Transcript 여기서부터 역격자를 설명 합니다. Kittel, Aschroft 책 의 reciprocal

Fourier Transform
•••
•••
-2a
-a
0
a
2a
 ( x)   ( x  a )
Fourier 전개
 ( x) 

 Ae
n 
i
3a
4a
5a
: 주기가 a인 함수
2 n
x
a
n
2
2


   n cos( nx)   n sin( nx) 
a
a

n 0 

6a

 ( x)   An e
2
G 
n
a
iG n x
n
n 
Fourier 성분
component
, n은 정수
기저함수
기저함수들의 직교성

a
0
a
2
a

2
a i
(eiG x )* eiG x dx   eiG x eiG x dx   e
m
n

m
n
2
( nm) x
a
0
a
(n=m 일 때)
0
(n≠m 일 때)
 a  n ,m
dx
요상한 기호를 쓰자면
i
2
nx
a
i
2
nx
*
a
e
(e
)


n
n
f g 
 
m
0
f  ( x) g ( x)dx

A
n 
양변에

a
n
n
을 곱하면
m g 

A
n 
n
m n  Am a
1
1 a i 2a mx
Am  m g   e
g ( x)dx
0
a
a
3차원 주기 함수
y축
a2
X축
a1
 ( x, y, z)   ( x  a1 , y, z)   ( x, y  a2 , z)   ( x, y, z  a3 )
X축 방향으로 주기가 a1,
 ( x, y , z ) 

y축 방향으로 주기가 a2,


  
n1  n2  n3 
An1 ,n2 ,n3 
z축 방향으로 주기가 a3
i
An1 , n2 , n3 e
1
dx  dy  dz  (r )e

a1a2 a3
i
2
n1 x
a1
2 n1
x
a1
i
e
i
e
2
n2 y
a2
2 n2
y
a2
i
e
i
e
2
n3 z
a3
2 n3
z
a3
G-vector (Reciprocal Lattice Vector) 배우기
2
2
2
b1 
x , b2 
y , b3 
z
a1
a2
a3
 ( x, y , z ) 



  
n1  n2  n3 
i
An1n2 n3 e
2
n1 x
a1
i
e
2
n2 y
a2
i
e
2
2
2
n1 x 
n2 y 
n3 z  (n1 b1  n2 b2  n3 b3 )  r
a1
a2
a3
G(n1 , n2 , n3 )  n1 b1  n2 b2  n3 b3
 G (n1, n2 , n3 )  r
2
n3 z
a3
G-vector (Reciprocal Lattice Vector) 배우기
G-vector에 번호를 줍시다!!!! (n1 , n2 , n3 ) 대신에 번호를 줍시다.
0,
1,
0,
0,
1,
1,
0,
0,
0,
1,
0,
1,
0,
1,
0)
0)
0)
1)
0)
1)
1)
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
“1번”
“2번”
“4번”
”6번”
”8번”
”10번 ”
”11번 ”
(
(
(
(
-1, 0, 0)
0, -1, 0)
0, 0, -1)
1, -1, 0)
⇒
⇒
⇒
⇒
“
“
“
”
3
5
7
9
번
번
번
번
”
”
”
”
•••••••
(
(
(
(
(
(
(
(n1 , n2 , n3 )
⇒ “X번째”
G1  0
G1  b1
G2  b2
G3  b3
G4  b1
G5  b2
G6  b3
G7  b1  b2
G8  b2  b3
••••••
GN  lb1  mb2  nb3
 ( x, y , z ) 



