Transcript Aproximace diskrétních ekonomických hodnot spojitou

Markéta Husková, hus089, EN1UDP01
EKONOMICKÁ VELIČINA:
STÁTNÍ DLUH
APROXIMACE DISKRÉTNÍCH EKONOMICKÝCH
HODNOT SPOJITOU DIFERENCOVATELNOU
FUNKCÍ
FORMULACE PROBLÉMU:
1)
2)
3)
Vytvoření lineárního modelu vývoje státního
dluhu v letech 1993 – 1996, 1998 – 2010
Zjištění státního dluhu v roce 1997
(interpolace)
Zjištění státního dluhu v roce 2015
(extrapolace)
1) VYTVOŘENÍ LINEÁRNÍHO MODELU VÝVOJE
STÁTNÍHO DLUHU V LETECH 1993 – 1996,
1998 – 2010
VÝVOJ STÁTNÍHO DLUHU V ČR OD 1993 – 1996,
1998 – 2010 (V MLD. KČ)
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
158,8
157,3
154,4
155,2
?
194,7
228,4
289,3
345,0
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
395,9
493,2
592,9
691,2
802,5
892,3
999,8
1 178,2 1 344,1
Tab. 1: Vývoj státního dluhu v ČR od 1993 – 1996, 1998 – 2010 (v mld. Kč)
1)
Dostupné z www: http://www.czso.cz/csu/2010edicniplan.nsf/p/1409-10
GRAFICKÉ VYJÁDŘENÍ – BODOVÝ GRAF
Vývoj státního dluhu v ČR (v mld. Kč)
1,600.0
1,400.0y
= závisle proměnná
mld.Kč
1,200.0
1,000.0
800.0
600.0
400.0
200.0
0.0
1992
1994
1996
1998
2000
2002
2004
2006
2008
2010
x = nezávisle proměnná
2012
2) ZJIŠTĚNÍ STÁTNÍHO DLUHU V ROCE 1997
(INTERPOLACE)
URČENÍ HODNOTY STÁTNÍHO DLUHU V ROCE 1997
1)
2)
Proložení hodnot bodového grafu spojitou
křivkou
Určení neznámé hodnoty jako funkční hodnoty
spojité funkce – existuje více variant:
a) proložení lineární spojnicí trendu
b) proložení exponenciální spojnicí trendu
c) proložení kvadratickou spojnicí trendu
VLOŽENÍ SPOJNICE TRENDU
VLOŽENÍ SPOJNICE TRENDU
Nejdříve vybereme typ
spojnice trendu
Lineární spojnice trendu
proloží hodnoty bodového grafu
lineární přímkou, získáme tedy
lineární model
VLOŽENÍ SPOJNICE TRENDU
Zatrhneme zobrazení
rovnice regrese a zobrazení
spolehlivosti R
Koeficient spolehlivosti R
nebo-li index determinace
určuje, zda je funkce vhodná
k aproximaci
Index determinace R2 se
pohybuje v intervalu <0;1>,
čím více se jeho hodnota blíží
1, tím více je funkce
vhodnější pro aproximaci
A) LINEÁRNÍ SPOJNICE TRENDU
Rovnice regrese pro lineární spojnici trendu: y = 67,962081x – 135 510,379375
Index determinace R2 = 0,886759
Vývoj státního dluhu v ČR (v mld. Kč)
1,600.0
1,400.0
1,200.0
y = 67.962081x - 135,510.379375
R² = 0.886759
mld. Kč
1,000.0
800.0
600.0
400.0
200.0
0.0
1992
-200.0
1994
1996
1998
2000
2002
2004
2006
2008
2010
2012
B) EXPONENCIÁLNÍ SPOJNICE TRENDU
Rovnice regrese pro exponenciální spojnici trendu: y = 1E – 121e0,142x
Index determinace R2 = 0,9744
Vývoj státního dluhu v ČR (v mld. Kč)
1,600.0
1,400.0
y = 1E-121e0.142x
R² = 0.9744
1,200.0
mld. Kč
1,000.0
800.0
600.0
400.0
200.0
0.0
1992
1994
1996
1998
2000
2002
2004
2006
2008
2010
2012
C) KVADRATICKÁ SPOJNICE TRENDU
Rovnice regrese pro kvadratickou spojnici trendu:
y = 5,124905x2 – 20 446,681547x + 20 394 027,363743
Index determinace R2 = 0,998776
Vývoj státního dluhu v ČR (v mld. Kč)
1,600.0
1,400.0
y = 5.124905x2 - 20,446.681547x + 20,394,027.363743
R² = 0.998776
1,200.0
mld. Kč
1,000.0
800.0
600.0
400.0
200.0
0.0
1992
1994
1996
1998
2000
2002
2004
2006
2008
2010
2012
VÝBĚR NEJSPOLEHLIVĚJŠÍ FUNKCE
Index determinace R2:
pro lineární spojnici trendu:
 pro exponenciální spojnici trendu:
 pro kvadratickou spojnici trendu:

0,886759
0,9744
0,998776
Kvadratická aproximace je na základě indexu
determinace nejspolehlivější, proto provedeme
interpolaci a extrapolaci právě u této funkce.
ZJIŠTĚNÍ HODNOTY STÁTNÍHO DLUHU V ROCE 1997
Funkce kvadratické aproximace:
y = 5,124905x2 – 20 446,681547x + 20 394 027,363743
Pro x = 1997:
y = 5,124905*19972 - 20 446,681547*1997 + 20 394 027,363743
y = 171,578529
y = 171,6 mld. Kč
Hodnota státního dluhu v roce 1997 činila 171,6 mld. Kč.
3) ZJIŠTĚNÍ STÁTNÍHO DLUHU V ROCE 2015
(EXTRAPOLACE)
ZJIŠTĚNÍ STÁTNÍHO DLUHU V ROCE 2015
Výsledek zjistíme opět za použití funkce kvadratické aproximace:
y = 5,124905x2 – 20 446,681547x + 20 394 027,363743
Pro x = 2015:
y = 5,124905*20152 - 20 446,681547*2015 + 20 394 027,363743
y = 2 231,450163
y = 2 231,5 mld. Kč
Odhadovaná hodnota státního dluhu pro rok 2015 je 2 231,5 mld. Kč.
ZÁVĚR
1)
2)
1)
Pomocí aproximace jsme proložili hodnoty
bodového grafu kvadratickou funkcí, kterou jsme
zvolili jako nejvhodnější na základě indexu
determinace.
Pomocí interpolace jsme vypočítali hodnotu
státního dluhu v roce 1997, který činil
171,6 mld. Kč.
Pomocí extrapolace jsme odhadli hodnotu
státního dluhu v roce 2015 na 2 231,5 mld. Kč.