Transcript Viskoelastická kapalina - stlačitelná aproximace

• Žitný prezentace 3.9.2014
RZ7
SQUEEZing flow
GAČR = kolagen
Transmisní elektronová mikroskopie kolagenu
Světelná mikroskopie
Kolagen barvený alciánovou
modří
Diplomová práce M. Barhoň: Radiální vytěsňovací tok vazkých kapalin. 1989
Vedoucí DP J.Šesták, konzultant R.Žitný, oponent M.Houška
Obecná závislost mezi silou F, okamžitou vzdáleností h(t), okamžitou rychlostí ú=dh/dt, okamžitým poloměrem R
(kde působí atmosférický tlak, což je v případě vpravo poloměr disku) a parametry modelu K,m (smykový tokmocninový model) a K‘,m‘ (mocninový model prvního rozdílu normálových napětí)
F=
(−𝑢)𝑚 2𝑚+1 𝑚 𝜋𝐾𝑅𝑚+3 2𝑚+1
2
ℎ2𝑚+1
4𝑚
𝑚+3
+
(−𝑢)𝑚
ℎ2𝑚
′
′
′
′
2𝑚+1 𝑚 𝜋𝐾′ 𝑅 𝑚 +2
𝑚
𝑚′+2
Diplomová práce M. Barhoň: Radiální vytěsňovací tok vazkých kapalin. 1989
Neznámé: tlak p , normálová extra napětí rr, zz  a smykové napětí rz (5 neznámých).
Stačí jediná rovnice rovnováhy ve směru r (pro známá vazká napětí určuje rovnice rovnováhy radiální profil tlaku),
1 𝜕
𝜕𝜏𝑧𝑟 𝜏𝜑𝜑 𝜕𝑝
0=
𝑟𝜏𝑟𝑟 +
−
−
𝑟 𝜕𝑟
𝜕𝑧
𝑟
𝜕𝑟
→
𝜕
𝜕𝜏𝑧𝑟 τrr −τφφ
𝜏𝑟𝑟 − 𝑝 = −
−
𝜕𝑟
𝜕𝑧
r
Dále dvě rovnice pro rozdíly normálových napětí: první diference N1 =𝜏𝑟𝑟 − 𝜏𝑧𝑧 (napětí ve směru toku minus
napětí kolmé na směr toku a ve smykové rovině) a druhá diference N2 (rozdíl napětí v rovině kolmé na směr
toku). První diference se aproximuje funkcí smykové rychlosti (např. kvadratická nebo mocninová funkce Barhoň). Druhá diference je výrazně menší (přibližně nulová, Barhoň přesně nulová)
𝑁1 = 𝜏𝑟𝑟 − 𝜏𝑧𝑧 = 𝜏𝑟𝑟 − 𝜏𝜑𝜑
′
= 𝐾′𝛾 𝑚
𝑁2 =𝜏𝑧𝑧 −𝜏𝜑𝜑 =0
Smykové napětí aproximujeme mocninovým modelem
𝜏𝑟𝑧 ≅ 𝐾𝛾 𝑚
Rovnici rovnováhy v axiálním směru odpovídá předpoklad, že tlak p nezávisí na z (konstantní po průřezu). A to
je ta pátá rovnice pro 5 neznámých komponent napětí.
Diplomová práce M. Barhoň: Radiální vytěsňovací tok vazkých kapalin. 1989
Síla působící na kruhový disk
𝑅
𝐹 = 2𝜋
0
𝑅
(𝜏𝑧𝑧 −𝑝)|𝑧=ℎ 𝑟𝑑𝑟 = 2𝜋
𝐹 = 𝜋 𝑅2 𝜏𝑟𝑟 − 𝑝 |𝑟=𝑅 −
𝑝𝑎=0
𝑅
0
0
( 𝜏𝑟𝑟 − 𝑝 − 𝑁1 )|𝑧=ℎ 𝑟𝑑𝑟
𝑝𝑒𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠
𝜕
𝑟2
𝜏 − 𝑝 |𝑧=ℎ 𝑑𝑟 − 2𝜋
𝜕𝑟 𝑟𝑟
𝑅
0
𝑟𝑁1 |𝑧=ℎ 𝑑𝑟
Dosazení z rovnice rovnováhy ve směru toku
𝑅
𝐹=𝜋
𝑅
0
𝑟2
=𝜋
0
𝜕𝜏𝑧𝑟 𝜏𝑟𝑟 −𝜏𝜑𝜑
+
)|𝑧=ℎ 𝑑𝑟 − 2𝜋
𝜕𝑧
𝑟
𝑟2(
𝑅
0
𝑅
𝑟𝑁1 |𝑧=ℎ 𝑑𝑟 = 𝜋
0
(𝑟 2
𝜕𝜏𝑧𝑟
+ 𝑟𝑁1 )|𝑧=ℎ 𝑑𝑟 − 2𝜋
𝜕𝑧
𝑅
0
𝑟𝑁1 |𝑧=ℎ 𝑑𝑟
𝜕𝜏𝑧𝑟
− 𝑟𝑁1 |𝑧=ℎ 𝑑𝑟
𝜕𝑧
𝑅
Finální rovnice
𝑟2
𝐹=𝜋
0
𝜕𝜏𝑧𝑟
− 𝑟𝑁1 |𝑧=ℎ 𝑑𝑟
𝜕𝑧
Myslím si, že je to dost obecné a
platí to i pro stlačitelné tekutiny
Diplomová práce M. Barhoň: Newtonská kapalina
Případ Newtonské nestlačitelné kapaliny. Lze zanedbat normálová napětí?
