 
a2 j 

bj 
 
 
a 
 mj 
bn 
행렬의 덧셈 및 행렬과 스칼라 곱셈
 행렬의 덧셈의 정의

C  A  B  cij  aij  bij
 행렬과 스칼라 곱셈의 정의

C   A  cij  aij
 성질


A+BB+A
A + (B + C)  ( A  B) + C

A+0=A
 A + (  A)  0
 ( A + B)   A   B
(   ) A   A   A
 (  A)  (  ) A
 1A  A

( A  B)T  A T  B T



( A)T   A T
행렬의 곱셈
 행렬의 곱셈의 정의
 C = A B : m  p 행렬 A  [aij ] 와 q  n 행렬 B  [bij ] 의 곱
p  q  l 가 만족될 때, 행렬의 요소 cij 가 정의됨
l
cij   aik bkj  ai  b j  aiTb j
k 1
 행렬의 곱의 성질
 ( A )B   ( A B )  A ( B )
 A ( BC )  ( A B )C
 ( A  B )C  A C  BC
 A( B  C)  AB  AC
T
T
T
 (AB)  B A


i


j
cij
 
 
  i  ai1 ai 2 ai 3
 
 
m  l 행렬
m  n 행렬



ail  





j
b1 j
b2 j
b3 j
bl j








l  n 행렬
 일반적으로 AB  BA이고, AB  0 이 반드시 A  0 와 B  0 를 의미하는 것이 아님
 I A  A, AI  A , I x  x
 예제: 다음의 행렬을 이용하여 (AB)T =BT AT 가 성립함을 보여라.
1 2 4 
 5 2 
A   2 5 3  , B   2 1
 4 1 3 
 0 2 
 1 8 
1
☞ AB   0 7  이므로 (AB)T  8


 22 3
 1 2 4
B T A T   5 2 0   2 5 1    1 0
 2 1 2   4 3 3   8 7


0 22 
7  3 이고,
22  이다. 따라서 (AB)T  BT AT 이다.
 3
행렬의 변환기능과 응용
 행렬의 역할 : Ax = y
Transformation
x
 수학적 오퍼레이터(operator)
 전달함수(transfer function) 및 변환(transformation)의 역할
Mapping
<행렬의 역할>
 벡터량의 좌표변환 법칙 :
 Fx'   cos

  Fy'    sin
sin 
cos 
 cos
T 
  sin 
 Fx 
F 
 y
Fx ' cos  Fx  Fy ' sin 
sin  
cos 
 Fx   cos
   
Fy ' cos  Fy  Fx ' sin 
 Fy   sin
 변환행렬
T=[t 1 , t 2 ]
y
A
t1  cos ,  sin 
T
 sin   Fx ' 
 
cos   Fy ' 
y
y'
Fy '
Fy
t 2  sin , cos 
T
Fx '
F
t1  t 2  1 ,
t1  t 2  0  직교단위행렬(orthonormal matrix)

 i   cos
 j   sin 
  
Fy '
i'
O
 sin  
cos 
i 
 j
 

j
j'
T1  TT
x'

i
Fx
<좌표변환>
x
행렬의 변환기능과 응용
 역학문제에서의 행렬
 변위-하중 관계식
AE
L
1   Q   ux 
L 1
 


AE  1 2 2  1  P   u y 
AF=U
L
AE  2 2  1 1  u x   Q 

  
2 2L  1
1  u y   P 
AE
KU=F
 변위-하중 관계식
 xx  yx  zx


 fx  0
x
y
z
 xy  yy  zy


 fy  0
x
y
z
 xz  yz  zz


 fz  0
x
y
z
유한요소보간
미분방정식의
근사해법

KU = F,
강성행렬
변위벡터
하중벡터
(K   2 M ) U = 0
Q, ux
P, u y
행렬의 판별치 (determinant)
 2×2 행렬의 판별치 :
a a
 D  det A  a11 a12  a11a22  a12 a21
21
22
 3×3 행렬의 판별치 :
a11 a12 a13
a a
a a
a a
 D  det A  a21 a22 a23  a11 a22 a23  a12 a21 a23  a13 a21 a22
31
32
32
33
31
33
a31 a32 a33
 n×n 행렬의 판별치 :
a11
a
 D  det A  21
an1
n
n
i 1
i 1
a12
a22

