Transcript Síly tíhové, odstředivé, setrvačné.

HYDROSTATIKA
Hydrostatika je část mechaniky tekutin, která se zabývá
mechanickými vlastnostmi nepohybujících se kapalin, tedy
kapalin, které jsou v klidu.
Hydrostatika je součástí statiky.
•
•
•
•
•
Pascalův zákon
Eulerova rovnice hydrostatiky
Hydrostatická síla
Archimedův zákon
Tlakové síly na zakřivené plochy
Síly působící na kapalinu
Síly které mohou působit na kapalinu lze
rozdělit obecně do dvou skupin:
•Síly plošné
•Síly hmotnostní (neboli objemové)
Hmotnostní síly (pro nestlač. kapalinu
objemové). Závisí na hmotnosti
makroskopické částice a působí v těžišti
objemu. Síly tíhové, odstředivé, setrvačné.
dFO  a    dV
Plošné síly jsou úměrné velikosti
plochy. Síly tlaková, třecí, povrchového napětí.
dFP  p  dS
Orientace plochy

n
 nx , n y , nz   cos  , sin  ,0 
Jednotkový vektor:


Orientovaná plocha: S  S x , S y , S z   S  n

n  nx2  n y2  nz2  1
S  a b


S  a b  n
S x  a  b  nx  a  b  cos 
S y  a  b  n y  a  b  sin 
S z  a  b  nx  a  b  0  0
Pascal, Euler, Archimedes
Blaise Pascal (1623-1662) – francouzský vědec a
filozof. Autor knihy „Rovnováha kapalin a tíha vzduchové
masy“ – zkoumal síly na různě velké písty, kterými vyvolával
tlak v kapalině – princip hydraulického lisu.
Leonhard Euler (1707-1783) – švýcarský matematik,
fyzik a astronom. Tvůrce moderní hydromechaniky, objevil
pojem ideální (neviskózní) kapaliny a sestavil její základní
diferenciální rovnici.
Označení pro Σ, π, ∫, ∞; vztah pro výpočet měrné energie turbíny; vlnová rovnice pro
kmitání struny v prostoru a čase; slepý → optika, algebra, pohyb měsíce.
Archimedes (287-212 př.n.l.) – řecký matematik,
fyzik, mechanik. Díky unikátním experimentálním metodám
můžeme Archimeda označit za prvního vědeckého inženýra v
historii. Jako první důsledně spojil matematiku s fyzikou a
teorii s experimentem.
Ludolfovo číslo pí, kladkostroj, vodní šnek, měření objemu těles nepravidelného tvaru
Pascalův zákon
Pascalův zákon je důležitým zákonem hydromechaniky.
Jestliže na kapalinu působí vnější tlaková síla, pak tlak v každém
místě kapaliny vzroste o stejnou hodnotu.
Pascalův zákon mluví o přenosu tlaku do libovolného místa v
kapalině, přitom se tlak nikde neztrácí. Přenos tlaku je umožněn
pohybem částic kapaliny a rozkladem vzájemných sil mezi nimi
do všech směrů.
Pascalův zákon neříká, že tlak je v celé kapalině stejný, ale
hovoří o rovnoměrném šíření tlaku v kapalině. Např.
hydrostatický tlak je v menší hloubce menší, ve větší hloubce
větší. Tlačením na kapalinu vzroste tlak ve všech místech stejně,
ale rozdíly z hydrostatického tlaku zůstanou.
Pascalův zákon - prakticky
Pascalův zákon - matematicky
Silová rovnováha (síla = tlak na plochu)
x:
px  dy  dz  p  dl  dz  sin 
px  S x  p  S x
y:
p y  dx  dz  p  dl  dz  cos 
py  S y  p  S y
p  px  p y  pz
Eulerova rovnice hydrostatiky (ERHS)
Eulerova rovnice hydrostatiky vyjadřuje rovnováhu sil působících na
makroskopickou částici za předpokladu, že se kapalina nachází v
hydrostatické rovnováze.
Tlak je funkcí polohy:
p
p
p
dp 
dx  dy  dz
x
y
z
ERHS - odvození
Vektorový zápis ERHS:
1 p
x:
Ax  
0
 x
1 p
ERHS ve složkách:
y:
Ay  
0
 y
1 p
z:
Az  
0
 z
1

p 



A

grad
p

0
x :  p  dS x  Ax  dm
  p  dx   dS x  0






x




dx

dy

dz
dydz
dydz


 









1
 AdF
dF
 o 0
 pxgrad  pdF
px2

1
p
1 p
p
0 
   Ax
  x :  A xAx 
 x
x
 x
 p
1 p
p
0 
   Ay
  y :  A yAy 
 y
y
 y
p
1 p
p
  z :  A zAz 
 0 sílytlakové   Az
 z
z
z
1 p