0=
𝜏𝜑𝜑
1 𝜕
𝜕𝜏𝑧𝑟 𝜕𝑝
𝑟𝜏𝑟𝑟 −
+
−
𝑟 𝜕𝑟
𝑟
𝜕𝑧
𝜕𝑟
≅0
𝜏𝑟𝑟 = 2𝜇
𝜕𝑢𝑟
𝜕𝑟
𝜏𝜑𝜑
𝑢𝑟
= 2𝜇
𝑟
𝜏𝑧𝑟
𝜕𝑢𝑧 𝜕𝑢𝑟
𝜕𝑢𝑟
𝜕𝑢𝑟
=𝜇
+
≅𝜇
=𝐾
𝜕𝑟
𝜕𝑧
𝜕𝑧
𝜕𝑧
𝑚
Pro nestlačitelnou kapalinu a za předpokladu, že uz je nezávislé na poloměru (to platí přesně na obou
1 𝜕𝑢𝑧
discích), můžeme vyjádřit radiální rychlost z rovnice kontinuity
𝑢𝑟 𝑟, 𝑧, 𝑡 = − 𝑟
2 𝜕𝑧
Z toho plyne, že členy normálových napětí se v rovnici rovnováhy opravdu vyruší
𝜏𝜑𝜑
1 𝜕
1𝜕
𝜕𝑢𝑟
𝑢𝑟
𝜕 2 𝑢𝑟 1 𝜕𝑢𝑟 𝑢𝑟
1 𝜕𝑢𝑧
1 𝜕𝑢𝑧
𝑟𝜏𝑟𝑟 −
= 2𝜇
𝑟
− 2 = 2𝜇
+
−
=
2𝜇
0
−
+
=0
𝑟 𝜕𝑟
𝑟
𝑟 𝜕𝑟
𝜕𝑟
𝑟
𝜕𝑟 2
𝑟 𝜕𝑟
𝑟2
2𝑟 𝜕𝑧 2𝑟 𝜕𝑧
Diplomová práce M. Barhoň: Mocninová kapalina
U mocninové kapaliny je to trochu složitější
𝜏 = 2𝐾 2𝑑: 𝑑
𝑚−1
2
𝑑
Druhý invariant tenzoru rychlosti deformace
2
2
2
2
2
2
𝑑: 𝑑 = 𝑑𝑟𝑟
+ 𝑑𝑧𝑧
+ 𝑑𝜑𝜑
+ 2 𝑑𝑟𝑧
+ 𝑑𝑧𝜑
+ 𝑑𝑟𝜑
𝜕𝑢𝑟
𝜏 ≅ 2𝐾
𝜕𝑧
𝑚−1
𝑑
𝜏𝑟𝑟
𝜕𝑢𝑟
= 2𝐾
𝜕𝑧
𝜕𝑢𝑟
=
𝜕𝑟
𝑚−1
2
𝜕𝑢𝑧
+
𝜕𝑧
𝜕𝑢𝑟
𝜕𝑟
2
𝑢𝑟
+
𝑟
𝜏𝜑𝜑
2
1 𝜕𝑢𝑟 𝜕𝑢𝑧
+
+
2 𝜕𝑧
𝜕𝑟
𝜕𝑢𝑟
= 2𝐾
𝜕𝑧
𝑚−1
2
1 𝜕𝑢𝑟
≅
2 𝜕𝑧
2
𝑢𝑟
𝑟
Na rozdíl od Newtonských kapalin pak ovšem členy normálových napětí z rovnice bilance hybnosti ve
směru r nevypadnou (pro index toku m různý od jedné), viz
𝜏𝜑𝜑
1 𝜕
𝑚 − 1 𝜕𝑢𝑟
𝑟𝜏𝑟𝑟 −
= −𝐾
𝑟 𝜕𝑟
𝑟
𝑟
𝜕𝑧
𝑚−1
𝜕𝑢𝑧
𝜕𝑧
Většina prací ale tento rozdíl normálových napětí u mocninových nebo HB kapalin ignoruje, např. Laun et al.
„Analytical solutions for squeezing flow with partial wall slip“, J.Non-Newtonian Fluid Mech. 1999, nebo Adams et al „An experimental and theoretical study of
the squeeze film deformation and flow of elastoplastic fluids“. J.Non-Newtonian Fluid Mech. 1994
Diplomová práce M. Barhoň: Mocninová kapalina - nestlačitelná aproximace
Mocninový rychlostní profil je tedy i u neelastické kapaliny jen aproximací
𝜕𝜏𝑧𝑟 𝜕𝑝
0=
−
𝜕𝑧
𝜕𝑟
𝜕
𝜕𝑢𝑟
0=
𝐾
𝜕𝑧
𝜕𝑧
𝑚
𝜕𝑝
−
𝜕𝑟
𝑢𝑟 =
𝑚
1 𝜕𝑝
𝑚 + 1 𝐾 𝜕𝑟
1
𝑚
( 𝑧−
ℎ
2
𝑚+1
𝑚
−
ℎ
2
𝑚+1
𝑚
)
1
𝑚
𝜕𝑢𝑟
1 𝜕𝑝
ℎ
= −
𝑧−
𝜕𝑧
𝐾 𝜕𝑟
2
Sem zadejte rovnici.
Integrací rychlostního profilu získáme objemový průtok pláštěm o výšce h na poloměru r
𝑚
1 𝜕𝑝
𝑉 𝑟 = 4𝜋𝑟
−
2𝑚 + 1
𝐾 𝜕𝑟
1
𝑚
ℎ
2
2𝑚+1
𝑚
𝜕𝑝
2
=𝐾
𝜕𝑟
ℎ
𝑑ℎ
= −𝜋𝑟 2
𝑑𝑡
2𝑚+1
2𝑚 + 1 𝑑ℎ
−
𝑟
4𝑚
𝑑𝑡
Interpretace znamének dp/dr je záporné, stejně jako dh/dt. Vzhledem k reálnému exponentu je třeba brát absolutní hodnoty.
