Презентация

На тему: Арифметическая прогрессия.

1.Основные понятия Определение.

• Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа d, называют арифметической прогрессией. При этом число d называют разностью прогрессии. Таким образом, арифметическая прогрессия - это числовая последовательность (а n ) , заданная рекуррентно соотношениями: a 1 =a, аn=a n-1 + d (n=2,3,4, … ) (a и d – заданные числа ).

Определение 2

•

Арифметическая прогрессия является возрастающей последовательностью, если d>0, и убывающей, если d<0.

• Пример 1. 1,3,5,7,9,11, … .

Это арифметическая прогрессия, у которой a 1 =1, d=2. Пример 2. 20, 17, 14, 11, 8, 5, 2, -1, -4, … .

Это арифметическая прогрессия , у которой a 1 =20, d=-3.

2.Формула n-го члена арифметической прогрессии.

• • • • • • • а 1 = a 1 , A 2 =a 1 +d A 3 =a 2 +d=(a 1 +d)+d=a 1 +2d, a 4 =a 3 +d=(a 1 +2d)+d=a 1 +3d, A 5 =a 4 +d=(a 1 +3d)+d=a 1 +4d и так далее.

Не трудно догадаться, что для любого номера n справедливо равенство: a n =a 1 +(n-1)d

«Метод математической индукции».

• • Важное замечание.

«Нетрудно догадаться», «можно сообразить» и т.д.- это стилистические обороты из области интуиции, догадки, озарения. Разумеется, математики ими пользуются, но в основном для открытия каких-то новых фактов, а не для их обоснования. Формулу мы «прочувствовали», но не обосновали. Приведём доказательство.

• • Если n=1, то а 1 =а 1 +(1-1)d – верное равенство, т.е. формула для n=1 верна.

Предположим, что формула верна для натурального числа n=k, т.е. предположим, что верно равенство аk=a1+(k-1)d.

Докажем, что тогда формула верна и для следующего натурального числа n=k+1, т.е. докажем, что ak+1=a1+kd.в самом деле, по определению арифметической прогрессии ak+1= ak + d. Далее имеем: ak+1= ak + d=a1+(k-1)d)+d=a1+kd.

• • А теперь смотрите: для n=1 формула верна (это мы проверили). Далее мы доказали, что если формула верна для n=k, то она верна и для n=k+1. Воспользуемся этим: формула верна для n=1, значит, она верна и для n=2; так как она верна для n=2 , то она верна и для n=3 и так далее. Значит, формула верна для любого натурального числа.

Приведенный ниже метод рассуждений носит название «метод математической индукции».

3.Формула суммы членов конечной арифметической прогрессии. • • • • • Определение .

Сумма члена, находящегося на Ŗ-м месте от начала конечной арифметической прогрессии, и члена, находящегося на Ŗ-м от её конца, равна сумме первого и последнего членов прогрессии: a Ŗ +a n Ŗ +1 =a 1 +a 2 .

S n =n(a 1 +a n )/2

Это формула суммы первых n членов арифметической прогрессии.

Пример 1.

• Дана конечная арифметическая прогрессия a 1 , a 2 , a 3 , … , a n .

а)Известно, что a 1 =5, d=4, n=22. Найти S n , т.е. S 22 . б)Известно, что а 1 =7, n=8, S 8 =140. Найти d.

Решение.

а) Имеем: а 22 =а 1 +21d=5+21*4=89.

Значит, S 22 =22(а 1 +а 22 )\2=11*(5+89)=1034.

• • • • • • • б) Сначала найдем а S 8 140=4(a 140=4(7+a 35=7+a A 8 =8(a =28 1 +a 8 1 8 )/2 +a 8 8 ) ) 8 . Имеем: А теперь применим к а 8 формулу n-го члена Арифметической прогрессии: А 8 =а 1 + 7 d 28=7+7d d=3 Ответ: а) S 22 =1034; б) d=3.

Видоизмененная формула n-го члена.

• Иногда оказывается полезной несколько видоизмененная формула суммы n-го членов арифметической прогрессии. Если в формуле для Sn учесть, что an=a1+d(n-1) то: • Sn=2a1+d(n-1)*n/2.

4.Характеристическое свойство арифметической прогрессии.

• • • • • • Пусть дана арифметическая прогрессия a 1 , a 2 , a 3 , … , a n . Рассмотрим три её члена, следующие друг за другом: a n-1 , an, a n+1 . Известно, что a n -d=a n-1 a n +d=a n+1 Сложив эти равенства, получим: a n =a n-1 +a n+1 /2.

Теорема

• Числовая последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый член, кроме первого (и последнего – в случае конечной последовательности), равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов ( характеристическое свойство арифметической прогрессии).

• • • • • • • • •

Пример

При каком значении x числа 3x+2, 5x-4 и 11x+12 образуют конечную арифметическую прогрессию ?

Решение. Согласно характеристическому свойству заданные выражения должны удовлетворять соотношению 5x-4=(3x+2)+(11x+12)/2 Решая это уравнение, находим: 10x-8=14x+14; x=-5,5.

При этом значении x заданные выражения 3x+2, 5x-4 и 11x+12 принимают соответственно значения 14.5;-31.5;-48.5. Это арифметическая прогрессия, её разность равна -17.

Ответ: x=-5,5.