Transcript Průřezové charakteristiky

BD01 Základy stavební mechaniky
Středoevropské centrum pro vytváření a realizaci inovovaných
technicko-ekonomických studijních programů
Registrační číslo CZ.1.07/2.2.00/28.0301
Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a
státním rozpočtem České republiky.
1
BD01 Základy stavební mechaniky
Charakteristiky rovinných obrazců
• Plocha
A
 dA
A
n
A

Ai
i 1
• Statický moment plochy k osám y a z
Sy 
 z dA
n
Sy 

i 1
A
Sz 
 y dA
z ti A i
n
Sz 

y ti A i
i 1
A
• Poloha těžiště obrazce
yt 
Sz
A
zt 
Sy
A
• Těžiště: Bod v rovině yz, pro nějž platí: pokud vedeme osy y a z tímto bodem,
pak jsou statické momenty plochy k těmto osám nulové:
Sy  0
Sz  0
Středoevropské centrum pro vytváření a realizaci inovovaných
technicko-ekonomických studijních programů
Registrační číslo CZ.1.07/2.2.00/28.0301
Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a
státním rozpočtem České republiky.
2
BD01 Základy stavební mechaniky
Charakteristiky rovinných obrazců
• Moment setrvačnosti
Iy 

2
z dA
A
Iz 
y
2
dA
A
• Deviační moment
D yz 

yz dA
A
- jednoose symetrický průřez:
D yz  0
- překlopení obrazce, kolem jedné
ze souřadných os - změna znaménka
(změnilo se znaménko jedné ze souřadnic
každého bodu v integrálu Dyz).
Středoevropské centrum pro vytváření a realizaci inovovaných
technicko-ekonomických studijních programů
Registrační číslo CZ.1.07/2.2.00/28.0301
Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a
státním rozpočtem České republiky.
3
BD01 Základy stavební mechaniky
Transformační vztahy pro momenty setrvačnosti a deviační moment k
posunutým osám
Iy 
z
A

z
A
2
1
2
dA 
 (z
 z o1 ) dA
2
1
y
Iz 
A
2
dA 
A
dA  2 z o1  z 1 dA  z o1  dA
2
A
A
 I y 1  2 z o1 S y 1  z o1 A
2
Pro y 01  y t a

y
2
1
 (y
D yz 
 y o1 ) dA
2
1
A
A
dA  2 y o1  y 1 dA  y o1  dA
A
2
A
A
2
pak I y  I yt  z t2 A
platí
S yt  0
a
I z  I zt  y t A
2

y
A
dA 
 (y
1
 y o1 )( z 1  z o1 )dA
A
z dA  y o1  z 1 dA  z o1  y 1 dA  y o1 z o1  dA
2
1 1
A
A
A
 D y 1 z 1  y o1 S y 1  z o1 S z 1  y o1 z o1 A
 I z 1  2 y o1 S z 1  y o1 A
y 01  y t
 yz
S zt  0
D yz  D yt , zt  y t z t A
Steinerova věta: Moment setrvačností rovinného obrazce k posunuté ose je roven součtu
momentu setrvačnosti obrazce k vlastní těžišťové ose a plochy obrazce násobené
čtvercem vzdálenosti obou os.
Pozn: Je vhodné místo vzdálenosti obou os používat souřadnice těžiště obrazce, protože
v případě deviačního momentu je nutné důsledně dosazovat správná znaménka těchto
souřadnic.
Středoevropské centrum pro vytváření a realizaci inovovaných
technicko-ekonomických studijních programů
Registrační číslo CZ.1.07/2.2.00/28.0301
Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a
státním rozpočtem České republiky.
4
Transformační vztahy pro momenty setrvačnosti a
deviační moment k posunutým osám
Středoevropské centrum pro vytváření a realizaci inovovaných
technicko-ekonomických studijních programů
Registrační číslo CZ.1.07/2.2.00/28.0301
Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a
státním rozpočtem České republiky.
5
BD01 Základy stavební mechaniky
Momenty setrvačnosti složených obrazců
• Integrál po ploše lze rozložit na součet integrálů po dílčích plochách
Iy 


z dA 
2
A
z dA 
2
A1
• odtud

2
A2

z dA  I y 1  I y 2  ....  I yn
2
An
n
Iy 

z dA  .... 
n
Iz 
I yi
i 1
I
n
D yz 
zi
i 1
D
yzi
i 1
• po dosazení ze Steinerovy věty
n
Iy 
I
n
y ,i
i 1
I
i 1
 (I
 Ai z t ,i )
2
yt , i
i 1
n
Iz 

n
n
z ,i

 (I
i 1
zt , i
 Ai y )
2
t ,i
D yz 
D
i 1
n
yz , i

 (D
yt , zt , i
 Ai y t ,i z t , i )
i 1
Pozn.:
Při výpočtu charakteristik A, Sy, Sz, Iy, Iz a Dyz složených obrazců se charakteristiky otvorů
odečítají.
Středoevropské centrum pro vytváření a realizaci inovovaných
technicko-ekonomických studijních programů
Registrační číslo CZ.1.07/2.2.00/28.0301
Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a
státním rozpočtem České republiky.
6
BD01 Základy stavební mechaniky
Transformační vztahy k pootočeným osám
• Transformace souřadnic
y  y cos   z sin 
*
z   y sin   z cos 
*
Středoevropské centrum pro vytváření a realizaci inovovaných
technicko-ekonomických studijních programů
Registrační číslo CZ.1.07/2.2.00/28.0301
Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a
státním rozpočtem České republiky.
7
BD01 Základy stavební mechaniky
Transformační vztahy k pootočeným osám
Iy 
*
z
*2
dA 
A
 sin
2
 (  y sin
  z cos  ) dA
2
A
  y dA  2 sin  cos   yz dA  cos   z dA
2
2
A
 I z sin
Iz 
*