To je obyčejná diferenciální rovnice pro radiální profil tlaku. Okrajovou podmínkou je
atmosférický tlak pa na obvodu disku R a nulová první derivace pro r=0 (symetrie)
𝐾
2
𝑝 𝑟 =
𝑚+1 ℎ
2𝑚+1
2𝑚 + 1 𝑑ℎ
−
4𝑚 𝑑𝑡
𝑚
𝑅𝑚+1 − 𝑟 𝑚+1 + 𝑝𝑎
𝑚
Diplomová práce M. Barhoň: Viskoelastická kapalina - nestlačitelná aproximace
𝑅
Výslednou sílu tedy získáme integrací přesného vztahu
𝜕𝜏𝑧𝑟
𝑟
− 𝑟𝑁1 |𝑧=ℎ 𝑑𝑟
𝜕𝑧
2
𝐹=𝜋
0
do kterého dosadíme mocninovou aproximaci axiální derivace smykového napětí a mocninovou aproximaci N1
𝜕𝑝
2
=𝐾
𝜕𝑟
ℎ
2𝑚+1
2𝑚 + 1 𝑑ℎ
−
𝑟
4𝑚
𝑑𝑡
𝑑ℎ 𝑚
) 2𝑚 + 1
𝑑𝑡
𝐹 = 2𝑚+1
ℎ
𝑚
(−
𝑚
𝑚
2𝜋𝐾𝑅𝑚+3
𝑚+3
𝜕𝜏𝑟𝑧
≅
𝜕𝑧
+
𝜕𝑢𝑟
𝑁1 = 𝐾´
𝜕𝑧
𝑑ℎ 𝑚′
)
2𝑚 + 1
𝑑𝑡
′
𝑚
ℎ2𝑚
(−
𝑚′
𝑚′
𝑑ℎ 𝑟 2𝑚 + 1
= 𝐾′ −
𝑑𝑡 ℎ2 𝑚
𝑚′
′
𝜋𝐾 ′ 𝑅𝑚 +2
𝑚′ + 2
Tento vztah lze porovnat s výsledkem pro Herschel Bulkley model, který odvodil Covey, Stannmore „Use of the parallel plate
plastometer for the characterisation of viscous fluids with yield stress“, J.Non-Newtonian Fluid Mech., 1981
𝑑ℎ 𝑚
) 2𝑚 + 1
𝑑𝑡
𝐹 = 2𝑚+1
ℎ
𝑚
(−
𝑚
2𝜋𝐾𝑅𝑚+3 𝜋𝜏𝑦 𝑅3 To je asymptotické řešení pro velké rychlosti
+
𝑚+3
ℎ
…možná by stálo za to zkusit HB jako alternativní model
𝑆=−
𝑑ℎ 𝑅 𝐾
𝑑𝑡 ℎ2 𝜏𝑦
1
𝑚
≫1
Viskoelastická kapalina - stlačitelná aproximace
Pokus o rozšíření práce Barhoň
Návaznost na experimenty zaměřené na
vyhodnocení stlačitelnosti kolagenu
Návaznost na metodiku vyhodnocování dat z
kapilárního reometru při uvažování stlačitelnosti
Hledal jsem „squeezing compressible fluid“ a téměř NIC, snad jen
Mohite, S.S, Sonti, V.R. ; Pratap, R. A Compact Squeeze-Film Model Including Inertia,
Compressibility, and Rarefaction Effects for Perforated 3-D MEMS Structures.
Microelectromechanical System.. Volume:17 Issue:3
Viskoelastická kapalina - stlačitelná aproximace
Bez újmy na obecnosti lze axiální sílu vyjádřit integrálem radiálního gradientu tlaku (to plyne jen z rovnice
rovnováhy v radiálním směru a z mocninového modelu N1).
𝑅
𝜕𝑝
ℎ
𝑟
𝑑𝑟 − 𝜋𝐾′
𝜕𝑟
2𝐾
2
𝐹=𝜋
0
𝑚′ 𝑅
𝑚
0
𝜕𝑝
𝑟
𝜕𝑟
𝑚′
𝑚
𝑑𝑟
Rovnice kontinuity tedy stále ještě není ve hře, takže
tento vztah pro sílu F platí i pro stlačitelnou tekutinu.
Problém se tím vlastně redukuje na stanovení radiální profilu gradientu tlaku. Dříve odvozený vztah
𝜕𝑝
2
= −𝐾
𝜕𝑟
ℎ
2𝑚+1
2𝑚 + 1 𝑑ℎ
−
𝑟
4𝑚
𝑑𝑡
𝑚
opravdu dává po dosazení předchozí vztah pro axiální sílu F, jenomže ten vztah byl odvozen z rovnice
kontinuity pro nestlačitelnou kapalinu.
Stlačitelnost můžeme vyjádřit stejným způsobem jako u extruze (viz. REOM), tj na základě představy
dvoufázového systému jemných rozptýlených bublinek vzduchu v nestlačitelné kapalné fázi. O hmotnostním
podílu bublinek předpokládáme, že je konstantní
𝑀𝑔
𝜔𝑔 =
𝑀𝑙
Viskoelastická kapalina - stlačitelná aproximace
Objem vzorku s hmotností kolagenu Ml
𝑉 = 𝑀𝑙
𝜔𝑔 1
+
= 𝑀𝑙
𝜌𝑔 𝜌𝑙
𝜔𝑔
1
𝑀𝑙
Ω
𝑝 +𝜌 = 𝜌 1+𝑝
𝑙
𝑙
𝑅𝑔 𝑇
kde Ω = 𝜔𝑔 𝑅𝑔 𝑇𝜌𝑙 je konstantní koeficient.