A

0
i

Zápis ERHS pomocí
A
 xi


sumační symboliky: síly hmotnostní
 A  1 grad  p   0
i
 i 
1

grad  p   0
Tlaková hladina a hladinové plochy
Přírůstek tlaku:
ERHS:

dp  grad  p   dl
 
dp    A  dl
 1

A  grad  p   0

integrace
 
p     A  dl    Ax dx  Ay dy  Ay dy 
l
l
Plocha konstantního tlaku
 
  A  dl  0
Ax dx  Ay dy  Ay dy  0
Přírůstek tlaku v kapalině
Tlaková síla na plochu je vektor, určený velikostí, směrem a
působištěm. Síla má směr normály (kolmá k ploše) a je orientovaná
z kapaliny.
dp    A dx  A dy  A dz 
x
A0;  g ; 0
y
z
dp     g  dy
Po integraci a dosazení okrajových
podmínek:
p  p0   2  g  h2



hydrostatický
p
h
tlak
Hydrostatické paradoxon
Za předpokladu dvou nemísitelných a
1
2
3
nestlačitelných kapalin můžeme psát
vztah ve tvaru:
S1  S 2  S3
h1  h2  h3
přestože:
p1  pF02 F13 g  hV
V
Vh32
F
1 1
2 2 g
Tlaková hladina - stlačitelná kapalina
Za předpokladu stlačitelné kapaliny musíme vyjádřit závislost hustoty
na tlaku. Vyjdeme z definice modulu objemové pružnosti.
m   V  konst
 d
dV


dm    dV  d V  0 
V
 
dV 1
1


V dp K
K  d    dp
Odtud integrací:
d
dp
   K
p
ln    C1
K
Okr. podmínky:    0
p  p0
Tlaková hladina - stlačitelná kapalina
p0
C1  ln  0 
Po dosazení okrajových podmínek
K
Srovnáme-li tlak vody v hloubce 1000m bez uvažování
získáme integrační konstantu a vztah:
p  p0
stlačitelnosti a s uvažováním stlačitelnosti.
K




e
0
Modul objemové stlačitelnosti K=2,36 . 109 Pa při 20°C:p  p
dp     g  dy    0  g  dy  e
a) nestlačitelná kapalina pH=10000000Pa=10MPa
p0  p
b)Upravíme
Stlačitelná
=10021246Pa=10,0212MPa
na: kapalina pH
 0  g  dy  e K dp
Přírůstek tlaku:
Rozdíl je tedy 21246Pa,
což odpovídá hloubce 2,1m.
0
K
integrujeme
y
p
   0  g  dy   e
y0
p0  p
K
dp
p0
 0  g  h 
p  p0  K  ln 1 

K 

Archimedův zákon
Vztlak a plavání těles
G  m  g   t  Vt  g
F1  p  S  h   k  b Síly
c  g tlakové a vlastní tíha tělesa
F2  p  S  h  a    k  b  c  g
Mohou nastat tři případy:
telesa   kapaliny
Rovnováha
sil tlakových
tíhy tělesa
výslednáa vlastní
síla působí
vzhůru,
těleso stoupá k hladině
F1  G  F2  h   k  b  c  g 
telesa   kapaliny
  t  Vt  g  h  těleso
a    k  bse cvznáší,
 g  síla vztlaková
s tíhou tělesa, výslednice sil je
jehv rovnováze
k  b  c  g   t  Vt  g 
nulová
 h  k  b  c  g  a  k  b  c  g 
  a  k  b  c  g 
telesa
 t V
t  g kapaliny
výsledná síla působí dolů,
t  dolů
těleso
Vt  g klesá
k
ve svislém směru
Síla na šikmou plochu
Co budeme počítat?
Výslednou sílu od tlaku kapaliny na rovinnou plochu.
U výsledné síly musíme určit:
Velikost
Působiště
Orientaci
Velikost
dF  ph  dS    g  h  dS
FV    g  x T  sin   S
FV  phT  S
Působiště určíme z momentové
rovnováhy k osám x,y:
xC 
Iy
Uy

I yT
Uy
 xT  C  x T
yC 
I xy
Uy
 yT
Síla na šikmou plochu – opakování statika
Centrum tlakové síly „C“
Steinerova věta:
moment setrvačnosti k ose ║
s y, ale procházející těžištěm
Moment elementárních tlakových
sil k ose y musí být stejný jako
2
I y  I yTsíly
 xkT ose
 S y:
moment výsledné tlakové
U ydF
 xT h S   g  dS  
x  sin
    g  dS

 x S
h
2
T
yT
lzeyTpředpokládat
působiště
T
T
T
2
Iy I
Obecně
xC 


I
I yT
C:
x 
 xT
Uy
x S
x S
Uy
xC  F   xdF   x  sin     gdS  sin     g  x 2 dS
S
S
Základní vztahy: 2
sin     g  x dS  x 2 dS
Iy
S
S
xC 
4
 3
 ay
I yT sin     g  xdS a  xdS b U
S
12
12 S
S
moment setrvačnosti
plochy S k ose y
4
statický
moment
 R
plochy S k ose y
4
b  h3
24
Tlakové síly na křivé plochy
Elementární síla na křivou plochu dS.
dF  ph  n  dS  ph  dS
dFx  ph  dSx  ph  dy  dz
Velikost síly počítáme po složkách.
dFy  p h  dSy  p h  dx  dz
dFz  ph  dSz  ph  dx  dy
Celkové složky síly získáme integrací:
Fx   p h  dSx
Sx
Fy   ph  dSy
Sy
Fz   p h  dSz
Sz
Síla na křivou plochu - zjednodušení
V případě jednoduchých tvarů křivých ploch (válec, koule,
krychle, kvádr..) lze výpočet zjednodušit pomocí průmětů ploch
a náhradních objemů:
poloha těžiště
Síla do osy x:
Síla do osy y:
Fx    g  hT  S x
průmět tělesa
do osy x
Fy     g  VZT
objem
zatěžovacího
tělesa
působí proti
ose y
a   R2
V
4

V  a Rc
Sx  a  R

Pro dnešek stačí