an 2




a1n
a22
a2 n  a a32
11 

ann
an 2
a23
a33

an 3




a2 n
a3n  a
12

ann
a21
a31

an1
a23
a33

an 3




a2 n
a3n 

ann
( j  1, 2,    , n), Cij  (1)i  j M ij (Cij :
 D   a ji C ji   aij Cij
n
n
i 1
i 1
 a11M11  a12 M12
 a11C11  a12 C12 
여인자(cofactor))
i j
i j
 D   (1) a ji M ji   (1) aij M ij
 M ij : 마이너(minor), i-행과 j-열을 소거하여 얻은 (n-1)×(n-1) 부분행렬의 판별치
행렬의 판별치
 판별치의 일반적 성질
① A  AT
② AB = BA = A B
③ 행렬의 한 행 또는 한 열에 상수 c를 곱하여 만든 행렬의 판별치는 본래 행렬의 판별치의
c 배임
④ 어떤 행렬의 임의의 두 행 (또는 두 열)을 교환하여 만든 새로운 행렬의 판별치는 본래
행렬의 판별치의 부(negative)의 값을 가짐
⑤ 어떤 행렬의 한 행(또는 하나의 열)에 다른 행(또는 열)의 상수배를 더하여 만든 새로운
행렬의 판별치는 본래 행렬의 판별치와 동일함
⑥ 행(또는 열)벡터가 선형종속이면 판별치는 0임
 예제
a11 a12 a13
a a
a a
a a
① D  det A  a21 a22 a23  a11 a22 a23  a21 a12 a13  a31 a12 a13
32
33
32
33
22
23
a31 a32 a33
a11 a12 a13
② D  det A  ca21 ca22 ca23  c det A
a31 a32 a33
a11 a12 a13
③ D  det A  a31 a32 a33   det A
a21 a22 a23
역행렬
 n×n 행렬 A의 역행렬: A -1
 행렬의 곱의 역행렬
1
1
1
 ( AB )  B A
1
1
1 1
1
 ( ABCD     )      D C B A
 I 또는 A A  I
1
1
[Cij ]T 
[ Aij ]*
 A-1 
det A
det A
 AA
-1
-1
 선형연립방정식
[ Aij ]*  [Cij ]T : 행렬 A의 어조인트(adjoint)
 C11
C
[ Aij ]*   12

C
 1n
C21
C22

C2 n
  Cn1 
  Cn 2 
  
  Cnn 
 Ax  b
1
1
1
1
 A A x  A b, I x  A b , x  A b
1 if i  j
※ 참고사항: Kronecker delta  ij  
 0 if i  j
 직교단위행렬과 변환행렬
1 0
0 1
I   ij   


0 0
0
0



1
 A A-1  D 일 때, 행렬 A 를 직교행렬(orthogonal matrix)이라고 함
 A AT  I, ai  a j   ij 일 때, 행렬 A 를 직교단위행렬(orthonormal)이라고 함. A-1  AT
 변환행렬은 직교단위행렬임. 즉, TTT  I 임. 따라서
T-1  TT 임
선형방정식과 해법
 선형방정식 Ax = b
 선형방정식의 해법
 직접법
 Gauss-Jordan 소거법
 LU 분해법 (또는 Cholesky 분해법)
 띠형행렬법(banded matrix)
 스카이라인법(skyline method)
 저밀도행렬기법(sparse matrix techique)
 전선해법(frontal solution method)
 반복법
 행렬직교방향법(conjugate direction method)
상사변환
 상사변환(similarity transformation)의 정의
A  RAR T
 상사변환의 성질
 A 와 A 의 고유치는 동일
 고유벡터의 관계 : x = R1 x ( x : 행렬 A 의 고유 벡터, x : A 의 고유벡터)
 상사변환의 응용

 i ' j '  Ti ' pT j ' q pq
 Ti ' p pqT j ' q

 i ' p '   Ti ' p   pq  T j ' q 
고유치 문제
 제차선형연립방정식(homogeneous linear equation) : Ax = 0
 x = 0 : 무의미해(trivial solution)
 IF : A = 0  x  0
 고유치 문제 : Ax = x 또는 ( A  I )x = 0
 n  n 행렬 ( A   I ) 의 행벡터 또는 열벡터는 선형종속이어야 함
  : 고유치(eigenvalue) 또는 특성치(charactoeristic vector)
 x : 고유벡터(eigenvector) 또는 특성벡터(characteristic vector)
 특성방정식(characteristic equation) : A   I  0
 n  n 행렬 A   I 의 랭크가 n보다 작기 위한 조건 또는 행렬
 n 차의 비선형방정식
 n  n 행렬
A가 대칭이면, n 개의 실근 존재
 Ax
  x , Ax
(i)
(i )
( j)

( j)
x
( j)

x
 j T
Ax
  1 , 2 ,
, n
 A  i  xi   0
(i )
( j)
 고유벡터의 직교성 : x  x = 0
(i)
A   I 가 특이행렬이 될 조건
(i )
  x
 x(j ) ( A  A T )x(i )  (  (i )   ( j ) )x( i )  x( j )
T
T
(i )
( j)
(i )
( j)
(i )
( j)
 If A  A  0, (    )x  x  0  x  x  0
(i )
 j T
(i )

x , x
 i T
Ax
( j)
   x
( j)
( i )T
x
( j)

T