Hmotnost vzorku kolagenu (hmotnost vzduchu zanedbáme) ve válci o výšce h a o poloměru R je za
𝑅
předpokladu, že tlak p(r) nezávisí na z
2𝜋𝑟ℎ𝜌𝑙 𝑑𝑟
𝑀𝑙 =
Ω
1
+
0
𝑝
Hmotnostní bilance (akumulace=-výtok)
1
2𝑚+1
𝑅
𝑑ℎ
2𝜋𝑟 𝜌𝑙 𝑑𝑟
𝑑𝑀𝑙
𝑝𝑎 𝜌𝑙 𝑉
𝑚
1 𝜕𝑝 𝑚 ℎ 𝑚 𝑝𝑎 𝜌𝑙
𝑑𝑡
≅ −
=
= 4𝜋𝑅
Ω
𝑑𝑡
𝑝
+
Ω
2𝑚 + 1 𝐾 𝜕𝑟
2
𝑝𝑎 + Ω
𝑎
1+𝑝
0
výtok po obvodu
𝑉
akumulace ve válci
Výsledkem je rovnice vyjadřující souvislost mezi
pohybem desek (h) a tlakem p. Pravá strana je
gradient tlaku pro r=R
−
𝑑ℎ
𝑑𝑡
𝑅
0
𝑟𝑑𝑟
2𝑚𝑅
1 𝜕𝑝
=
−
Ω
2𝑚 + 1
𝐾 𝜕𝑟
1+
𝑝(𝑟)
1
𝑚
ℎ
2
2𝑚+1
𝑚
1
Ω
1+𝑝
𝑎
Viskoelastická kapalina - stlačitelná aproximace
−
Možné námitky
𝑑ℎ
𝑑𝑡
𝑅
0
𝑟𝑑𝑟
2𝑚𝑅
1 𝜕𝑝
=
−
Ω
2𝑚 + 1
𝐾 𝜕𝑟
1+
𝑝(𝑟)
1
𝑚
ℎ
2
2𝑚+1
𝑚
1
Ω
1+𝑝
𝑎
Levá strana: časová derivace je aplikována jen na vzdálenost disků h(t) a neuvažuje časovou proměnnost tlaku
Pravá strana: neuvažuje závislost konzistence na tlaku (velikosti bublin). Koeficient K odpovídá atmosférickému tlaku
Cílový vztah pro radiální průběh tlaku můžeme aproximovat funkcí odvozenou pro nestlačitelnou kapalinu
upravenou korekcí 
2𝑚+1
𝑚
𝐾
2
2𝑚 + 1 𝑑ℎ
𝑝 𝑟 =𝝋
−
𝑅𝑚+1 − 𝑟 𝑚+1 + 𝑝𝑎
𝑚+1 ℎ
4𝑚 𝑑𝑡
po dosazení
𝑑ℎ
−
𝑑𝑡
𝑍
𝑅
0
2𝑚𝑅2
𝑟𝑑𝑟
−𝜑 (1 + 𝑚)𝑍
=
Ω
2𝑚 + 1
𝐾
1+
𝑚+1
𝑚+1
𝑝𝑎 + 𝜑𝑍 𝑅
−𝑟
1
𝑚
ℎ
2
2𝑚+1
𝑚
1
Ω
1+𝑝
𝑎
Z této rovnice je třeba stanovit korekci  (v závislosti na h, dh/dt) což je korekce potřebná ke stanovení
tlakového profilu a tedy i axiální síly. Je to vlastně jen algebraická rovnice, kterou je třeba řešit numericky.
Viskoelastická kapalina - stlačitelná aproximace
Integrál na levé straně nelze vyčíslit analyticky, ale
𝑅
0
𝑅
0
𝑅
𝑅
𝑟𝑑𝑟
𝜕𝑓 𝑅
= 𝑟𝑓 𝑟 𝑑𝑟 ≅
𝑓 𝑅 +
𝑅 − 𝑟 𝑟𝑑𝑟
Ω
𝜕𝑟
1+
0
0
𝑝𝑎 + 𝜑𝑍 𝑅𝑚+1 − 𝑟 𝑚+1
1
1
𝑓 𝑟 =
𝑓 𝑅 =
Ω
Ω
1+
1
+
𝑝𝑎
𝑝𝑎 + 𝜑𝑍 𝑅𝑚+1 − 𝑟 𝑚+1
𝜕𝑓 𝑅
𝑓 𝑅 +
𝜕𝑟
𝑅−𝑟
𝑟𝑑𝑟 =
𝑅2
Ω
2 1+𝑝
𝑎
𝜕𝑓 𝑅
Ω𝜑𝑍(𝑚 + 1)𝑅𝑚
=
𝜕𝑟
Ω 2 2
1+
𝑝𝑎
𝑝𝑎
Ω𝜑𝑍(𝑚 + 1)𝑅𝑚+1
1+
Ω
3 1 + 𝑝 𝑝𝑎2
𝑎
Hmotnost kolagenu ve stlačovaném prostoru s
rostoucím podílem vzduchu klesá
𝑅
𝑟𝑓 𝑟 𝑑𝑟
0
Následující graf byl získán pro parametry R=0.1
m=0.9, Z=100000, pa=100000, =+1=2
Ω [Pa]
Viskoelastická kapalina - stlačitelná aproximace
Je až podezřelé jak přesně aproximace integrálu hmotnosti kolagenu funguje:
Následující graf byl získán v Excelu numerickou
integrací (2000 bodů) pro parametry R=0.1 m=0.9,
Z=100000, pa=100000, =+1=2
Relativní chyba
I při vysokém podílu vzduchu je chyba
aproximace integrálu menší než procento.
Ω [Pa]
Viskoelastická kapalina - stlačitelná aproximace
Výsledkem analytické aproximace integrálu je algebraická rovnice pro , která se ale také nedá řešit analyticky
𝑚+1
𝑑ℎ
Ω𝜑𝑍(𝑚 + 1)𝑅
−
1+
Ω
𝑑𝑡
3 1 + 𝑝 𝑝𝑎2
𝑎
4𝑚
−𝜑 (1 + 𝑚)𝑍
=
2𝑚 + 1
𝐾
1
𝑚
ℎ
2
2𝑚+1
𝑚
kde
𝐾
2
𝑍=
𝑚+1 ℎ
Pro malé hodnoty Ω je možné použít aproximaci řešení
1
2
= 1−𝐾
𝜑
ℎ
2𝑚+1
2𝑚 + 1 𝑑ℎ
−
4𝑚 𝑑𝑡
𝑚
Ω𝑅𝑚+1
Ω
3 1 + 𝑝 𝑝𝑎2
𝑎
a jí odpovídající aproximaci tlaku
𝐾
2 2𝑚+1
2𝑚 + 1 𝑑ℎ 𝑚
− 4𝑚
𝑚+1 ℎ
𝑑𝑡
𝑝 𝑟 =
2 2𝑚+1
2𝑚 + 1 𝑑ℎ 𝑚
Ω𝑅𝑚+1
1−𝐾
− 4𝑚
Ω 2
ℎ
𝑑𝑡
3 1+
𝑝
𝑝𝑎 𝑎
𝑅𝑚+1 − 𝑟 𝑚+1 + 𝑝𝑎
2𝑚+1
2𝑚 + 1 𝑑ℎ
−
4𝑚 𝑑𝑡
𝑚
Viskoelastická kapalina - stlačitelná aproximace
Derivací předchozího vztahu p(r)
2 2𝑚+1
2𝑚 + 1 𝑑ℎ 𝑚 𝑚
−𝐾
−
𝑟
𝜕𝑝
4𝑚 𝑑𝑡
ℎ
=
𝜕𝑟
2 2𝑚+1
2𝑚 + 1 𝑑ℎ 𝑚
Ω𝑅𝑚+1
1−𝐾
− 4𝑚
Ω
ℎ
𝑑𝑡
3 1 + 𝑝 𝑝𝑎2
𝑎
Dosazením do vztahu pro axiální sílu
𝑅
𝜕𝑝
ℎ
𝑟
𝑑𝑟 − 𝜋𝐾′
𝜕𝑟
2𝐾
2
𝐹=𝜋
0
𝑚′ 𝑅
𝑚
0
𝜕𝑝
𝑟
𝜕𝑟
𝑚′
𝑚
𝑑𝑟
To je finální vztah pro sílu, kde jsem se ale ztratil ve znaméncích (třeba opravit!!)