  
n1  n2  n3 
i
An1n2 n3 e
2
n1 x
a1
i
e
2
n2 y
a2
i
e
2
n3 z
a3

 ( x, y , z )   ( r )   A N e
i GN  r
: 3차원 주기 함수의 Fourier Transform
N 1
[질문]
a1

  d
0
 ?
a2
a3
0
0
dx  dy  dz (e
3
re
i ( GM  GN )r
iGN r  iGM r
)e

 (r )   AN e
iGN r
N 1
1
 iGN r 3
AN    (r )e
d r

3차원 주기함수의
Fourier 전개를 G-vector로
표현했다.
여기서부터 역격자를 설명 합니다.
Kittel, Aschroft 책 의 reciprocal lattice 참고
Primitive lattice
이 때,
b1 
b1 , b2 , b3
a1 , a2 , a3
로 정의된 격자를 X 라고 하자.
를 다음과 같이 정의하자.
2
2
2
( a2  a3 ) , b2 
( a3  a1 ) , b3 
(a1  a2 )
V
V
V
V  a1  (a2  a3 )
b , b , b 
1
2
3
: unit cell volume
를 primitive lattice로 해서 정의되는 격자를 Y라고 하자.
이 때 Y는 X의 reciprocal lattice (역격자)
X는 Y의 reciprocal lattice (역격자) 라고 한다.
<예> 다음과 같은 orthorhombic 격자를 생각해보자.
a1  ax
a2  3a y
a3  az
a2
a1
V  a1  (a2  a3 )  3a3
3a 2
a2
3a 2
b1  2 3 , b2  2 3 , b3  2 3
3a
3a
3a
2
b1 
x,
a
2
b2 
y,
3a
2
b3 
z
a
b2
b1
a1  b1  2
a1  b3  0
a1  b2  0
a2  b2  2
•••••
ai  b j  2 ij
격자 (Direct Lattice)
역격자 (Reciprocal Lattice)
b , b , b 
a , a , a 
1
2
3
1
R  n1 a1  n2 a2  n3 a3
2
3
G  l1 b1  l2 b2  l3 b3
ai  b j  2 ij
R  G  2 (n1 l1  n2 l2  n3 l3 )
 2   ( 정수 )
(임의의 lattice vector) • (임의의 Reciprocal lattice vector)
내적
=
2 의 정수배
3차원 Fourier Transform
일정
Triangular lattice
a2
a1
일정
 (r )   (r  a1 )   (r  a2 )   (r  R)
 (r )   AN eiG
N
N
r
임의의 lattice vector
3차원 Fourier Transform
 ( x)   ( r  R) :

 (r )   e
iG j r
j 1
1
iG j r 3
A(G j ) , A(G j )    (r )e d r
V
G-vector를 크기 순서로 잘 정렬 했을 때,
N
 (r )   e
j 1
iG j r
A(G j )
Fourier Series 의 수렴성에 대해서…
Y축
-30
-10
10
30
50
….
-10
 ( x) 
 x  10 (10  x  0)
 ( x)   ( x  20)
x  10
(0  x  10)
X축
Primitive lattice vector
Primitive reciprocal lattice vector
a  20
2
b
a
G n  nb
reciprocal lattice vector
G-vector를 크기 순으로 정돈하자 !
G1  0 , G2  b , G3  b , G4  2b , G5  2b
N
f ( x)   e
j 1
iG j x
A(Gx )
1 a2
A(G1 )   a f ( x) dx  5
a 2
1 a2 iG2 x
1 a2
a
1 a2
2
a
a
20
A(G2 )   a e f ( x) dx  2  cos(G2 x)( x  ) dx  2  cos( x)( x  ) dx   2   2
a 2
a 0
2
a 0
a
2


1 a2 iG3 x
1 a2
a
1 a2
2
a
20
A(G3 )   a e f ( x) dx  2  cos(G3 x)( x  ) dx  2  cos( x)( x  ) dx   2
a 2
a 0
2
a 0
a
2

1 a2 iG4 x
1 a2
a
1 a2
4
a
A(G4 )   a e f ( x) dx  2  cos(G4 x)( x  ) dx  2  cos( x)( x  ) dx 0
a 2
a 0
2
a 0
a
2
1 a2 iG5 x
1 a2
a
1 a2
4
a
A(G5 )   a e f ( x) dx  2  cos(G5 x)( x  ) dx  2  cos( x)( x  ) dx 0
a 2
a 0
2
a 0
a
2
1 a2 iG6 x
1 a2
a
1 a2
6
a
a
20
A(G6 )   a e f ( x) dx  2  cos(G6 x)( x  ) dx  2  cos( x)( x  ) dx   2   2
a 2
a 0
2
a 0
a
2
9
9
1 a2 iG7 x
1 a2
a
1 a2
6
a
20
A(G7 )   a e f ( x) dx  2  cos(G7 x)( x  ) dx 2  cos( x)( x  ) dx   2
a 2
a 0
2
a 0
a
2
9
••••
3
 A(G j )e
iG j x
 5  2 
j 1
5
 A(G j )e
iG j x
 5 
j 1
3
 A(G )e
j 1
20

2
40

x)  5  2 cos( x)
a

10

40
3
cos(
x
)

cos(
x)
2
2

10
9
10
40
iG j x
j
5
 A(G )e
j 1
cos(
2
j
iG j x
3차원 Fourier Transform
 ( x)   (r  R) :
G-vector를 크기 순서로 잘 정렬 했을 때,
N
 (r )   e
j 1
iG j r
A(G j )