A
A
  2 D yz sin  cos   I y cos   I y cos   I z sin
2
2
y dA 
*2
A
2
2
  D yz sin 2
 ( y cos   z sin  ) dA
2
A
 cos 
2

y dA  2 sin  cos 
2
A

yz dA  sin
A
2
y
*
z dA 
*
A
 sin  cos 
 ( y cos 
2
  z dA
2
A
 I z cos   2 D yz sin  cos   I y sin
D y* z* 
2
2
  I y sin
2
  I z cos   D yz sin 2
2
 z sin  )(  y sin   z cos  ) dA 
A

y dA  (cos
2
2
  sin  )  yz dA  sin   z dA
2
A
 ( I y  I z ) sin  cos   D yz (cos
2
A
2
2
A
  sin  ) 
2
1
2
( I y  I z ) sin 2  D yz cos 2
Středoevropské centrum pro vytváření a realizaci inovovaných
technicko-ekonomických studijních programů
Registrační číslo CZ.1.07/2.2.00/28.0301
Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a
státním rozpočtem České republiky.
8
BD01 Základy stavební mechaniky
Hlavní momenty setrvačnosti
Otáčením souřadného systému nabývají hodnoty momentů setrvačnosti
proměnlivých hodnot.
Pro určitou polohu souřadných os dosáhnou tyto hodnoty extrému. Tyto osy pak
nazveme hlavní osy setrvačnosti a získané momenty setrvačnosti hlavními
momenty setrvačnosti.
K nalezení úhlu pootočení hlavních os setrvačnosti poslouží podmínka extrému
jednoho z momentů setrvačnosti
dI
*
y
d o
 0
Středoevropské centrum pro vytváření a realizaci inovovaných
technicko-ekonomických studijních programů
Registrační číslo CZ.1.07/2.2.00/28.0301
Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a
státním rozpočtem České republiky.
9
BD01 Základy stavební mechaniky
Hlavní momenty setrvačnosti
dI
*
y
d o
 0
I y  I y cos   I z sin
2
dI
*
y
d o
2
  D yz sin 2
 I y (  2 sin  cos  )  I z ( 2 sin  cos  )  D yz 2 cos 2
  ( I y  I z ) sin 2  D yz 2 cos 2
  2 D yz
Z toho plyne další charakteristika hlavních os setrvačnosti:
osy, k nimž je deviační moment nulový
D yz  0
z podmínky plyne:
tg 2 o 
2 D yz
Iz  Iy
Středoevropské centrum pro vytváření a realizaci inovovaných
technicko-ekonomických studijních programů
Registrační číslo CZ.1.07/2.2.00/28.0301
Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a
státním rozpočtem České republiky.
10
BD01 Základy stavební mechaniky
Hlavní momenty setrvačnosti
Dosazením získaného úhlu do vztahů pro a
a použitím některých vztahů pro
goniometrické funkce z matematiky se obdrží vztahy pro hlavní momenty
Hlavní momenty setrvačnosti označujeme
I 1  I max
I 2  I min
a jejich velikost je pak z předchozích vztahů
I 1, 2  I max 
min
1
2
(I y  I z ) 
1
2
( I z  I y )  4 D yz
2
Je-li pak 1. hlavní osa prochází 2. a 4. kvadrantem, jinak 1. a 3.
Středoevropské centrum pro vytváření a realizaci inovovaných
technicko-ekonomických studijních programů
Registrační číslo CZ.1.07/2.2.00/28.0301
Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a
státním rozpočtem České republiky.
11
Hlavní momenty setrvačnosti
rozlišení os
Je-li pak 1. hlavní osa prochází 2. a 4. kvadrantem, jinak 1. a 3.
Středoevropské centrum pro vytváření a realizaci inovovaných
technicko-ekonomických studijních programů
Registrační číslo CZ.1.07/2.2.00/28.0301
Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a
státním rozpočtem České republiky.
12
BD01 Základy stavební mechaniky
Poloměr setrvačnosti
iy 
Iy
iz 
A
Iz
A
poloměr setrvačnosti k posunutým osám
I y  I yt  z t A
2
2
2
i y  i yt  z t
Ai y  Ai yt  z A
2
t
2
2
obdobně
2
i z  i zt  y t
2
2
poloměry setrvačnosti k hlavním osám setrvačnosti
i1 
I1
A
i2 
I2
A
Středoevropské centrum pro vytváření a realizaci inovovaných
technicko-ekonomických studijních programů
Registrační číslo CZ.1.07/2.2.00/28.0301
Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a
státním rozpočtem České republiky.
13
BD01 Základy stavební mechaniky
Polární moment setrvačnosti
Na rozdíl od momentů setrvačnosti k osám je polární moment setrvačnosti
definován k bodu
Io 
 r dA 
 ( y  z ) dA 

A
A
A
2
2
2
y dA 
2

z dA  I z  I y
2
A
k posunutému bodu
2
I o  I ot  ( y t  z t ) A
2
Vzhledem k tomu, že polární moment je nezávislý na pootočení souřadného
systému, pravidlo
I z  I y  konst .
platí pro obecně otočené osy.
Středoevropské centrum pro vytváření a realizaci inovovaných
technicko-ekonomických studijních programů
Registrační číslo CZ.1.07/2.2.00/28.0301
Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a
státním rozpočtem České republiky.
14