2𝑚+1
2
2𝑚 + 1 𝑑ℎ
−𝐾
4𝑚 𝑑𝑡
ℎ
𝐹=𝜋
2 2𝑚+1 2𝑚 + 1 𝑑ℎ 𝑚
1−𝐾
4𝑚 𝑑𝑡
ℎ
𝑚
𝑅𝑚+3
ℎ
𝑚+3
−
𝜋𝐾′
2𝐾
Ω𝑅𝑚+1
Ω
3 1 + 𝑝 𝑝𝑎2
𝑎
𝑚′
𝑚
−𝐾
2
1−𝐾
ℎ
2
ℎ
2𝑚+1
2𝑚+1
𝑚
2𝑚 + 1 𝑑ℎ
4𝑚 𝑑𝑡
2𝑚 + 1 𝑑ℎ 𝑚
Ω𝑅𝑚+1
4𝑚 𝑑𝑡
Ω
3 1 + 𝑝 𝑝𝑎2
𝑎
𝑚′
𝑚
′
𝑅𝑚 +2
𝑚′ + 2
Laun – mocninová kapalina a skluz na stěně
Laun et al. „Analytical solutions for squeezing flow with partial wall slip“,
J.Non-Newtonian Fluid Mech. 1999
Laun – mocninová kapalina a skluz na stěně
Článek řeší squeezing nestlačitelné mocninové kapaliny mezi kruhovými disky přičemž uvažuje skluz na stěně
(speciální případ jsou mazané disky, kdy úplně vymizí smykové síly a projevuje se jen elongační tok).
Pozor na interpretraci výsledků a vztahů: počátek souřadného systému (souřadnice z=0) není na dolním pevném disku, ale uprostřed
– vlastně se předpokládá, že oba disky se pohybují proti sobě. Symbol h je jen poloviční vzdálenost desek H=2h.
Základní rovnicí je rovnice kontinuity a rovnováhy v radiálním směru (kde jsou mlčky zanedbána normálová napětí)
1 𝜕 𝑟𝑢𝑟
𝜕𝑢𝑧
+
=0
𝑟 𝜕𝑟
𝜕𝑧
𝑑𝑝 𝜕𝜏𝑟𝑧
−
+
=0
𝑑𝑟
𝜕𝑧
𝜏𝑟𝑧
𝜕𝑢𝑟
=𝐾
𝜕𝑧
𝑛
Ať už je konstitutivní model jakýkoliv, je radiální rychlost vždy typu ur(r,z)=r g(z) . Pro mocninovou kapalinu
je radiální profil tlaku vždy typu p=A+B rn+1. Co je zajímavé: rychlostní pole vůbec nezávisí na koeficientu
konzistence (ale závisí na indexu toku). Další fakt: Rychlost skluzu je přímo úměrná radiální souřadnici.
Relativní skluz (vs – skluzová rychlost na okraji disku r=R) je vyjádřen bezrozměrným parametrem
ℎ𝑣𝑠
𝛿=
𝑑ℎ
−
𝑅
𝑑𝑡
0 ≤ 𝛿 ≤ 0.5
=0 nulový skluz (řešení Scott 1931), =0.5 úplný skluz, čistě
elongační deformace s konstantní radiální rychlostí po celém
průřezu
Laun – mocninová kapalina a skluz na stěně (parametry K, Ke, n, )
Výsledné rychlostní pole
𝑑ℎ
𝑢𝑧 = −
𝑑𝑡
2𝑛 + 1
−
1 − 2𝛿
𝑛+1
𝑧
𝑛
𝑧
−
ℎ 2𝑛 + 1 ℎ
𝑑ℎ 𝑟
2𝑛 + 1
𝑢𝑟 = −
𝛿−
1 − 2𝛿
𝑑𝑡 ℎ
2(𝑛 + 1)
𝑧
1−
ℎ
2𝑛+1
𝑛
− 2𝛿
𝑧
ℎ
2𝑛+1
𝑛
Z rychlostního pole se počítají rychlosti smyku a rychlosti elongace v radiálním a axiálním směru
𝛾𝑟𝑧 =
𝜕𝑢𝑟
𝜕𝑧
𝜀𝑟𝑟 =
𝜕𝑢𝑟
𝜕𝑟
𝜀𝑧𝑧 =
𝜕𝑢𝑧
𝜕𝑧
Pro nestlačitelnou kapalinu
plyne z rovnice kontinuity
𝜀𝑟𝑟 = −
𝜀𝑧𝑧
2
Konstitutivní model mocninové kapaliny uvažuje dva různé koeficienty konzistence (K-pro smykový tok a Ke pro
elongační tok), ale stejný index toku n
𝜏𝑟𝑧
𝜕𝑢𝑟
=𝐾
𝜕𝑧
𝑛
𝜏𝑧𝑧 = 𝐾𝑒
𝜕𝑢𝑧
𝜕𝑧
𝑛
𝜏𝑟𝑟 = 𝐾𝑒
𝜕𝑢𝑟
𝜕𝑟
𝑛
Laun – mocninová kapalina a skluz na stěně (parametry K, Ke, n, )
Axiální sílu může vyjádřit jako součet komponenty odpovídající smykovému Fs a elongačnímu Fe toku
𝑅
𝐹 = 2𝜋
𝑝 − 𝑝𝑎 + 𝜏𝑧𝑧 𝑟𝑑𝑟 = 𝐹𝑠 + 𝐹𝑒
0
Výsledek (po dosazení z konstitutivní rovnice a integraci)
𝑑ℎ
𝐹𝑠 = −
𝑑𝑡
𝑛
𝜋𝐾𝑅𝑛+3
2𝑛 + 1
ℎ2𝑛+1 (𝑛 + 3)
2𝑛
3 𝑑ℎ
𝐹𝑒 = −
2ℎ 𝑑𝑡
𝑛
𝜋𝐾𝑒 𝑅 2
4𝛿
2
3
𝑛
𝑛
1 − 2𝛿
𝑛
2 2𝑛 + 1 − 4𝛿
+
3(𝑛 + 1)
𝑛
Pro H<<R lze elastický člen zanedbat (výsledkem je tzv. rovnice Rady-Laun)
𝑑𝐻
𝐹= −
𝑑𝑡
𝑛
2𝜋𝐾𝑅𝑛+3
2𝑛 + 1
𝐻2𝑛+1 (𝑛 + 3)
𝑛
Porovnej s výsledkem Covay pro
Herschel Bulkley kapalinu
𝑛
𝐻𝒗𝒔
1−2
𝑑𝐻
−
𝑅
𝑑𝑡
𝑑ℎ 𝑚
) 2𝑚 + 1
𝑑𝑡
𝐹 = 2𝑚+1
ℎ
𝑚
(−
𝑚
𝑛
2𝜋𝐾𝑅𝑚+3 𝜋𝜏𝑦 𝑅3
+
𝑚+3
ℎ
N.Phan-Thien, R.I.Tanner – Maxwellův model kapaliny
N.Phan-Thien, R.I.Tanner – Maxwellův model kapaliny
Článkům pana N.Phan-Thiena (ani jeho knížkám) moc nerozumím (prof.Biomechanics v Singapore “erythrocytes”).
V tomto článku uvádí Thien výchozí rovnice (Upper Convective Maxwell UCM) jen v symbolickém tvaru a
konkrétní formulace analyzuje jen v kartézském souřadném systému. Výchozí rovnice UCM pro cylindrický
souřadný systém Thien neuvádí, jen jejich obecné řešení. Formulaci rovnic pro extranapětí je třeba hledat
jinde, např. u Tannera
𝜕𝜏𝑟𝑟
𝜕𝜏𝑟𝑟
𝜕𝜏𝑟𝑟
𝜕𝑢𝑟
𝜕𝑢𝑟
𝜏𝑟𝑟 2𝜇 𝜕𝑢𝑟
+ 𝑢𝑟
+ 𝑢𝑧
− 2 𝜏𝑟𝑟
+ 𝜏𝑟𝑧
+
=
Prof.Roger Tanner University of
𝜕𝑡
𝜕𝑟
𝜕𝑧
𝜕𝑟
𝜕𝑧
𝜆
𝜆 𝜕𝑟
Sydney “Mullins effect,
viscoelasticity of suspensions”
𝜕𝜏𝑟𝑧
𝜕𝜏𝑟𝑧
𝜕𝜏𝑟𝑧
𝜕𝑢𝑟
𝜕𝑢𝑧 𝑢𝑟
𝜏𝑟𝑧 𝜇 𝜕𝑢𝑟 𝜕𝑢𝑧
+ 𝑢𝑟
+ 𝑢𝑧
− 𝜏𝑧𝑧
+ 𝜏𝑟𝑟
−
+
=
+
𝜕𝑡
𝜕𝑟
𝜕𝑧
𝜕𝑧
𝜕𝑟
𝑟
𝜆
𝜆 𝜕𝑧
𝜕𝑟
𝜕𝜏𝜑𝜑
𝜕𝜏𝜑𝜑
𝜕𝜏𝜑𝜑
𝑢𝑟 𝜏𝜑𝜑 2𝜇 𝑢𝑟
+ 𝑢𝑟
+ 𝑢𝑧
− 2𝜏𝜑𝜑 +
=
𝜕𝑡
𝜕𝑟
𝜕𝑧
𝑟
𝜆
𝜆 𝑟
𝜕𝜏𝑧𝑧
𝜕𝜏𝑧𝑧
𝜕𝜏𝑧𝑧
𝜕𝑢𝑧
𝜕𝑢𝑧
𝜏𝑧𝑧 2𝜇 𝜕𝑢𝑟
+ 𝑢𝑟
+ 𝑢𝑧
− 2 𝜏𝑟𝑧
+ 𝜏𝑧𝑧
+
=
𝜕𝑡
𝜕𝑟
𝜕𝑧
𝜕𝑟
𝜕𝑧
𝜆
𝜆 𝜕𝑟
Pozn. Thien používá trochu jinou symboliku, místo  používá S, místo času t
bezrozměrné , místo z používá bezrozměrnou souřadnici . Bezrozměrná vzdálenost
desek H=h/h0. Radiální souřadnice r zůstává rozměrová.
N.Phan-Thien, R.I.Tanner – Maxwellův model kapaliny
Analytické řešení rychlostního pole je stejně jako dříve definované jedinou funkcí f(z,t)
1 𝜕𝒇(𝒛, 𝒕)
𝑢𝑟 = − 𝑉𝑟
2
𝜕𝑧
𝑢𝑧 = 𝑉𝒇(𝒛, 𝒕)
kde V je referenční rychlost
Extranapětí (řešení Maxwellova modelu) se hledají prostřednictví funkcí jen proměnné z a času t
(nejsou tedy funkcí poloměru)
𝜏𝑟𝑟 = 𝑅1 𝑧 + 𝑟 2 𝑅2 𝑧
𝜏𝜑𝜑 = Θ 𝑧
𝜏𝑧𝑧 = 𝑍 𝑧
𝜏𝑟𝑧 = 𝑟𝑇 𝑧
Dosazením těchto  a rychlostí (tedy funkce f) do UCM získáme soustavu hyperbolických diferenciálních rovnic
𝑅1 + 𝑊𝑖 𝑅1 + 𝑓𝑅1′ + 𝑓 ′ 𝑅1 = −𝑓′
Tyto rovnice jsou stejné, takže stačí počítat R1=
𝑅2 + 𝑊𝑖 𝑅2 + 𝑓𝑅2′ + 𝑓 ′′ 𝑇 = 0
Zvláštní je to, že Thien rozděluje UCM rovnici pro radiální směr na dvě rovnice. Dělá to
tak i v jiných článcích, asi proto, aby vymýtil ze všech rovnic souřadnici r (zůstává jen )
Θ + 𝑊𝑖 Θ + 𝑓Θ′ + 𝑓 ′ Θ = −𝑓′
Tečka nad symbolem je derivace dle bezrozměrného času 
apostrof je derivace dle 
𝑍 + 𝑊𝑖 𝑍 + 𝑓𝑍 ′ − 2𝑓 ′ 𝑍 = −2𝑓′
𝜆𝑉
1
1
𝑊𝑖 =
je Weissenbergovo číslo
𝑇 + 𝑊𝑖 𝑇 − 𝑓 ′ 𝑇 + 𝑓𝑇 ′ + 𝑓 ′′ 𝑍 = − 𝑓 ′′
ℎ
0
2
2
N.Phan-Thien, R.I.Tanner – Maxwellův model kapaliny
Máme tedy 4 rovnice pro 4 neznámé funkce času a axiální souřadnice popisující extranapětí  =R1, R2, T, Z.
Funkce f(,) je řešením rovnice, která patrně plyne z Cauchyho rovnice rovnováhy ve směru r (Thien neuvádí
odvození, zase jen výsledek)
1
3𝑅2′ + 𝑇 ′′ + 2 𝑅𝑒 𝑓 ′′ + 𝑓𝑓′′′ =0
Perturbační řešení těchto diferenciálních rovnic je pro malé hodnoty Weissenbergova čísla Wi a malé
hodnoty Reynoldsova čísla a pro osově symetrický případ vyjádřeno takto
𝑓 𝜉, 𝜏 = 𝑓0 + 𝑅𝑒𝑓10 + 𝑊𝑖𝑓01
𝑓0 =
𝑓01
3𝜉 2
𝑧
𝑑𝐻
(
− 3)
𝑑𝜏 𝐻2
𝐻
𝑑𝐻
= −6
𝑑𝜏
2
0
1 𝜉 3 𝜉 4 2𝜉 5
6 𝑑𝐻
−
+
+
𝐻 𝐻3 𝐻4 5𝐻5
5 𝑑𝜏
𝑑2𝐻 𝜉4
𝜉5
𝑑𝐻
𝑓10 = 2
−
−
𝑑𝑡 4𝐻2 10𝐻3
𝑑𝜏
ℎ
𝑉𝑡
0
0
𝜉 = ℎ , H=ℎ , 𝜏 = ℎ
2𝜉 3
2
2
1 𝜉3 𝜉2
+
𝐻 𝐻3 𝐻2
𝜉4
3𝜉 5
𝜉6
𝜉7
−
+
−
+⋯
2𝐻3 10𝐻4 10𝐻5 35𝐻6
moc složité a stejně zanedbané pro Re=0
N.Phan-Thien, R.I.Tanner – Maxwellův model kapaliny
Pro velké hodnoty Weissenbergova čísla se uvádí numerické řešení rovnice
1
3𝑅2′ + 𝑇 ′′ + 2 𝑅𝑒 𝑓 ′′ + 𝑓𝑓′′′ =0
metodou sítí (kterému také moc nerozumím, Thien ho stejně uvádí jen pro kartézský souřadný systém. Problém je v tom, že nevím co je to
Rouse-matrix a Kramer-matrix a na operacích s těmito maticemi se numerické řešení točí)
Ze stanovené funkce f se dá odvodit rozložení tlaku a kýžená závislost mezi axiální silou a rychlostí
stlačování. Síla F (v článku je označována symbolem W) je vyjádřena bezrozměrným zatěžovacím
faktorem
4𝑊ℎ03
6 𝑑𝐻
42 𝑑𝐻
𝑤=
=− 3
− 𝑊𝑖
𝜋𝜇𝑉𝑅4
𝐻 𝑑𝜏
5𝐻4 𝑑𝜏
2
6 𝑑2𝐻
3 𝑑2𝐻
15 𝑑𝐻
− 3 2 − 𝑅𝑒
−
𝐻 𝑑𝜏
5𝐻 𝑑𝜏 2 14𝐻2 𝑑𝜏
2
Za povšimnutí snad stojí to, že i když je zanedbaná setrvačnost (Re=0) ovlivňuje axiální sílu i druhá derivace
H, tj. zrychlení disku.
Porovnej se Scott pro Newtonskou kapalinu
3 𝑑𝐻 𝜋𝜇𝑅4
𝐹=−
2 𝑑𝑡 𝐻3
N.Phan-Thien – Mooney+Maxwell LAOS
N.Phan-Thien – Mooney+Maxwell LAOS
V principu jde o model viskoelasticity typu Kelvin, protože tenzor výsledných napětí odpovídá paralelnímu
řazení elastické pružiny (Moore) a seriově uspořádané pružiny s tlumičem (UCM Upper Convected Maxwell)
𝑺 = 𝑺𝐸 + 𝑺𝑉
Tenzor elastických napětí je dán neo-Hookovským modelem s jediným parametrem - modulem tuhosti ve
smyku GE
𝑺𝐸 = 𝐺𝐸
𝑭𝑭𝑇
𝐵=𝐹𝑖𝑛𝑔𝑒𝑟 𝑡𝑒𝑛𝑠𝑜𝑟
Kinematiku deformace popisuje Fingerův tenzor odvozený z tenzoru deformačního gradientu 𝑭 =
𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑥𝑗
𝐵𝑖𝑗 = 𝐹𝑖𝑘 𝐹𝑗𝑘 =
𝜕𝑋𝑘 𝜕𝑋𝑘
𝜕𝒙
𝜕𝑿
Vektor X=(R,,Z) je poloha materiálového bodu v referenčním souřadném systému (odpovídá výchozímu
stavu v čase t=0) a x=(r,,z) je poloha téhož bodu, ale v aktuálním čase t.
N.Phan-Thien – Mooney+Maxwell LAOS
Deformační tenzor je v cylindrickém souřadném systému vyjádřen takto
𝑭=
𝜕𝒙
=
𝜕𝑿
𝜕𝑟
𝜕𝑅
𝜕𝜃
𝑟
𝜕𝑅
𝜕𝑧
𝜕𝑅
1 𝜕𝑟 𝜕𝑟
𝑅 𝜕Θ 𝜕𝑍
𝑟 𝜕𝜃
𝜕𝜃
𝑟
𝑅 𝜕Θ
𝜕𝑍
1 𝜕𝑧 𝜕𝑧
𝑅 𝜕Θ 𝜕𝑍
𝑭−1 =
𝜕𝑿
=
𝜕𝒙
𝜕𝑅 1 𝜕𝑅
𝜕𝑟
𝑟 𝜕𝜃
𝜕Θ 𝑅 𝜕Θ
𝑅
𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝜃
𝜕𝑍
1 𝜕𝑍
𝜕𝑟
𝑟 𝜕𝜃
𝜕𝑅
𝜕𝑧
𝜕Θ
𝑅
𝜕𝑍
𝜕𝑍
𝜕𝑧
N.Phan-Thien – Mooney+Maxwell LAOS
Lze ukázat, že zcela přesný popis deformace lze zajistit dvojicí funkcí f(z,t) a g(z,t) které nejsou funkcí
poloměru
𝑅 = 𝑟𝑓(𝑧, 𝑡)
=𝜃
Z= 𝑔(𝑧, 𝑡)
Okrajové podmínky 𝑓 0, 𝑡 = 𝑓 ℎ, 𝑡 = 1 𝑔 0, 𝑡 = 0 𝑔 ℎ, 𝑡 = 𝐻
Deformační tenzor
𝑭−1
𝜕𝑿
=
=
𝜕𝒙
𝑓=
0
0
𝜕𝑅
𝜕𝑟
0
𝑟𝑓 ′ =
𝑓
0
0
𝑔′
𝜕𝑅
𝜕𝑧
Inverzí matice
𝜕𝑍
=
𝜕𝑧
Fingerův tenzor a elastická napětí
2
𝑓 2 𝑔′ + 𝑟 2 𝑓 ′
𝑺𝐸 = 𝐺𝐸 𝑭𝑭𝑇 = 𝐺𝐸
0
−𝑟𝑓′𝑓 3
2
−𝑟𝑓′𝑓 3
0
𝑓 2 𝑔′
0
2
0
𝑓4
𝜕𝒙
𝑭=
=
𝜕𝑿
𝑓𝑔′
−𝑟𝑓𝑓 ′
0
0
𝑓𝑔′ =
0
0
𝑟 𝜕𝜃
𝑅 𝜕Θ
0
𝑓2
N.Phan-Thien – Mooney+Maxwell LAOS
Funkce f,g (a transformace mezi referenční a aktuální konfigurací) definují i rychlostní pole.
𝑅 = 𝑟𝑓(𝑧, 𝑡)
Z= 𝑔(𝑧, 𝑡)
Klíčová rovnice 𝜕𝑿(𝒙, 𝑡) 𝜕𝑿(𝒙, 𝑡) 𝜕𝒙 𝑿, 𝑡
+
∙
=0
𝜕𝑡
𝜕𝒙
𝜕𝑡
𝜕𝑿(𝒙, 𝑡)
+ 𝑭−1 ∙ 𝒖 = 0
𝜕𝑡
𝑢𝑟 = 𝑟𝑓𝑓 ′
𝒖 = −𝐹
𝜕𝑔
𝜕𝑓
− 𝑟 𝑓𝑔′
𝜕𝑡
𝜕𝑡
𝜕𝑿(𝒙, 𝑡)
𝜕𝑡
Rozpor je možné odstranit z podmínky
nestlačitelnosti, Jakobián transformace F=1.
Determinant je součin diagonálních prvků
0
𝑓𝑔′
0
−𝑟𝑓𝑓 ′
0
𝑓2
𝜕𝑔
𝑢𝑧 = −𝑓
𝜕𝑡
2
𝐹(𝑧, 𝑡) =
Thien uvádí řešení zavedením pomocné funkce F
Jenže pak nesouhlasí radiální rychlost ?
𝑓𝑔′
𝑢𝑟
𝑢𝜃 = − 0
𝑢𝑧
0
𝑓2
𝜕𝑔
𝜕𝑡
𝑢𝑧 = −𝐹
𝜕𝑅
𝜕𝑓
=𝑟
𝜕𝑡
𝜕𝑡
𝜕Θ
𝜕𝑡
𝜕𝑔
𝜕𝑡
1 ′
𝑢𝑟 = 𝑟𝐹
2
′
1 ′
𝜕𝑔
1
𝜕𝑔
𝑢𝑟 = 𝑟𝐹 = 𝑟𝑓𝑓 ′
+ 𝑟𝑓 2
2
𝜕𝑡 2
𝜕𝑡
𝑓 2 𝑔’
=1
′
𝜕𝑓
𝜕𝑔
2𝑓𝑔′
+ 𝑓2
=0
𝜕𝑡
𝜕𝑡
1 2 𝜕𝑔′
𝜕𝑓
𝑟𝑓
= −𝑟 𝑓𝑔′
2
𝜕𝑡
𝜕𝑡
N.Phan-Thien – Mooney+Maxwell LAOS
1
se použijí v diferenciálních rovnicích UCM
𝑢𝑟 = 𝑟𝐹 ′
2
…je to prakticky stejné jako u předchozího článku Thien Tanner.
Rychlosti u vyjádřené funkcí F
𝑢𝑧 = −𝐹
I metody řešení jsou podobné, pro malé deformace a numerické pro velké deformace.
(takže opět mně neznámé Rouse-matrix, Kramer-matrix …)
Výsledky jsou použité pro vyhodnocování LAOS oscilačních experimentů při velkých
amplitudách.
Laudarin electrorheological fluid
Khan variační metoda (Wangova transformace)
Ceterum censeo… že bude třeba napsat tyto články
o
o
o
o
o
o
o
Thixotropic properties of collagen
Assessment of viscoelastic properties in a capillary rheometer with converging/diverging slit
Rheometry of compressible collagenous materials (capillary rheometers, squeezing)
Rheological properties of collagenous materials I. Effect of irradiation
Rheological properties of collagenous materials II. Effect of concentration
Rheological properties of collagenous materials III. Electric and rheological properties
Wagner model of collagen identified by squeezing, extrusion and rotational LAOS experiments.
Tým sedmi lidí : Houška, Landfeld, Žitný, Skočilas, Štancl, Dostál, Chlup
by během 3 let řešení grantu měl vygenerovat alespoň 7 článků v časopisech